CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS. Figura 1: Pontos de máximo e mínimo

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1 Introdução S CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS é uma unção d duas variávis ntão dizmos qu 1 a b é no máimo igual a a Gomtricamnt o gráico d tm um máimo quando: s stá prto d a stá prto d b Da msma orma dizmos qu tm um mínimo quando: próimo d b 1 a b tm um pico no ponto a vja a Figura 1a é plo mnos igual a no máimo igual a a smpr qu stá próimo d a stá Gomtricamnt o gráico d tm uma quda cujo ponto trmo ocorr m a vja a Figura 1 Figura 1: Pontos d máimo mínimo Vamos supor qu a unção constant igual a b tm um mínimo m a Figura Quando é mantido é uma unção d com um mínimo m a Ou sja a portanto su coicint angular é zro Da msma orma quando é mantido constant a a é uma unção d com um mínimo m b Assim sua drivada m rlação a é zro m b isto é a Considraçõs similars aplicam-s quando tm um máimo m a ProMsCarlos Hnriqu carloshjc@ahoocombr 1-1 1

2 ProMsCarlos Hnriqu Figura : Ponto d mínimo tm rtas tangnts horizontais Emplo: O gráico da unção é o gráico mostrado na Figura Encontr o ponto b a no qual ating o su valor mínimo Rsolução: 1º Passo: Encontrando os valors d para os quais ambas as drivadas parciais são zro º Passo: Dtrminando os valors d d obtmos: º Passo: Rsolvndo o sistma para dtrminar : II I : : S tm um mínimo l dv ocorrr quando Dividindo por dois todos os lmntos da I quação Multiplicando por três todos os lmntos da I quação

3 Dtrminamos qu as drivadas parciais são simultanamnt zro quando 1 7 mostra qu tm um mínimo portanto st mínimo dv ocorrr m 1 7 A igura nos Important: Ao considrar uma unção d duas variávis ncontramos os pontos para os quais pod tr um ponto d máimo ou d mínimo igualando a zro rsolvndo o sistma d quaçõs obtido para Entrtanto s nnhuma outra inormação adicional a rspito d or orncida pod sr diícil dtrminar s os valors obtidos para as variávis corrspondnts a um ponto d máimo ou d mínimo ou nnhuma dssas opçõs No caso d uma unção d uma variávl studamos concavidad dduzimos o tst da sgunda drivada Eist um análogo ao tst da drivada sgunda para unçõs d duas variávis Condição Suicint ou Tst da Drivada Sgunda para Funçõs d Duas Variávis: Sja uma unção dinida num conjunto D R um ponto intrior d D tal qu isto é um possívl ponto d máimo ou d mínimo d Nstas condiçõs s é dirnciávl no ponto s as drivadas parciais são também dirnciávis m tmos: Caso 1 é o ponto d máimo s < > Caso é o ponto d mínimo s > > Caso não é ponto d máimo nm d mínimo s nst caso dirmos qu é um ponto d sla < ProMsCarlos Hnriqu carloshjc@ahoocombr 1-1

4 Emplo: Considr a unção 1 Encontr todos os pontos máimos ou mínimos ocorrm Utiliz o tst da drivada sgunda para dtrminar a naturza d cada ponto ond Rsolução: 1º Passo: Encontrando os valors d para os quais ambas as drivadas parciais são zro 1 º Passo: Dtrminando os valors d ± d obtmos: ± Assim d quando 1º ponto quando º ponto º Passo: Tst da sgunda drivada: 1 [ ] 1 Vriicando 1º ponto : 1 1 é ngativo plo caso do tst da drivada sgunda a unção não tm ponto d máimo ou ponto d mínimo m Vriicando º ponto : 1 1 é positivo a unção um ponto d mínimo m para dtrminar qual dls calculamos: 1 tm um ponto d máimo m sgunda a unção tm um ponto d máimo ou é ngativo plo caso 1 do tst da drivada ProMsCarlos Hnriqu carloshjc@ahoocombr 1-1

5 1 Atividads Práticas Dtrminar caso istam os pontos d máimo os pontos d mínimo das unçõs dadas por: Rsp: é ponto d mínimo da unção dada Rsp: é ponto d máimo da unção dada 1 Rsp: não é ponto d máimo nm d mínimo ponto d sla Rsp: é ponto d máimo da unção dada 1 1 Rsp: 1 é ponto d mínimo 1 é o ponto d máimo 1 1 pontos d sla Bibliograia: BOULOS P Calculo Dirncial Intgral d São Paulo: Parson Education do Brasil BOYCE WE Equaçõs Dirnciais Elmntars BRONSON R Equaçõs Dirnciais d São Paulo: Makron Books do Brasil 199 FIGUEIREDO D G Equaçõs Dirnciais Aplicadas Rio d Janiro: Impa 1979 IGM disponívl m wwwigmmatbr LEITHOLD L O Calculo Com Gomtria Analítica d São Paulo: Harbra 199 SILVA SM Matmática São Paulo: Atlas 1997 SIMMONS G F Calculo Com Gomtria Analítica Sao Paulo: Parson Makron Books STEWART J Calculo d Sao Paulo: Pionira Thomson Larning SWOKOWSKI E W Calculo Com Gomtria Analítica d São Paulo: Makron Books do Brasil 199 PISKOUNOV N S Calculo Dirncial Intgral d Porto: Ediçõs Lops da Silva 1997 THOMAS JR G B Calculo 1 d Sao Paulo: Addison-Wsl ProMsCarlos Hnriqu carloshjc@ahoocombr 1-1