Intervalo de Confiança para a Variância de uma População Distribuída Normalmente. Pode-se mostrar matematicamente que a variância amostral,

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1 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 Intervalo de Confiança para a Variância de uma População Ditribuída Normalmente Pode-e motrar matematicamente que a variância amotral, ( x x) n é um etimador não envieado da variância populacional, i ( µ ) x i. N Ito quer dizer que a média da ditribuição amotral de (que leva em conta toda a poívei amotra de tamanho n da população) é igual à variância da população: µ. O valor de para uma amotra de tamanho n de uma população é o melhor etimador pontual que exite para etimar o valor da variância da população. Como é o melhor etimador pontual de, eria natural imaginar que é o melhor etimador pontual de. Porém, por razõe que etão além do objetivo dete curo, é um etimador envieado de. No entanto, para amotra grande pode-e utilizar para e fazer uma etimativa razoável de., Vamo etar intereado aqui em etimar a variância de uma população por um intervalo de confiança, como feito no cao anteriore para a média, diferença de média, proporção e diferença de proporçõe.

2 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 Quando a ditribuição populacional é normal, o intervalo de confiança para é obtido com o auxílio da ditribuição do qui-quadrado ( ). A ditribuição do com (n ) grau de liberdade é a ditribuição atifeita pela variável ( ) n. Propriedade da ditribuição do :. A ditribuição do qui-quadrado não é imétrica, porém, à medida em que o número de grau de liberdade aumenta ele vai e tornando cada vez meno aimétrica;. Exite uma ditribuição do qui-quadrado diferente para cada valor do parâmetro ν (ou gl, grau de liberdade) n (veja o gráfico acima). À medida em que o número de grau de liberdade aumenta, a ditribuição do qui-quadrado tende para uma ditribuição normal. Uma tabela dando o valore da área ob a curva da ditribuição do quiquadrado à equerda de um dado valor de etá dada a eguir.

3 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 Portanto, para um dado valor de gl (ou ν), e quiermo achar o valor de que deixa 97,5% da área ob a curva à ua equerda devemo cruzar a linha do valor de ν correponde com a coluna de.975. Por exemplo, para ν 0 o valor de é 34,7. 3

4 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 Para encontrar um intervalo de confiança de 95% para, começamo encontrando primeiro um intervalo de confiança de 95% para a variável ( n ) : 0,05 0,975. () n ( n ) n Você pode etar e perguntando porque foram uado o valore de e 0,05 n de 0,975 n. Ito pode er entendido olhando para o gráfico abaixo, que motra que ete doi valore de definem uma região tal que a área da ditribuição do qui-quadrado abaixo dela é igual a 0,95, deixando a área na dua extremidade iguai a 0,05 (cuja oma é 0,5). Pelo memo motivo, e quiéemo um intervalo de confiança de 90%, deveríamo ter pegado o valore de e de (veja a figura abaixo). 0,005 n 0,95 n 4

5 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 Manipulando a equação (): 0,05 n ( n ) 0,975 n ( n ) ( n ) 0,975 n ( n ). () 0,05 n A equação () é a que no dá o intervalo de confiança de 95% para a variância da população. Se quiermo o intervalo de confiança de 90% e de 99%, teremo que uar a fórmula: e IC IC 90% 99% ( n ) : 0,95 n 0,995 n ( n ) : ( n ) 0,05 n 0,005 n ( n ) (3). (4) 5

6 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 Exemplo: Tomou-e uma amotra de 30 cliente de uma agência de um dado banco e obteve-e o tempo médio de permanência de cada um dele na agência. O devio padrão do tempo médio de permanência da amotra foi de 5 minuto. Supondo que a ditribuição do tempo de permanência na agência de todo o cliente da agência (população) é aproximadamente normal, etime um intervalo de confiança de 95% para a variância da ditribuição populacional. Repota: Dado que 5, temo que 65. Como n 30, gl 9. Logo, da tabela para, o valore apropriado de ão: 45, 7 e 6,05. Então, o IC 95% é: 0, x65 9x65 396,4 9,3. 45,7 6,05 0,

7 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 Intervalo de Confiança para a Razão entre a Variância de Dua Populaçõe Normalmente Ditribuída Deeja-e calcular um intervalo de confiança de 95% para a razão entre a variância de dua populaçõe,. Vamo aumir que a dua populaçõe têm ditribuiçõe normai e que a amotra tomada dela ão independente e de tamanho iguai, repectivamente, a n e n. A dua amotra têm variância iguai, repectivamente, a Nete cao, a variável ( ) ditribuição. e. atifaz a uma ditribuição chamada de A ditribuição depende de doi valore de grau de liberdade, o valor de gl n e o valor de gl n. O primeiro é chamado de número de grau de liberdade do numerador e o egundo é chamado de número de grau de liberdade do denominador. O gráfico a eguir motra alguma curva da ditribuição para algun valore do número de grau de liberdade do numerador e do numerador, repectivamente (gl 9, gl 9), (gl 4, gl 9) e (gl 9, gl 4). 7

8 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 A fórmula para e obter o intervalo de confiança de 95% para pode er obtida fazendo-e de alguma manipulaçõe algébrica na deigualdade 0,05, gl, gl 0,975, gl, gl que conduzem à fórmula final (faça como exercício): 0,975, gl, gl 0,05, gl, gl,. (5) Em geral, o livro ó trazem tabela da ditribuição para algun valore de probabilidade (para a área à equerda de ): 0,99; 0,975; 0,95. Em geral, a ditribuição para a probabilidade à equerda igual a 0,05 não é dada. Porém, ela pode er calculada a partir da ditribuição para 0,975 uando a fórmula, α, gl, gl. α, gl, gl Ou eja, como 0,05 0,975, temo que: 8

9 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 0,05, gl, gl 0,975, gl, gl. Subtituindo eta fórmula em (5), podemo ecrever a expreão para o intervalo de confiança de 95% para como: 0,975, gl, gl 0,975, gl, gl. (6) Uma tabela dando o valore da ditribuição 0,975,gl,gl é dada abaixo: 9

10 Etatítica II Antonio Roque Aula 8 Exemplo: Pequiadore elecionaram uma amotra aleatória de 0 peoa de uma população de indivíduo aparentemente normai (amotra ) e uma amotra aleatória de 8 peoa de uma população de paciente com doença de Parkinon (amotra ). A variável medida para a dua amotra foi o tempo de reação a um dado etímulo epecífico. A variância amotrai foram 600 e 5 para.. Deeja-e calcular um intervalo de confiança de 95% Repota: Temo o eguinte dado: n n 8 5 gl do numerador 9. gl do denominador 7 Da tabela para a ditribuição para α 0,975 temo:,8 e 4,0. 0,975,9,7 4 0,975,7, 9 Logo, o intervalo pedido é, , , 0 5 0,7 5,48. 0