A função de distribuição neste caso é dada por: em que

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3 A função d distribuição nst caso é dada por: m qu 3

4 A função d distribuição d probabilidad nss caso é dada por X P(X) 0,343 0,441 0,189 1,027 4

5 Ercícios: 2. Considr ninhada d 4 filhots d colhos. Nsta raça há um distúrbio gnético a probabilidad d nascr fêmas é d 5/8: a. Sndo X a ocorrência d fêmas, construa a distribuição d probabilidad d X: X tm uma distribuição binomial X 5 : Bin ( n, p ) X : Bin 4, 8 O Modlo Binomial é dado por P[ X ] p 1 p n ( ) m qu n! n ( n )!! n ! P[ X 0] , ( 4 0 )!0!

6 P[ X 1] 1 4 0, P[ X 2] 1 6 0, P[ X 3] 1 4 0, P[ X 4] , A distribuição d Probabilidad d X é dada por X P X 0,02 0,13 0,33 0,37 0,15 ( ) b. Calcul as probabilidads dos sguints vntos por mio da distribuição binomial: i) Nascimnto d atamnt duas fêmas? P[ X 2] 0,33 ii) Nascimnto d plos mnos um macho? S Y rprsnta o númro d machos, o vnto Y 1quival a X 3, pois s houvr 1 macho, implica m 3 fêmas; s houvr 2 machos, implica m 2 fêmas; s houvr 3 machos, implica m 1 fêma. s houvr 4 machos, implica m 0 fêma. Assim, a probabilidad do vnto é [ 1] [ 1] + [ 2] + [ 3] + [ 4] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] P Y P Y P Y P Y P Y P Y 1 P X 3 + P X 2 + P X 1 + P X 0 0,37 + 0, 33+ 0,13 + 0, 02 0,84 iii) Nascimnto d plos mnos duas fêmas? P X 2 P X 2 + P X 3 + P X 4 0,33 + 0,37 + 0,15 0,85 [ ] [ ] [ ] [ ] iv) Nascimnto d no máimo uma fêma? P X 1 P X 0 + P X 1 0, ,13 0,15 [ ] [ ] [ ] c. Suponha qu você faça uma amostragm d 500 ninhadas d 4 filhots. Em quantos você spra ncontrar atamnt 1 macho? 6

7 O númro sprado (NE) d ninhadas d 4 filhots com atamnt 1 macho é dado plo produto da probabilidad do vnto P[ Y 1] P[ X 3] total d ninhadas, ou sja, [ ] NE 500P X , Assim, das 500 spramos qu 185 sjam atamnt 1 macho. plo númro 3. Suponha qu X (v. a. discrta) sja o númro d animais donts d uma dtrminada raça. Sab-s qu sta donça é controlada gnticamnt qu ataca 1/3 da raça. Numa amostra d 4 animais, pd-s: a. A distribuição d probabilidad d X; X tm uma distribuição binomial X : 1 Bin 4, P[ X 0] , P[ X 1] 1 4 0, P[ X 2] 1 6 0, P[ X 3] 1 4 0, P[ X 4] , A distribuição d Probabilidad d X é dada por X P X 0,20 0,39 0,30 0,10 0,01 ( ) b. A probabilidad d havr na amostra mais d 1 animal dont; P[ X > 1] P[ X 2] + P[ X 3] + P[ X 4] 0,30 + 0,10 + 0, 01 0, 41 c. A probabilidad d havr mais d 1 animal sadio; S Y rprsnta o númro d animais donts, o vnto Y > 1quival a X < 2, pois 7

8 s houvr 2 sadio, implica m 2 donts; s houvr 3 sadio, implica m 1 dont. s houvr 4 sadio, implica m 0 dont. Assim, a probabilidad do vnto é d. A probabilidad d havr no máimo três animais donts; P[ X 3] 1 P[ X > 3] 1 P X 4 1 0, 01 0,99 [ ] 8

9 Emplo 2 Dtrminar a probabilidad d havr 4 pças dfituosas numa amostra d 300, traída d um grand lot ond há 2% d dfituosas. Aplicando-s a fórmula da distribuição binomial trmos: N 300 X 4 p 2% 2 0, Utilizando a distribuição d Poisson, trmos: µ λ n p µ 300 0,02 µ 6 P( ) ( µ ) M P( 4) 6 (6) 4M 4 0,134 Ercícios 9

10 1. Suponhamos qu os navios chgum a um porto a razão d 2 navios /hora, qu ssa razão sja bm aproimada por um procsso d Poisson. Obsrvando o procsso por um príodo d mia hora (t 1/2), dtrmin a probabilidad d: a) não chgar nnhum navio; b) chgarm 3 navios. Solução: n 2 p t 1 horas. 2 Primiro dtrmin µ : µ λ n t µ ( µ ) (1) a) P( ) P( 0) 0, 368 M 0M 1 3 ( µ ) (1) b) P( ) P( 3) 0, 061 M 3M 2. Uma máquina produz 9 pças dfituosas a cada 1000 pças produzidas. Calcul a probabilidad d qu m um lot qu contém: a) 200 pças, sjam ncontradas 8 pças dfituosas; µ λ n p n 200 pças p 9 0, µ λ n p µ 200 0,009 µ 1,8 P( ) ( µ ) M P( 8) 1,8 (1,8) 8M 8 18, ,

11 b) 500 pças, não haja nnhuma pça dfituosa. µ λ n p n 500 pças p 9 0, µ λ n p µ 500 0,009 µ 4,5 P( ) ( µ ) M P( 0) 4,5 (4,5) 0M 0 0,0111 4) Um procsso mcânico produz tcido para tapts com uma média d 2 dfitos por jarda. Dtrmin a probabilidad d uma jarda quadrada tr atamnt 1 dfito, admitindo qu um procsso possa sr bm aproimado por uma distribuição d Poisson. Solução É dado µ 2 1 P ( X ) λ t ( λ t) XM X P( ) ( µ ) M P(1) 2 (2) 1M 1 0, As chamadas d mrgência chgam a uma cntral d polícia a razão d 4 por hora no príodo d 1 as 6 da manhã m dias útis podm sr aproimadas por uma distribuição d Poisson. Rsponda: a) Quantas chamadas d mrgência são spradas num príodo d 30 minutos? b) Qual a probabilidad d nnhuma chamada num príodo d 30 minutos? a) p t (tmpo) 30 minutos 0,5 horas. n 4 11

12 E( ) µ λ n t Portanto, num príodo d 30 minutos são spradas chamadas. b) p t (tmpo) 30 minutos 0,5 horas. µ λ n t P( ) ( µ ) M P( 0) 0,135 12