MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel

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1 MOQ-3 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profeor: Rodrigo A. Scarel rodrigo@ita.br

2 Programa do curo: Semaa e 6 Itrodução à robabilidade (eveto, eaço amotral, aioma, roriedade, robabilidade codicioal e ideedêcia). Teorema da robabilidade total e teorema de Baye. Variávei aleatória. Ditribuiçõe de robabilidade. Fuçõe maa, deidade, e ditribuição acumulada. Fuçõe de variávei aleatória. Valor eerado e variâcia. Mometo de uma variável aleatória. Fução geradora de mometo. Priciai ditribuiçõe de robabilidade dicreta (Beroulli, Biomial e Poio). Priciai ditribuiçõe de robabilidade cotíua (Eoecial egativa e Normal). Feriado (/4) Variávei aleatória cojuta, fução ditribuição cojuta e margial. Ideedêcia etatítica. Covariâcia e Coeficiete de Correlação. Prova Pricíio de etatítica. Etimadore e etimativa. Etimação otual de arâmetro (Método do mometo e da máima veroimilhaça). Etatítica Decritiva. Amotra aleatória. Ditribuiçõe amotrai. Teorema do limite cetral. Variávei aleatória Qui-quadrado e t-studet. Proriedade do etimadore. Itervalo de cofiaça (etimação or itervalo). Tamaho da amotra. Tete de Hiótee. Iferêcia baeada em amotra (etre arâmetro de oulaçõe ditita). Tete ão-aramétrico (aociação, ideedêcia e de aderêcia). Feriado (4/6) Prova Regreão liear imle e correlação. Alicaçõe de modelo de regreão liear. Coteúdo

3 PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES Profeor: Rodrigo A. Scarel

4 O roceo de iferêcia: POPULAÇÃO TESTAR ADERÊNCIA AMOSTRA ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS HIPÓTESES FAER INFERÊNCIAS EM RELAÇÃO A POPULAÇÃO Hiótee: - iid Amotra aleatória - Ditribuiçõe oulacioal e amotral (TLC) - Parâmetro cohecido ou ão ()

5 Etimadore e Etimativa otuai: Def: Uma etimativa otual de um arâmetro θ é um valor que ode er coiderado rereetativo ara o verdadeiro valor de θ Uma etimativa otual é obtida elecioado-e uma etatítica aroriada e calculado eu valor a artir de uma amotra. Def: Um etimador otual ( θ ) de um arâmetro θ é ea etatítica aroriada elecioada. Perguta: O que é uma etatítica aroriada? Juteza (Ubiaede) Eficiêcia Coitêcia ^

6 Proriedade e ecolha de etimadore: Juteza (Ubiaede): um etimador otual θ é ão vieado e E( θ )= θ. ^ Se θ é vieado, a difereça E( θ ) - θ é chamada de vié (bia). Aim, e θ é ão vieado, ua ditribuição de robabilidade é cetrada o real valor do arâmetro. P(X) ^ ^ Ubiaed Biaed A C µ X

7 Proriedade e ecolha de etimadore: Etimadore ão vieado: i i= MÉDIA: E[] = µ? Sim, e =, e for uma amotra aleatória e e for grade. ˆ = PROPORÇÃO: E[] ^ =? Sim, e. ^ VARIÂNCIA: E[ ] =? Sim, e ˆ i= =, e for ( ) i µ uma amotra aleatória e e grade

8 Proriedade e ecolha de etimadore: Eficiêcia: o etimador otual mai eficiete é o ão-tedecioo de míima variâcia (MVUE). No eemlo, ambo o etimadore ão ão vieado, ma ua ditribuiçõe amotrai ão diferete. P( X) Ditribuição amotral de ^ θ B A Ditribuição amotral de ^ θ µ

9 Proriedade e ecolha de etimadore: Coitêcia: Com o crecimeto do tamaho da amotra a ditribuição amotral e tora mai cetrada. Em termo rático igifica que ode-e com amotra uficietemete grade torar o erro de etimação tão equeo quato e queira. P( X) Maior tamaho de amotra A µ B Meor tamaho de amotra

10 Proriedade e ecolha de etimadore: Etimadore coitete: MÉDIA: Var[] = / (oulação ormal e cohecido) = / (elo TLC e cohecido) = / (oulação ormal e ão cohecido) PROPORÇÃO: Var[] ^ = (-) / Def: Erro adrão de um etimador é eu devio adrão ( θ = (Var(θ))/ ). Quato maior o tamaho da amotra () meor erá o erro adrão de um etimador coitete.

11 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO Profeor: Rodrigo A. Scarel

12 Etimação or itervalo: Uma etimativa otual, or er um úico valor, ão forece or i mema qualquer iformação obre a recião e a cofiabilidade da etimativa. Uma alterativa ara areetar um úico valor eato ara o arâmetro que etá edo etimado é calcular e relatar um itervalo comleto de valore lauívei: itervalo de cofiaça (IC). Eemlo: Cliete / miuto

13 Nível de cofiaça: Um itervalo de cofiaça emre é calculado elecioado-e rimeiro o ível de cofiaça, que é uma medida do grau de cofiabilidade do itervalo. Nívei de cofiaça uado com mai frequêcia: 90%, 95% e 99% Iterretação: o ível de cofiaça de % imlica que % de toda a amotra foreceriam um itervalo que iclui o arâmetro que etá edo etimado (e: µ, ), e aea (-)% de toda a amotra dariam um itervalo errôeo. A iformaçõe obre a recião de uma etimativa de itervalo ão tramitida ela ua eteão. Aim, e o ível de cofiaça for alto e o itervalo reultate for retrito, é oível dizer que o cohecimeto do valor do arâmetro é recio.

14 Proriedade báica de IC: O coceito e roriedade báica do IC ão itroduzido mai facilmete efocado rimeiro uma ituação imle: O arâmetro de iteree é a média oulacioal (µ) A ditribuição da oulação é ormal O valor do devio-adrão () é cohecido. Seja,,, uma amotra aleatória de uma ditribuição ormal com média µ e devio-adrão. Nete cao, ideedetemete do tamaho da amotra (): ~ N µ, µ = µ =

15 Proriedade báica de IC: Padroizado obtém-e: = ~ N( 0,) / µ Aim: µ P,96 < < +,96 = / 0,95... P,96 < µ < +,96 = 0,95,96 +,96 Se fizermo Cliete / amotrage em 95% dela µ etará miuto o IC

16 Proriedade báica de IC: Geeralizado: O itervalo de cofiaça de 00(-)% da média (µ) de uma oulação ormal, quado é cohecido é dado or:, + ou or ± NÍVEL DE CONFIANÇA 90% 95% 99% /,645,96,575

17 Nível de cofiaça, Precião e Tamaho da Amotra: Sedo o ível de cofiaça 00(-)%, a recião e o tamaho da amotra () relacioado, uma boa etratégia é eecificar o ível de cofiaça, e a emi-amlitude do itervalo de cofiaça (B) e etão determiar o tamaho da amotra. Aim: ±... = / B B /

18 Itervalo de cofiaça ara amotra grade: Teorema do Limite Cetral: Seja,, uma amotra aleatória de uma ditribuição qualquer com E[] = µ e Var[X] =. Se é uficietemete grade, etão: ~ & N µ, µ = µ = ( ) µ, To ~ & N Ob: qto. maior for o valor de, melhor erá a aroimação (>30) Aim, memo que a oulação ão eja ormalmete ditribuída, e é cohecido: µ / ~ & µ P < < + / ± com ível de cofiaça de aroimadamete 00(-)%

19 Itervalo de cofiaça ara amotra grade: Uma dificuldade rática a criação do itervalo de cofiaça é que deve-e cohecer o valor de. Se ubtituirmo or : = µ / Nete cao, eite aleatoriedade o umerador e o deomiador ( e variam de amotra ara amotra). Etretato, quado é grade, o uo de acreceta ouca variablidade etra a (é oível dizer que oui aroimadamete ditribuição ormal adroizada). ± IC (µ) de amotra grade (>40) com ível cofiaça de aroimadamete 00(-)% (é válido ideedetemete da ditribuição oulacioal).

20 Ob: Uma etimativa iicial de é obtida or amlitude/4. ˆ θ ± /... = B θ θ θ < + < ˆ ˆ P θ θ ˆ ˆ ± Itervalo de cofiaça geral ara amotra grade: Tamaho da amotra:

21 Itervalo de cofiaça moocaudai: Se o iteree é determiar aea limite ueriore ou iferiore (de uma amotra grade) deve-e criar limite de cofiaça: µ P < +,645 / 0,95 Portato, o limite de cofiaça uerior ara µ é: E o limite de cofiaça iferior ara µ é: CONFIANÇA 90%,85 95%,645 99%,38 µ P,645 < 0,95 / µ > µ < +

22 Itervalo de cofiaça ara roorção (): < + < ) ( ˆ ) ( ˆ P Aim Pelo TLC, e X é uma variável aleatória que cota o úmero de uceo em tetativa ideedete, e é uficietemete grade ( ) ( ) N N o uceo ) (, ~ ˆ ) (, ~ = = & &

23 Deevolvedo chega-e em: Quado é grade: 4 ( ) + + ± + = 4 ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ± = Itervalo de cofiaça ara roorção ():

24 Nível de cofiaça, Precião e Tamaho da Amotra: Sedo o ível de cofiaça 00(-)%, a recião e o tamaho da amotra () relacioado, uma boa etratégia é eecificar o ível de cofiaça, e a emi-amlitude do itervalo de cofiaça (B) e etão determiar o tamaho da amotra. Aim: ˆ ˆ ( ˆ ) ( ) ˆ ˆ ±... = / B

25 Itervalo de cofiaça ara variâcia e devio adrão de uma oulação Normal: Seja,, a amotra aleatória de uma ditribuição ormal com arâmetro µ e. Etão a v.a. ( ) = ( X i ) i oui ditribuição de Qui-Quadrado (χ) com - gl.

26 ( ) χ χ = < <,, P ( ) ( ) χ χ = < <...,, P ( ) ( ),, < < χ χ IC de com ível de cofiaça de 00(-)% : Itervalo de cofiaça ara variâcia e devio adrão de uma oulação Normal:

27 Itervalo de cofiaça ara amotra equea: Quado é equeo, rovavelmete ão erá mai róimo de, de modo que haverá maior variabilidade a ditribuição do etimador. ( ) ( ) µ / Aim, a ditribuição de erá mai diera que a ditribuição ormal adroizada. Teorema: Quado é a média amotral de tamaho de uma oulação ormal com média µ, a v.a. T oui uma ditribuição t-studet com - grau de liberdade. T = µ /

28 Itervalo de cofiaça ara amotra equea: Seja t,ν = o úmero o eio de medição ara o qual a área ob a curva t com gl ν à direita de t,ν é ; t,ν é chamado valor crítico t. P t < T < + t,, = em que T = µ / IC de µ com ível ± t, de cofiaça de 00(-)% ara uma oulação ormal.

29 Itervalo de cofiaça ara um úico valor: Em muita alicaçõe o ivetigador deeja rever um úico valor de uma variável a er obervada futuramete, em vez de etimar o valor médio dea variável. Nete cao o iteree é o itervalo de revião. Seja,, uma amotra aleatória de uma oulação com ditribuição ormal e queremo rever o valor de +. O revior otual é e o erro de revião é ( + ). Aim: E[ + ] = E[] E[ + ] = µ µ = 0 Var[ + ] = Var[] + Var[ + ] = ( /) + = ( + /)

30 Aim: E ubtituido or chega-e o itervalo de revião (IP) de uma úica obervação com ível de revião de 00(-)%: ( ) ( ) + = + = ( ) + = + T t, + ± = + Itervalo de cofiaça ara um úico valor:

31 Para caa: Lita de Eercício 8 (ite: Leitura: Devore ca. 6: Etimativa otual (até 6.) ca. 7: Itervalo etatítico baeado Walole et al. ca. 9: Problema de etimação (9. a 9.7, 9.0 e 9.)