6. Testes de Hipóteses Conceitos Gerais

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1 6. Testes de Hipóteses Coceitos Gerais Este capitulo itrodutório, pretede apresetar todas as defiições e todo o vocabulário utilizado em testes de hipóteses. Em um primeiro mometo, talvez você fique um pouco cofuso com tatas defiições e coceitos ovos. Nos próximos capítulos, os coceitos aqui apresetados começarão a se torar mais claros. Utilize este capítulo como se fosse um dicioário: cosulte o sempre que houver dúvidas quato a otações, defiições, etc Itrodução Neste capítulo, apresetaremos outro método para fazer iferêcias sobre parâmetros populacioais. Em vez de calcular uma estimativa do parâmetro potual ou por itervalo, iremos admitir um valor hipotético para um parâmetro populacioal, e com base as iformações da amostra realizaremos um teste estatístico, para aceitar ou rejeitar o valor hipotético. Como a decisão para aceitar ou rejeitar a hipótese será tomada de acordo com elemetos de uma amostra, fica evidete que a decisão estará sujeita a erros. Estaremos tomado decisões em codições de icerteza e, portato, sujeitas a erro. Com base os resultados obtidos em uma amostra, ão é possível tomar decisões que sejam defiitivamete corretas. Etretato, como veremos adiate, podemos dimesioar a probabilidade (risco) da decisão de aceitar, ou rejeitar uma hipótese estatística. 6.. Hipótese Estatística Trata-se de uma suposição quato ao valor de um parâmetro populacioal, ou quato à atureza da distribuição de probabilidade de uma variável populacioal. São exemplos de hipóteses estatísticas: a altura média da população brasileira é de 1,65m; a proporção de paulistas com certa doeça é de 40%; homes e mulheres realizam certa tarefa um mesmo itervalo de tempo Teste de Hipótese É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base os elemetos amostrais. Para testar um parâmetro populacioal, devemos afirmar, cuidadosamete, um par de hipóteses: uma que represete a afirmação e outra que represete o seu complemeto. Quado uma dessas hipóteses for falsa, a outra deve ser verdadeira. Essas duas hipóteses são chamadas de hipótese ula e hipótese alterativa Formulação da Hipótese Nula (H 0 ) e da Hipótese Alterativa (H a ) A Hipótese Nula (H 0 ) é uma hipótese estatística que cotém uma afirmação de igualdade, tal como, = ou. 101

2 A Hipótese Alterativa (H a ) é, geralmete, o complemeto da Hipótese Nula. É a afirmação que deve ser verdadeira se H 0 for falsa e cotém uma afirmação de desigualdade estrita, tal como <, ou >. Por exemplo, se o valor da afirmação for k e o parâmetro populacioal for µ, as possíveis hipóteses a serem formuladas são: I. H H 0 a : µ = k : µ k II. H H 0 a : µ = k : µ > k III. H H 0 a : µ = k : µ < k IV. H H 0 a : µ k : µ > k V. H H 0 a : µ k : µ < k Em muitas situações, de acordo com os dados do problema, podemos formular as hipóteses da forma I ou II, ambas corretas; ou, aida, I ou III, também ambas corretas. Porém, em situações críticas, é possível que obtehamos coclusões diferetes se optarmos por uma ou por outra formulação. Dizemos que a situação I correspode a um teste bilateral ou bicaudal. As situações II, III, IV e V correspodem a testes uilaterais ou uicaudal Tipos de Erro e Nível de Sigificâcia Em um teste de hipóteses, sempre partimos do pressuposto que a hipótese ula (H 0 ) é verdadeira. Daí, podemos tomar uma destas decisões: 1) Aceitar H 0, rejeitado H a ou ) Rejeitar H 0, aceitado H a. Pelo fato da decisão ser baseada em uma amostra ao ivés de ser baseada a população, há sempre a possibilidade de tomarmos a decisão errada. Por exemplo, supoha que você afirme que certa moeda seja tedeciosa. Para testar sua afirmação, você joga a moeda 100 vezes e obtém 49 caras e 51 coroas. Você provavelmete cocordaria que ão há evidêcia para apoiar sua afirmação. Mesmo assim, é possível que a moeda seja tedeciosa e você teha um resultado icomum. Mas, e se você joga a moeda 100 vezes e obtém 1 caras e 79 coroas? Seria uma ocorrêcia rara obter somete 1 caras de 100 jogadas com uma moeda imparcial. Etão, você tem provavelmete evidêcias suficietes para apoiar sua afirmação de que a moeda é tedeciosa. Etretato, você ão pode ter 100% de certeza. É possível que a moeda seja imparcial e que você teha obtido um resultado icomum. Se p represeta a proporção de caras, a afirmação "a moeda é tedeciosa" pode ser escrita como a afirmação matemática p 0,5. O complemeto "a moeda é imparcial" é escrita como p = 0,5. Etão, ossas hipóteses ula e alterativa são: H 0 :p = 0,5 H a : p 0,5 (Afirmação) 10

3 Lembre-se, a úica maeira de ter certeza absoluta se H 0 é verdadeira ou falsa é testar a população iteira. Pelo fato de sua decisão rejeitar H 0 ou falhar em rejeitar H 0 (aceitar H a ) ser baseada em uma amostra, você deve aceitar que sua decisão pode estar errada. Você pode rejeitar a hipótese ula quado ela é, a verdade, verdadeira. Ou, você pode falhar em rejeitar a hipótese ula (aceitado H a ) quado ela é, a verdade, falsa. Há dois possíveis tipos de erros, quado realizamos um teste estatístico para aceitar ou rejeitar H 0. Podemos rejeitar a hipótese H 0, quado ela é verdadeira, ou aceitar H 0, quado ela é falsa. O erro de rejeitar H 0, sedo H 0 verdadeira, é deomiado Erro tipo I, e a probabilidade de se cometer o Erro tipo I é desigada α. O erro de aceitar H 0, sedo H 0 falsa, é deomiado Erro tipo II, e a probabilidade de cometer o Erro tipo II é desigada β. Os possíveis erros e acertos de uma decisão com base em um teste de hipótese estatístico estão sitetizados o quadro a seguir: Observe: o Erro tipo I só poderá ser cometido quado se rejeitar H 0, equato o Erro tipo II poderá ocorrer quado se aceitar H 0. O tomador de decisão deseja, obviamete, reduzir ao míimo as probabilidades dos dois tipos de erros. A redução simultâea dos erros poderá ser alcaçada pelo aumeto do tamaho da amostra, evidetemete, com aumeto dos custos. Para um mesmo tamaho de amostra, a probabilidade de icorrer em um Erro tipo II aumeta à medida que dimiui a probabilidade do Erro tipo I, e vice-versa. O ível de sigificâcia de um teste é defiido como sedo a probabilidade máxima permissível para cometer um Erro tipo I. Ou seja, o ível de sigificâcia é igual ao valor α. A probabilidade de um Erro tipo II é o valor β. O valor 1 β é chamado de poder do teste. Ele represeta a probabilidade de rejeitar a hipóteses ula quado a hipótese alterativa for verdadeira. O valor do poder é difícil (e às vezes impossível) de se ecotrar a maioria dos casos Nível descritivo ou P valor Ao realizarmos um teste de hipóteses, partimos de um dado valor de α, préfixado, para costruir a regra de decisão. Uma alterativa é deixar a cargo de quem vai utilizar as coclusões do teste a escolha do valor para a 103

4 probabilidade α, que ão precisará ser fixado à priori. A idéia cosiste em calcular, supodo que a hipótese ula seja verdadeira, a probabilidade de se obter estimativas mais desfavoráveis ou extremas (à luz da hipótese alterativa) do que a que está sedo forecida pela amostra. Esta probabilidade será o ível descritivo, deotado por P valor. Valores pequeos do P valor evideciam que a hipótese ula é falsa pois, sedo a amostra ossa ferrameta de iferêcia sobre a população, ela forece uma estimativa que teria probabilidade muito pequea de acotecer, se H 0 fosse verdadeira. O coceito do que é "pequeo" fica a cargo do usuário, que assim decide qual a usar para comparar com o valor obtido do P valor. Quato meor o P valor do teste, mais evidêcia há para se rejeitar a hipótese ula. Um P valor muito pequeo idica um eveto icomum. Lembre se, etretato, que mesmo um P valor muito baixo ão costitui prova de que a hipótese ula é falsa, somete que esta é provavelmete falsa. Para usar o P valor a decisão de um teste de hipóteses, basta compararmos o P valor com α : 1) Se P valor α, etão rejeitamos H 0. ) Se P valor > α, etão aceitamos H 0. Embora este seja um método para decidirmos sobre qual hipótese devemos aceitar, ão trabalharemos com ele aqui. Usar o P valor é muito comum quado estamos lidado com um software que os forece, os resultados, o P valor. Trabalharemos com um outro método, que se baseia em regiões críticas de decisão, coforme veremos mais adiate Passo a passo de um teste de hipótese A seguir, vamos dar uma receita que você deverá utilizar para a costrução de todos os testes de hipóteses que estudaremos a seguir. 1) Escreva a hipótese ula (H 0 ) e a hipótese alterativa (H a ). Lembre se que, para H 0 você deve utilizar um destes símbolos:, = ou. Para H a, use <, ou >. ) Calcule o valor observado (z obs, t obs,...) utilizado a fórmula correspodete ao caso que está aalisado. 3) Faça um gráfico da distribuição amostral. De acordo com a hipótese alterativa, marque a região crítica () do teste: 104

5 Teste Uilateral à direita: α H a possui o símbolo > valor crítico Teste Uilateral à esquerda: α H a possui o símbolo < valor crítico α α Teste Bilateral: H a possui o símbolo valor crítico valor crítico 4) Obteha o valor crítico do teste (z c, t c,...) de acordo com o ível descritivo do teste ( α ) e com a região crítica () utilizado a tabela da distribuição correspodete (Normal, t de Studet,...). Marque esse valor o gráfico. 5) Marque o valor observado (z obs, t obs,...) o gráfico. 6) Coclua o teste: se o valor observado, etão rejeite H 0 (aceite H a ); 105

6 se o valor observado, etão aceite H 0 (rejeite H a ). 7) Iterprete, em palavras, a coclusão feita. 106

7 7. Testes de Hipóteses para uma população 7.1. Itrodução Neste capítulo veremos como fazer testes de hipóteses para a média populacioal e para a proporção populacioal quado estamos trabalhado com uma úica população. 7.. Teste para a Média Populacioal com Variâcia Cohecida Quado o desvio padrão σ for cohecido, a estatística do teste é: ode: x µ z obs = σ x é a média amostral; µ é a média populacioal testada (sob H 0 ); σ é o desvio padrão populacioal; é o tamaho da amostra. Exemplo 1: fucioários de uma grade firma de cotabilidade afirmam que a média dos salários dos cotadores é meor que a de seu cocorrete, que é $ Uma amostra aleatória de 30 cotadores da firma mostrou que a média dos salários é de $ Sabe se, de estudos ateriores, que o desvio padrão dos salários é $500. Teste a afirmação dos fucioários ao ível de 5% de sigificâcia. Resolução Iicialmete, perceba que a frase sabe se, de estudos ateriores, que o desvio padrão dos salários é $500 idica que se trata do desvio padrão populacioal, ou seja, σ =500. O tamaho da amostra é =30. Vamos costruir ossas hipóteses ula e alterativa. Perceba que queremos testar a afirmação de que os salários dos cotadores é meor que o do cocorrete. Logo: H 0 : µ H a : µ < (afirmação). Vamos calcular o valor observado: z obs x µ = = 1,58. σ

8 A partir da hipótese alterativa, percebemos que o osso teste é uilateral à esquerda, ou seja, podemos costruir o gráfico a seguir. 0,45 α = 0,05 Em seguida, procuramos a tabela da Normal o valor de z c correspodete ao gráfico, ou seja, a uma probabilidade de 0,45. Cocluímos que: z c = 1,645 (egativo, pois está à esquerda do zero). Marcado os valores o gráfico temos: 0,05 z obs = 1,58 Z c = 1,645 Note que z obs. Logo, aceitamos H 0, ou seja, ao ível de sigificâcia de 5%, ão há evidêcias de que o salário seja iferior a $ Exemplo : um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substâcia o tempo de reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimeto é desevolvido com cobaias, que são ioculadas com a substâcia e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempo de reação (em segudos) aotados. Os seguites valores foram obtidos: 9,1 ; 9,3 ; 7, ; 7,5 ; 13,3 ; 10,9 ; 7, ; 9,9 ; 8,0 e 8,6. Admite se que o tempo de reação segue, em geral, o modelo Normal com média 8 segudos e desvio padrão segudos. O pesquisador descofia, etretato, que o tempo médio sofre alteração por ifluêcia da substâcia. Teste essa hipótese ao ível de 6% de sigificâcia. 108

9 Resolução Do euciado, temos que σ =8s e =10. Podemos calcular a média amostral: 9,1 + 9,3 + 7, + 7,5 + 13,3 + 10,9 + 7, + 9,9 + 8,0 + 8,6 x = = 9,1 segudos. 10 Nossas hipóteses: H 0 : µ = 8 H a : µ 8 Trata se, portato, de um teste bilateral. Calculado o valor observado: z obs x µ 9,1 8,0 = = 1,74. σ 10 Estamos trabalhado com o seguite gráfico: 0,03 0,03 valor crítico valor crítico Buscado a tabela da Normal os valores críticos, temos: z c = ± 1,88. Colocado esse valor o gráfico, teremos: 0,03 0,03 1,88 1,88 z obs = 1,74 109

10 Como z obs ão pertece à região crítica (), aceitamos H 0, ou seja, há evidêcias, ao ível de 6%, de que o tempo de reação ão esteja alterado. Outra solução Na formulação das ossas hipóteses, estamos queredo verificar se a média do tempo de reação cotiua sedo 8 segudos. Pela ossa amostra, obtemos uma média amostral igual a 9,1 segudos, tedo evidêcias para se acreditar que se a média ão for igual a 8, ela será maior que 8 segudos. Pesado desta forma, podemos formular o seguite teste: H 0 : µ = 8 H a : µ > 8 O valor z obs = 1,74 fica ialterado. Porém, o valor e a região crítica mudam: 0,06 z obs = 1,74 Neste caso, vemos Z c = 1,555 que o valor observado pertece à região crítica (), o ledo a cocluir que devemos rejeitar H 0 e, portato, aceitar H a, ou seja, há evidêcias, ao ível de 6% de que a média seja superior a 8 segudos. Observação: como vimos este último exemplo, a mudaça da hipótese alterativa os levou a coclusões diferetes. Isso idica que estamos trabalhado com uma situação limite, em que uma pequea mudaça a formulação de ossas hipóteses, os leva a uma coclusão diferete do teste. Neste caso, é acoselhável que o pesquisador faça a coleta de mais amostras (aumeto do valor de ) para que esse problema seja solucioado Teste para a Média Populacioal com Variâcia Descohecida Quado o desvio padrão σ for descohecido, optamos por trabalhar com o desvio padrão amostral s. A estatística do teste se baseará a distribuição t de Studet com ( 1) graus de liberdade: ode: x µ t obs = com g.l. = 1 s 110

11 x é a média amostral; µ é a média populacioal testada (sob H 0 ); s é o desvio padrão amostral; é o tamaho da amostra. Exemplo 3: os registros dos últimos aos de um colégio atestam para os calouros admitidos uma ota média 115 (teste vocacioal). Para testar a hipótese de que a média de uma ova turma é a mesma das turmas ateriores, retirou se uma amostra de 0 otas, obtedo se média 118 e desvio padrão 0. Admita um ível de sigificâcia de 5% para efetuar o teste. Nossas hipóteses são: H 0 : µ = 115 H a : µ 115 Como se trata de uma amostra, vamos trabalhar com a distribuição t de Studet com g.l. = 1 = 0 1 = 19. x µ t obs = = = 0,671. s 0 0 A partir da tabela da distribuição t, ecotramos os valores críticos da distribuição t c =,093: 0,05 0,05,093,093 t obs = 0,671 Como o valor observado ão está a região crítica do teste, aceitamos H 0, ou seja, ao ível de 5% ão há idícios de que a média teha se alterado. 111

12 7.4. Exercícios 1) Uma variável aleatória tem distribuição Normal e desvio padrão igual a 1. Estamos testado se sua média é igual ou é diferete de 0 e coletamos uma amostra de 100 valores dessa variável, obtedo uma média amostral de 17,4. a) Formule as hipóteses. b) Dê a coclusão do teste para os seguites íveis de sigificâcia: 1%, e 6%. ) Um estudo foi desevolvido para avaliar o salário de empregadas domésticas a cidade de São Paulo. Foram sorteadas e etrevistadas 00 trabalhadoras. Admita que o desvio padrão dessa variável a cidade é de 0,8 salários míimos. Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários míimos ou é meor. Formule as hipóteses adequadas. Se a amostra foreceu média de,5 salários míimos, qual seria a coclusão para um ível de sigificâcia de 3%? 3) A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de certa marca é 1615 horas. Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão igual a 10 horas. Utilizado a 5%, desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual ou é diferete de 1600 horas. Qual é a coclusão? 4) Deseja-se ivestigar se uma certa moléstia que ataca o rim altera o cosumo de oxigêio desse órgão. Para idivíduos sadios, admite-se que esse cosumo tem distribuição Normal com média 1 cm 3 /mi. Os valores medidos em cico pacietes com a moléstia foram: 14,4; 1,9; 15,0; 13,7 e 13,5. Qual seria a coclusão, ao ível de 1% de sigificâcia? 5) Uma amostra com 10 observações de uma variável aleatória Normal foreceu média de 5,5 e variâcia amostral 4. Deseja-se testar, ao ível de sigificâcia de 5%, se a média a população é igual ou é meor que 6. Qual é a coclusão? 6) O tempo de permaêcia de egeheiros recém formados o primeiro emprego, em aos, foi estudado cosiderado um modelo Normal com média e variâcia descohecidas. Por aalogia com outras categorias profissioais, deseja-se testar se a média é aos cotra a alterativa de ser 3 aos. Para uma amostra de 15 egeheiros, a média obtida foi de,7 aos e o desvio padrão amostral 1,4 aos. Ao ível de 1%, qual a coclusão do teste? 7) Uma amostra de 5 elemetos, extraída de uma população ormal, resultou média 13,5 com desvio padrão de 4,4. Efetuar o teste ao ível de 0,05 para a hipótese: H 0 : µ = 16 cotra H a : µ 16. 8) As estruturas de 0 recém-ascidos foram tomadas o Departameto de Pediatria da FMRP, cujos resultados são, em cetímetros: a) Supor iicialmete que a população das estaturas seja ormal com variâcia de cm. Testar a hipótese de que a média dessa ormal é 50 cm. Admitir um risco de 5% para cometer o Erro tipo I. b) Fazer o mesmo teste para a média, mas agora descohecedo a variâcia populacioal. 11

13 9) Em uma cidade dos Estados Uidos, uma amostra aleatória de 85 aluos da oitava série tem ota média de 8 com desvio padrão de 35 em um teste acioal de matemática. O resultado do teste iforma o admiistrados de uma escola estadual que a ota média do teste para os aluos da oitava série do estado é mais do que 75. Para um ível de 4%, há evidêcias para apoiar a afirmação do admiistrador? Respostas 1) H 0 : µ =0; H a : µ 0. Para 1%, aceita H 0. Para 6%, rejeite H 0. ) H 0 : µ =3; H a : µ <3. Rejeite H 0. 3) H 0 : µ =1600; H a : µ Aceite H 0. 4) H 0 : µ =1; H a : µ 1. t obs = 5,18. Rejeite H 0, ou seja, a moléstia tem ifluêcia o cosumo real médio de oxigêio ao ível de 1%. 5) H 0 : µ =6; H a : µ <6. t obs = 0,791 e t c = 1,833. Aceite H 0. 6) H 0 : µ =; H a : µ >. t obs = 1,936 e t c =,64. Aceite H 0. 7) t obs =,84. Rejeite H 0, ou seja, com risco de 5%, a média é diferete de 16. 8) a) z obs =,06. Rejeite H 0, cocluido, com risco de 5%, que a média ão é 50cm. b) t obs = 1,068. Aceite H 0, ou seja, ao ível de 5% ão se pode dizer que a média é diferete de 50cm. 9) H 0 : µ 75; H a : µ >75. Rejeite H 0, ou seja, ao ível de 4%, há evidêcias para apoiar a afirmação do admiistrados de que a ota média dos aluos da oitava série é mais do que

14 ANEXOS Tabelas e Formulário Variáveis discretas: k µ = E (X) = x.p(x σ (X) = Var(X) = E(X ) E (X) i= 1 i i) k k Biomial: P(X = k) =.p.(1 p) µ = E (X) =. p k σ = Var(X) =.p.(1 p) Geométrica: P(X=k) = p.(1 p) k 1 1 = E (X) = p 1 p p µ σ = Var(X) = Poisso: P(X = k) = λ k e. λ k! E(X) = λ Var(X) = λ Uiforme: f (x) 1, = b a 0, Expoecial: P(X > t) = e Normal: Z = X µ σ a x b; caso cotrário. λ.t P(X t) = 1 e a + b E(X) = λ.t (X) = 1 λ Var(X) = ( b a) 1 1 λ E Var(X) = Distribuições amostrais: X µ Z σ pˆ p p(1 p) Z Itervalos de cofiaça: para a média ( σ cohecido): IC = x ± z. c σ para a média ( σ descohecido): IC = x ± t. c s σ IC = x ± z c. IC = x ± t c. s N N 1 N N 1 para a proporção: IC = pˆ ± z. c pˆ(1 pˆ) IC = pˆ ± zc. Erro para a proporção a abordagem coservativa: E = z. c pˆ(1 pˆ). 1 4 N N 1 para a variâcia: IC ( 1).s χ sup ( 1).s ; χ = if 114

15 para o desvio padrão: IC ( 1).s χ ( 1).s χ = sup if ; Testes de Hipóteses para 1 população: para a média com σ cohecido : x µ z obs = σ para a média com σ descohecido : x µ t obs = g.l. = 1 s Distribuição Normal: Valores de p tais que P(0 Z z) = p Parte iteira e primeira decimal de z Seguda casa decimal de z ,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,010 0,0160 0,0199 0,039 0,079 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,106 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,117 0,155 0,193 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,168 0,1664 0,1700 0,1736 0,177 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,019 0,054 0,088 0,13 0,157 0,190 0,4 0,6 0,57 0,91 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,517 0,549 0,7 0,580 0,611 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,881 0,910 0,939 0,967 0,995 0,303 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,31 0,338 0,364 0,389 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,361 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,416 0,4177 1,4 0,419 0,407 0,4 0,436 0,451 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,4319 1,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,4418 0,449 0,4441 1,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,455 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,465 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767,0 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,481 0,4817,1 0,481 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916,4 0,4918 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499 0,4931 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981,9 0,4981 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,4993 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,

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