MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel

Transcrição

1 MOQ-13 PROILIDDE E ESTTÍSTIC Professor: Rodrigo. Scarpel rodrigo@ita.br

2 Programa do curso: Semaas e 16 Itrodução à probabilidade (evetos, espaço amostral, aiomas, propriedades, probabilidade codicioal e idepedêcia). Teorema da probabilidade total e teorema de ayes. Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade. Fuções massa, desidade, e distribuição acumulada. Fuções de variáveis aleatórias. Valor esperado e variâcia. Mometos de uma variável aleatória. Fução geradora de mometos. Pricipais distribuições de probabilidade discretas (eroulli, iomial e Poisso). Pricipais distribuições de probabilidade cotíuas (Epoecial egativa e Normal). Feriado (/4) Variáveis aleatórias cojutas, fução distribuição cojuta e margial. Idepedêcia estatística. Covariâcia e Coeficiete de Correlação. Prova Pricípios de estatística. Estimadores e estimativas. Estimação potual de parâmetros (Métodos dos mometos e da máima verossimilhaça). Estatística Descritiva. mostras aleatórias. Distribuições amostrais. Teorema do limite cetral. Variáveis aleatórias Qui-quadrado e t-studet. Propriedades dos estimadores. Itervalos de cofiaça (estimação por itervalo). Tamaho da amostra. Testes de Hipóteses. Iferêcia baseada em amostras (etre parâmetros de populações distitas). Testes ão-paramétricos (associação, idepedêcia e de aderêcia). Feriado (4/6) Prova Regressão liear simples e correlação. plicações de modelos de regressão liear. Coteúdo

3 TESTE DE HIPÓTESES Professor: Rodrigo. Scarpel

4 O processo de iferêcia: POPULÇÃO TESTR DERÊNCI MOSTR ESTIMÇÃO DOS PRÂMETROS HIPÓTESES FZER INFERÊNCIS EM RELÇÃO POPULÇÃO Hipóteses: - iid mostra aleatória - Distribuições populacioal e amostral (TLC) - Parâmetros cohecidos ou ão ()

5 Teste de Hipóteses: Pricípios O teste de hipóteses é utilizado quado objetiva-se decidir qual de duas alegações cotraditórias, sobre o valor de um parâmetro, está correta. Hipótese estatística (hipótese) é uma afirmação sobre os valores de parâmetros ou sobre a forma de uma distribuição de probabilidade. Em um teste de hipóteses há sempre hipóteses cotraditórias sedo cosideradas. E: Tempo médio de atedimeto = 300h ou 300h Fatia de mercado 15% ou < 15%. OJETIVO: DEFINIR, PRTIR DS INFORMÇÕES MOSTRIS, QUL DS DUS ESTÁ CORRET.

6 Teste de Hipóteses: Pricípios Def: Hipótese ula (H 0 ) é a afirmação assumida iicialmete como verdadeira e Hipótese alterativa (H ) é a afirmação que cotradiz H 0. Como H 0 é cosiderada verdadeira, se ão houver alguma evidêcia forte a amostra que a cotradiga, as duas coclusões possíveis são: Rejeitar H 0 ou Não Rejeitar H 0. Em sítese: utilizaremos dados amostrais para decidir se H 0 deve ou ão ser rejeitada.

7 Teste de Hipóteses: Procedimeto Se θ represetar o parâmetro de iteresse: i. Defiir as hipóteses: H 0 : θ = θ 0 H 0 : θ θ 0 H 0 : θ θ 0 ou ou H : θ θ 0 H : θ < θ 0 H : θ > θ 0 ii. Cálculo da estatística do teste; iii. Verificar as regiões de rejeição (valores para os quais H o será rejeitada); iv. Tomar a decisão (rejeitar ou ão H 0 ). ssim, a hipótese ula será rejeitada se, e somete se, o valor da estatística do teste cair a região de rejeição.

8 Teste de Hipóteses: Média Os coceitos básicos do teste de hipóteses são itroduzidos mais facilmete efocado primeiro uma situação simples (CSO ): O parâmetro de iteresse é a média populacioal () distribuição da população é ormal O valor do desvio-padrão () é cohecido. Seja 1,,, uma amostra aleatória de uma distribuição ormal com E[] = e Var[X] =. Neste caso, idepedetemete do tamaho da amostra (): ~ N, = =

9 Teste de Hipóteses: CSO / ~ Z ( 0,1) Z = / ou ou SIGNIFICÂNCI 10% 5% 1% Z α/ 1,645 1,96,575 Z α 1,85 1,645,38

10 Teste de Hipóteses: CSO Eemplo: Um fabricate de lâmpadas afirma que o tempo médio de vida de seu produto é ormalmete distribuído com média de 800h e desviopadrão de 40h. Uma amostra de =30 lâmpadas foram testadas obtedose um tempo médio de vida de 788h. Esses dados cotradizem a afirmação do fabricate (sigificâcia de 1%)? Passos: 1. Defiir H o e H 1. Fiar α 3. Determiar as regiões de rejeição 4. Calcular a estatística do teste 5. Coclusão

11 Teste de Hipóteses: Média Teorema do Limite Cetral: Seja 1,,, uma amostra aleatória de uma distribuição qualquer com média e com variâcia. Se é suficietemete grade, etão: ~ & N, ( ) = To ~ & N, = Obs: qto. maior for o valor de, melhor será a aproimação (>30) CSO : Se ão é cohecido e é grade CSO C: Se ão é cohecido e é pequeo (distribuição ormal)

12 Teste de Hipóteses: CSO ~ s / Z Z = s / ou ou SIGNIFICÂNCI 10% 5% 1% Z α/ 1,645 1,96,575 Z α 1,85 1,645,38

13 Teste de Hipóteses: CSO Eemplo: um fabricate de peus afirma que o tempo médio de vida de seu produto é de km. Uma amostra de =64 peus foram testados obtedo-se um tempo médio de vida de km com desvio-padrão de km. Esses dados cotradizem a afirmação do fabricate (sigificâcia de 1%)? Passos: 1. Defiir H o e H 1. Fiar α 3. Determiar as regiões de rejeição 4. Calcular a estatística do teste 5. Coclusão

14 Teste de Hipóteses: CSO C Quado é pequeo e a distribuição é Normal: ~ t, s T s / =,se distribui coforme uma t com k = -1 g.l.

15 Teste de Hipóteses: CSO C

16 Teste de Hipóteses: CSO C Eemplo: um fabricate de spriklers afirma que a temperatura média de ativação de seu produto é de 130 o F. Uma amostra de =9 produtos foram testados obtedo-se uma temperatura média de ativação de 131,08 o F com desviopadrão de 1,5 o F. Esses dados cotradizem a afirmação do fabricate (sigificâcia de 5%)?

17 Distribuição da difereça etre médias: Sejam e duas populações: i. ormais com parâmetros cohecidos: CSO ii. quaisquer com parâmetros cohecidos ou ão ( grade) : CSO iii. ormais com parâmetros ão cohecidos e pequeo: CSO C ( ),, ~ N ( ) N, ~ + N, ~ ( ),, ~ N & ( ) N, ~ & + N, ~ & ( ) 1 ~ t s ( ), ~ 1 t s ( ) ( ) ( ) ( ) ~ + + t s s

18 Itervalo de cofiaça: Difereça etre médias CSO : CSO (OPÇÃO 1): CSO (OPÇÃO ): CSO C: ( ) ( ) Z s s ~ & + ( ) ( ) Z ~ & + ( ) ( ) Z ~ + ( ) ( ) ~ + + t s s

19 Teste de produto: Iteção de Compra Com certeza vou comprar (5) Provavelmete vou comprar Não sei se vou comprar Provavelmete ão vou comprar Com certeza ão vou comprar (1) mostra Total: Cotrole Novo Padrão de ção Média Novo > Cotrole (95%) z = 3,58 3,5 0, , = 4,85 como z > z crítico a iteção de compra do ovo produto é maior (95%) CONTROLE: = (44 * * * * + 16 * 1) / 400 = 3,5 s = (44 * (5-3,5) + 11 * (4-3,5) * (1-3,5) ) / 399 =0,99 NOVO: = (60 * * * * + 8 * 1) / 400 = 3,58 s = (60 * (5-3,58) * (4-3,58) * (1-3,58) ) / 399 =0,86

20 Teste de Hipóteses: Proporção Se X~i(,p) em que é relativamete grade ( 30) e.p.(1-p)>5 pode ser aproimada à uma Normal com =.p e =.p.(1-p), ou seja,. p. p.(1 p) ~ N(0,1) p ~ N ^ p, p (1 ^ p) ou ou

21 Teste de Hipóteses: Proporção Eemplo: Uma pesquisa de mercado com 90 cosumidores mostrou que o market-share de uma empresa é de 45%. É possível afirmar que ela é líder de mercado (sigificâcia de 1%)? Passos: 1. Defiir H o e H 1. Fiar α 3. Determiar as regiões de rejeição 4. Calcular a estatística do teste 5. Coclusão

22 Teste de Hipóteses: Variâcia Seja 1,,, uma amostra aleatória de uma distribuição ormal com E[] = e Var[X] =. Para testar se = 0 faz-se: Hipóteses e regiões de rejeição: ou ou Estatística do teste: χ 0 = ( 1) 0 s

23 Teste de Hipóteses: Variâcia Eemplo: Um fabricate de baterias afirma que a vida útil delas tem distribuição aproimadamete ormal com desvio-padrão de 0,9 ao. Se uma amostra aleatória de 10 dessas baterias tem desvio-padrão de 1,5 aos, você acha que > 0,9? (sigificâcia de 5%)? Passos: 1. Defiir H o e H 1. Fiar α 3. Determiar as regiões de rejeição 4. Calcular a estatística do teste 5. Coclusão

24 Erros em testes de hipóteses Def: Um erro tipo I cosiste em rejeitar H o quado ela é verdadeira e P(erro tipo I) = α Def: Um erro tipo II cosiste em ão rejeitar H o quado ela é falsa e P(erro tipo II) = β Proposição: Supoha que um eperimeto e o tamaho da amostra sejam fios. Etão, reduzir o tamaho da região de rejeição para obter um valor meor de α resulta em um valor maior de β. Portato, ão há como torar, simultâeamete, α e β meores.

25 Teste de Hipóteses: Erros Tipo I e II H 0 Verdadeira H 0 Falsa Não Rejeito H 0 OK P(ErroTipo II) 1 α β Rejeito H 0 P(ErroTipo I) α = ível de sigificâcia OK 1 β = poder do teste

26 Teste de Hipóteses: Erros tipo I e II H 0 : Réu é iocete H a : Réu é culpado O juiz pode: bsolver o réu O réu pode ser: Réu iocete Réu culpado OK P(ErroTipo II) 1 α β Codear o réu P(ErroTipo I) α OK 1 β

27 Gereciameto dos erros tipo I e II Erro Tipo I: Erro Tipo II: α Erro Tipo I α Erro Tipo II Erro Tipo I Erro Tipo II

28 Escolha do ível de sigificâcia: Vou substituir um compoete de meu produto por outro mais caro se isto o torar melhor a percepção do cosumidor. Cosequêcias do Erro Tipo I: Perda do ivestimeto, perda de margem ou de share Cosequêcias do Erro Tipo II: perda da oportuidade de gaho competitivo Vou substituir um compoete de meu produto por outro mais barato se isto ão o torar pior a percepção do cosumidor. Cosequêcias do Erro Tipo I: perda da oportuidade de aumetar a margem ou gahar share. Cosequêcias do Erro Tipo II: perda de share, de imagem, etc

29 Para casa: Lista de Eercícios 9 (site: Leitura: Devore cap. 8: Testes de hipóteses cap. 9: Iferêcias baseadas em duas amostras Walpole et al. cap.10 : Testes de hipóteses.