Estatística Estimação de Parâmetros por Intervalo

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1 Etatítica - Etimação d Parâmtro por Itrvalo UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -

2 Itrvalo d Cofiaça para a média População ifiita, com cohcido Sab- qu, para uficitmt grad: Normal ( ; /) Sja: : Erro ou Prcião do Itrvalo - : Nívl d cofiaça / - / - + Normal Rduida: ( ) Portato: Da figura, tm-: Pr Logo: Portato: Pr UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -

3 Itrvalo d Cofiaça para a média População ifiita, com cohcido Emplo: Uma amotra d lmto traída d uma população com Ditribuição Normal, cujo dviopadrão é igual a,, forcu média = 35,6. Cotruir um itrvalo com ívl d cofiaça d 95 % para a média Solução: - = 95% / =,5% ; = ; σ =, Da tabla da Ditribuição Normal Rduida: / =,5 % =,96, logo: Itrvalo d Cofiaça:,96,,39 Etão: 35, 6 39, Pr 35,8 35,99, 95,5%,5% 95% UNESP FEG DPD Prof. Edgard - 35,8 35,6 35,99-3

4 Itrvalo d Cofiaça para a média População fiita, com cohcido Sab- qu, para uficitmt grad: X Normal ; / - / N N Sja: : Erro ou Prcião do Itrvalo - : Nívl d cofiaça - + Normal Rduida: ( ) N ( N ) Portato: N ( N) Da figura, tm-: Pr Logo: Portato: Pr N N ( N ) ( N ) UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -4

5 Itrvalo d Cofiaça para a média População ifiita, com dcohcido Do lid., tm-: Pr (*) Para amotra grad ( > 3): coidrar = Portato, ubtituido- σ a quação (*), tm-: Pr Nt cao: Portato: ( )² Para motra pqua ( < 3): coidrar: t,.. vid lid 9.5 Portato, ubtituido σ a quação (*), tm-: Pr t, / t, / Portato: ( t, )² UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -5

6 Itrvalo d Cofiaça para a média d uma População ifiita, com dcohcido Emplo: Uma amotra d 4 lmto traída d uma população com Ditribuição Normal forcu média = 8, dvio-padrão =,4. Cotruir um itrvalo com ívl d cofiaça d 99 % para a média da população. Solução: Itrvalo d Cofiaça: Od: t ; Da tabla t d Studt : Logo: t t ; t 3;,5%,4 5,84 4 ;,68 5,84 Itrvalo d Cofiaça: 8, 68, Como: Etão: Pr t ; / t ; / Pr 7,3 9,368, 99 UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -6

7 Itrvalo d Cofiaça: Itrvalo d Cofiaça para a Variâcia da População Pr( LI LS) ( ) Do lid 9.4 tm-: Logo: LI: Limit Ifrior LS: Limit Suprior ( ) Pr( LI LS) Pr( LI LS) Etão: LI ( ) ( ) LI LS ( ) ( ) LS Portato: ( ) Pr( LS ( ) ) LI / / ; / ( ). ² LS ; / ( ). ² ( ). ² LS LI Portato: ; / ; / ( ). ² LI Etão: ( ) ( ) Pr( ; / ; / ) UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -7

8 Itrvalo d Cofiaça para a Variâcia da População - Emplo Uma amotra d lmto, traída d uma população com Ditribuição Normal, forcu variâcia = 7,8. Cotruir um itrvalo com ívl d cofiaça d 95% para a variâcia da população Solução: ( ) ( ) Pr, /, / Da tabla Qui-Quadrado : ; / ; 5% 8,37 ; / ; 95% 3,94 Logo: LI ( ), / ( ) 7, 8 837, 386, LS ( ), / ( ) 7, 8 394, 7, 96 Portato: Pr(3,86 7,96),9 UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -8

9 -9 UNESP FEG DPD Prof. Edgard - Itrvalo d Cofiaça para o Dvio- Padrão da População ) ( ) ( Pr /, /, Como: Etão: ) ( ) ( Pr /, /, Cao d amotra grad (>3), pod-, altrativamt, uar: ) ) ( ( ) ) ( ( Pr

10 Itrvalo d Cofiaça para a Proporção Populacioal () Frqüêcia Amotral f é uma V.A. Biomial: Logo: Etão: E( f) p E( p ) E f E( f) V( f) p( p) p p f Var( p ) Var Var( f ) p( p) p( p) () Cao p 5 ( - p) 5 pod- aproimar a Biomial pla Normal. Aim do, pod- coidrar qu p tm Ditribuição Normal, com p( p) E( p') / / p Var( p') p - p p + (3) Da figura: p' p p' Pr Pr p p p ' Logo: (4) aplicado- a Normal Rduida tm-: ( p ) p ( p ) p Pr Z p( p) p( p) Logo: Sdo p um timador d p, tm-: (5) Subtituido- m (3) tm-: p( p) p( p) Pr p / p p / / p p( p) / p p( p) p( p) UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -

11 Itrvalo d Cofiaça para a Proporção Populacioal - Emplo Uma amotra d. pça da produção d uma máquia, vrificou- qu 35 ram dfituoa. Cotruir um itrvalo com ívl d cofiaça d 95% para a proporção d pça dfituoa produida por a máquia. Coidrado qu a codiçõ d aproimação da Biomial pla Normal tão atifita: /, 5%, p( p) p( p) Pr p / p p / 96 p( p) p 96, f 35., 35, 965. /, 35, 4 Itrvalo d Cofiaça: Portato: Pr(,36 p,464) p', 35, 4,95,5%,5% 95% UNESP FEG DPD Prof. Edgard -,36,35,464 -

12 Ercício. (Cota Nto, Ed., p.77) A ditribuição do diâmtro d parafuo produido por uma crta máquia é Normal, d dvio-padrão igual a,7 mm. Uma amotra d i parafuo rtirada ao acao da produção aprtou o guit diâmtro (m milímtro): 5,4 5, 5,6 5,3 5, 5,4 Cotrua itrvalo d 9%, 95% 99,74 % d cofiaça para o diâmtro médio da produção da máquia. Solução: Sja: X = diâmtro d cada parafuo =,7 mm = (5,4 + 5, + 5,6 + 5,3 + 5, + 5,4) / 6 = 5,3 IC = a. 9 % d cofiaça: / = 5% =, ,, 6, 4 b. 95 % d cofiaça: / =,5 % =, ,, 6, 36 c. 99,74 % d cofiaça: / =,3 % = 3, 3 7,, 6, 89 Pr(5,5 5,439) = 9 % Pr(5,87 5,457) = 95 % Pr(5,78 5,556) = 99,74 % UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -

13 Ercício. (Cota Nto, Ed., p.78) Uma pquia d qui lmto rtirada d uma população ormalmt ditribuída forcu = 3,4 =,56. Cotrua itrvalo d 95% 99 % d cofiaça para: a) a média da população; b) a variâcia da população; c) o dvio-padrão da população. Solução: Amotra: = 5 = 3,4 =,56 =,6 a. Média da população: t 4; Para 95 %: =,45,5% t t 4 5% 45, 6,,,,, IC = = 3,4,886. Pr( 3,539 33,86) 95% t 4,, 5% Para 99 %: =,977,, 977, 6 5, 99 IC = = 3,4,99 Pr( 3,7 33,699) 99% Ob: Quato maior o Nívl d Cofiaça maior é a amplitud do IC UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -3

14 Ercício. cotiuação (Cota Nto, Ed., p.78) b. Variâcia da população: ( ) ( ), /, / Para 95 %:, 4, 97, 5% 4, 56 4, 56 69, 5, 69 Logo: Pr(,37 6,367) , 4,, 5% Para 99 %: , 4, 99, 5%, 4,, 5% 4, 56 4, , 4, 75 Itrvalo:,44 8,795 c. Dvio-padrão da população: Para 95 %:,37 6,367,73,53 Para 99 %:,44 8,795,696,9656 UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -4

15 Ercício.3 (Cota Nto, Ed., p.79) Sab- qu a variação da dimõ forcida por uma máquia idpdm do ajut do valor médio. Dua amotra d dimõ da pça produida forcram: Etablça um itrvalo d 95 % d cofiaça para o dvio-padrão. Solução: amotra,,4,,,7,4 amotra 4, 3,7 3,9 4, 3,9 IC: ; / amotra : = 6 =,3 =,53 amotra : = 5 = 3,9 =,48 ; / p ( ) ( ) ( 6 ) (, 53) ( 5 ) ( 48, ) 6 5 p, 453 p 6 5, 8 9, / 9; 97, 5%, 7, / 9 ;, 5%, 9 3 IC: ( 9), 453 9, 3 ( 9), 453, 7 Logo: Pr(,47,389) 95% UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -5

16 Ercício.4 UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -6

17 Ercício.4 (Cotiuação) UNESP FEG DPD Prof. Edgard - -7