, ou seja, 8, e 0 são os valores de x tais que x e, Página 120

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1 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Página 0. Como g é uma função contínua stritamnt crscnt no su domínio. Logo, o su contradomínio é g, g, ou sja, 8,, porqu: 8 g 8 g 8 8. D : 0, f Rsposta: C Cálculo Auiliar: 0 Como a função inquação. y é quadrática o su gráfico tm a concavidad voltada para baio, ntão as soluçõs da 0 são os valors d tais qu,. Rsposta: A 0 f. Logo, o ponto rprsntado na opção A prtnc ao gráfico d f. 0 0 f. Logo, o ponto rprsntado na opção B prtnc ao gráfico d f. ln ln4 ln4 f ln 4 4. Logo, o ponto rprsntado na opção C prtnc ao gráfico d f. O ponto rprsntado na opção D não prtnc ao gráfico d f. Rsposta: D log log log 4. log log0 log 0 0 log 0 0 Rsposta: A Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página

2 Prparar o Eam 0 07 Matmática A 5. f g 5 9. O ponto d intrsção das funçõs f g é o ponto d coordnadas 0,. Pod obsrvar-s graficamnt qu para todos os valors d maiors qu zro a função f, assum valors infriors à função g. Logo o conjunto solução da inquação é. Para 0, tm-s 5 9 para 0, tm-s 5 9. Outra rsolução: f g Logo o conjunto solução da inquação é. Rsposta: C 6. A quação 6 6 é impossívl pois 6 0, 6 0. Rsposta: A 7. f g ln 4 0 ln 0 ln 0 ln Assim, a abcissa do ponto A é ln ln ln ln. Rsposta: C Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página

3 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Página 8. Sab-s qu s a, ntão d a para os quais, a 4a a. Assim: y a é uma função stritamnt crscnt. Portanto, tmos d ncontrar os valors a a a a a ,, Cálculo Auiliar: Rcorrndo à fórmula rsolvnt, vm a a a a 4 0 Como a função da inquação a y a a 9. Considrando 4 é quadrática o su gráfico tm a concavidad voltada para cima, ntão as soluçõs 4a 0 são os valors d a tais qu a,,. RQ a bas do triângulo PQR, a sua altura é dada por f 9a f a f 9a f a log 9a log a log 9 log a. Assim: log a log Rsposta: B Como RQ 9a, a ára pdida é RQ f 9a f a 9a 9a. Rsposta: B 0. Rlativamnt ao triângulo ABC, sab-s qu: A abcissa do ponto A é o valor d, para o qual 0 g. Assim, g( ) 0 ln 0 A abcissa do ponto B é a. Logo, AB a A ordnada d C é g a ln a. Logo, BC ln a A ára do triângulo ABC é dada por AB BC a ln a Rlativamnt ao rtângulo PQRS, sab-s qu: SP f a a A ordnada do ponto Q é dada por Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página

4 Prparar o Eam 0 07 Matmática A A ordnada do ponto S é dada por 0 f 0 a QP a A ára do rtângulo PQRS é dada por SP QP ( a ) a O valor d a para o qual a ára d rtângulo PQRS é igual à ára do triângulo ABC é o valor d a qu satisfaz a quação: a ln a a a ( a ) ( a )ln a ln aln a a a i) i) a a 0 a 0 Rsposta: C Página. Tm-s, 5 5 log a 5log a y log a log a y log a a log a log 5 a a a ay. 5 y y y0. Tm-s, 7log ( ) 7 log ( ) a b a b a 8 a a 8 a b 8 a a. b b0 b Rsposta: A Rsposta: D b b ab b ab b ab b a a b. b b0b 0. Tm-s, log ab ( ) Outra rsolução: log log log ab b ab b ab b b ab b b a b b a b0b 0 Rsposta: C 4. Sja B o acontcimnto «plo mnos um lmnto d A sr solução da inquação». Comcmos por rsolvr a inquação: 7 7 D :7 0 :, Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 4

5 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Nst domínio tm-s, log 7 log 7 log Logo, o conjunto solução da inquação é, portanto há dois lmntos d A qu são solução da inquação, 0 quatro qu não são. Portanto o númro d casos possívis é 6 C 5 o númro d casos favorávis é 4 C C C 9. Assim, 9 P B. 5 5 Rsposta: D log log 8 log log 6 8 log 6 8 log 6 log log 4 log log log log ( ) 0 log ln log0 log ln log0 log ln log0 log log0 0 0 log log log Conjunto Solução:, (dividindo por. Pod-s fazê-lo, pois 0, log log 4 log 4 log 4. Assim, Conjunto Solução: log 4 Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 5

6 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Fazndo y, vm y 7y 8 0 y y y 9 9 y Eq. impossívl Conjunto Solução: 6.4. D : 0 :, Nst domínio tm-s, log 4 4 log 4 log 4 4 log 4 log 4 4 Conjunto Solução: D : : 7 0,7 Nst domínio tm-s, log log 7 log log log log log 7 log log Como D 7 D, a única solução da quação é 7. Conjunto Solução: 7. Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 6

7 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Conjunto Solução:, , Fazndo y, vm y y 5 0 Cálculo Auiliar: Rcorrndo à fórmula rsolvnt, vm y y y y Como a função soluçõs da inquação f y y y 5 é quadrática o su gráfico tm a concavidad voltada para cima, ntão as y y 5 0 são os valors d y tais qu y, 7 5,. Assim, y y y y ln5 y Inq. impossívl Conjunto Solução: ln5, ln D : : 0,0, Cálculo Auiliar: Como a função y 4 da inquação 4 0 é quadrática o su gráfico tm a concavidad voltada para cima, ntão as soluçõs são os valors d tais qu,0,. 0 Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 7

8 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Nst domínio tm-s, log 4 log log 4 log log 8 log 4 ) log Cálculo Auiliar: Rcorrndo à fórmula rsolvnt, vm Como a função y é quadrática o su gráfico tm a concavidad voltada para cima, ntão as soluçõs da inquação são os valors d tais qu,6. Tndo m conta o domínio D calculado, os valors d qu satisfazm a inquação dada são os valors d qu satisfazm a condição 6 0 : Conjunto Solução:,0, Página A ára do rtângulo ABCD é dada por A ABCD AB BC A abcissa d B, igual à abcissa d C, é o valor d para o qual s tm f 4 : 4 5 Então, 5 AB. Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 8

9 Prparar o Eam 0 07 Matmática A A ordnada d B, igual à ordnada d A, é dada por f, pois o ponto A prtnc ao gráfico d f : f Então, 7 BC 4. 7 A ára do rtângulo ABCD é igual a A AB BC. ABCD O prímtro do rtângulo ABCD é igual a P AB BC 0 ABCD Cálculo Auiliar: Como a função y 6 é quadrática o su gráfico tm a concavidad voltada para cima, ntão as soluçõs da inquação 6 0 são os valors d tais qu,,. Conjunto Solução:,, f. Outra rsolução: f 4. Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 9

10 Prparar o Eam 0 07 Matmática A D D D,,, f h Nst domínio tm-s, log log log log log f h 7 log log Tndo m conta o domínio D calculado, o conjunto solução da inquação é dado por: D 7,, 7, 7, Para ncontrar a abcissa do ponto A, faz-s h 0, pois A é o ponto d intrsção do gráfico d h com o io O ( y 0 ). Assim: h( ) 0 log 0 log log. Logo, as coordnadas do ponto A são,0. Analogamnt, fazndo f 0, dtrmina-s a abcissa do ponto B: f ( ) 0 log 0 log log. Logo, as coordnadas do ponto B são,0. Rsolvndo a quação h f, calcula-s a abcissa do ponto C: h( ) f ( ) log log Assim, a ordnada d C é dada por h log log loglog log Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 0

11 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Portanto, as coordnadas do ponto C são, log. Considrando AB a bas do triângulo ABC, a sua altura é igual a log log. Portanto, a sua ára é AB altura dada por 9. A ABC log log log log. 9.. Dg : a 0 :, a a a 0 Como Dg,, ntão a. a S o ponto d coordnadas,0 prtnc ao gráfico d gráfico d g portanto g 0. Assim: g, ntão o ponto d coordnadas 0, prtnc ao S a 4 8 g 0 log ab logb log b b b b 4 a 0 b, vm g log 8 log log log log Calculmos a prssão analítica da função quação m ordm a, vm: g. Fazndo log 4 g y y rsolvndo sta Assim, g 4 log log 4 y 4 y 4 y. O domínio d g é qu é igual ao contradomínio d g. 9.. Tm-s g 4 log 4 log 4 log D : : 4,4 y 4 Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página

12 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Nst domínio tm-s, log 4 log 4 log log 4 log 4 log Cálculo Auiliar: Rsolvndo a quação Como a função da inquação y 7 log 7 4 log é quadrática o su gráfico tm a concavidad voltada para baio, ntão as soluçõs 7 0 são os valors d tais qu 7,0,. Dtrminando a intrsção dst conjunto com o domínio, obtém-s o conjunto solução pdido. D,4, da inquação g 4 log 4, 4 Conjunto Solução: 7,0,4 Página 4 0. g ln, logo as coordnadas do ponto Q são, ln. g 0 ln 0 ln, logo as coordnadas do ponto P são,0. y ln Q O P ln A ára do triângulo OPQ é dada por, ln A 0,9. OPQ Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página

13 Prparar o Eam 0 07 Matmática A. O modlo corrto é o aprsntado na opção II. O modlo aprsntação na opção I não é corrto porqu, no início d 990 ( t 0 ), istiam 400 lobos no parqu natural sgundo st modlo istiam no parqu 500 lobos: P 0,50 0 O modlo aprsntação na opção III não é corrto porqu, por mplo, ao fim d três anos o númro d lobos é d aproimadamnt 09 ( P Outra manira d liminar a opção III: 00 09) o qu ultrapassa o milhar d indivíduos Como lim Pt lim 00, ntão, sgundo st modlo, com o passar do tmpo t t t 0 o númro d lobos tndrá para os 00, portanto ultrapassará o milhar d indivíduos.... O final d 96 corrspond a 4 t. Portanto tm-s I 4,5 (500 pssoas). Como p, vm: 4k 4k 4k 4k 4k 4k 4k I 4,5,5,5 4,5,5 0,5,5 5 k.. Tm-s qu I ln5 4k ln5 k 0,4 4, logo: k k k k k k k I p p p k p p Assim, A B... It k ln k lnln p k ln p p 0 kt kt p kt kt kt kt p p p p kt kt. Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página

14 Prparar o Eam 0 07 Matmática A... Tm-s qu f O carro dsvaloriza % ao ano, isto é, a cada ano qu passa o valor do carro srá igual ao valor qu tinha no ano antrior mnos % (0,) dss valor. Assim: o valor do automóvl um ano após a compra é dado por f 50 0, , 50 0,88 o valor do automóvl dois anos após a compra é dado por: f 50 0,88 0, 50 0, ,88 0, 50 0,88 o valor do automóvl três anos após a compra é dado por:. f 50 0,88 0, 50 0,88 500,88 0, 50 0,88 Logo, t anos após a sua compra o valor do automóvl é dado por f t 50 0,88 t... a) S 0,8 ln0,88, vm 0,8 ln 0,88 0,8 0,8 ln 0,88 0,88. Assim: t t f t 50 0, ,8 0,8 t b) Ao fim d anos corrspond a t. Como qurmos sabr o valor do carro ao fim d anos 8 mss, qurmos calcular 8 f f (oito mss corrspond a 8 f 0,8 50, 709 do ano). Assim: Ao fim d anos oito mss o carro valrá, aproimadamnt, 7 uros. ln 0 5 f t ,8t ln t, ,8 0,8t 0,8t c) Tm-s O automóvl ating o valor d uros, passados, aproimadamnt,,6 anos após a compra. Portanto o João dvrá vndr o carro m Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 4

15 Prparar o Eam 0 07 Matmática A d) Tm-s: 0,8 t 0,8 t f t f t 50 0,8t 50 0,8t ln 0,8 ln 5, 4 0,8 0,8 0,8 0,8t 0,8t Como 0,4 5, conclui-s qu a cada cinco anos cinco mss o automóvl dsvaloriza 50%... A dsvalorização trimstral é dada plo quocint f t 4 f t 0,5. f t f t 0,8 t 0,5 f t 0, 5 50 t 0,8t 0,8t f t 50 0,8 0,80,5 0,8 t 0,0 0,0 0,8t 0,9685 Como 0, ,85% 00% 96,85%,5%, conclui-s qu a dsvalorização trimstral do automóvl é d aproimadamnt,5%. Página Tm-s,4 0,5 A p,4 0,5 0,55 ln p,4 ln p p. 0,55 O pso do Ricardo srá, aproimadamnt, Kg.,9 0, Tm-s: A p A p 0, 6 0,5 0,55 ln p 0,5 0,55 ln p 0, 6 0,6 0,55ln p 0,55ln p 0, 6 ln p ln p 0,55 ln ln p ln p ln Obsrva qu 0,6 0, ,55 0, Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 5

16 Prparar o Eam 0 07 Matmática A S a difrnça ntr a altura d duas crianças do so masculino é, d acordo com o modlo, d 60 cntímtros ntão uma das crianças tm o triplo do pso da outra. 4.. Tm-s: 0,55 0,55 0,5 0,55 0,55 0,5 A p 0,5 0,55 ln p 0,5 ln p ln ln p ln p ln ln p 0,5 5. Pla informação dada no nunciado, sab-s qu Q Q 0 0. Tm-s: Q 0 log Q0 log 8 k 0 log 8 400k Assim: log log Q Q k k k Logo, k 0, k 7 k 0, Tm-s qu C0 a. O custo d produção d cada pilha aumnta 8% a cada sis mss, isto é, a cada mio ano o valor d produção d cada pilha igual ao valor qu tinha no sis mss ants mais 8% dss valor. Portanto para sabr quando srá o custo sis mss após um dado instant basta multiplicar por,08 ( 00% 8% 08%,08 ) o valor do custo d produção nss instant. Por mplo, o valor do custo d produção sis mss após o início da produção é: Assim: C 0,5 a 0,08a a 0,08 a,08 0,5 o custo d produção sis mss após o início da produção é C0,5 a,08 a,08. o custo d produção um ano após o início da produção é C a,08,08 a,08 a,08. o custo d produção 8 mss após o início da produção é C,5 a,08,08 a,08 a,08,5. Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 6

17 Prparar o Eam 0 07 Matmática A o custo d produção dois anos após o início da produção é C a,08,08 a,08 4 a,08. Logo, t anos após ao início da produção, o custo d produção d cada pilha é dado por: t. C t a,08 a,08 t Prtnd-s calcular o valor d para o qual C( t ) C t : Ct C t a (,08) C t C t t, 08 t a (, 08) t t, 08 ln ln log,08 log,08 4,5 ln,08 ln,08 O custo d produção dsta pilha duplica ao fim d, aproimadamnt, cinco anos sis mss. 6.. Para Ct,08 t. a tm-s Sja L a função qu dá o lucro d vnda dstas pilhas m função d t. Assim, Utilizando o ditor d funçõs da calculadora, dfin-s y L t p t C t N t. Lt na janla d visualização 0,0 00,800. y c O b a t y L t Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 7

18 Prparar o Eam 0 07 Matmática A a) Lt 0 t a, com a 8,468. A produção vnda das pilhas diam d dar lucro passados, aproimadamnt, oito anos sis mss ( 0,468 6 ). b) A função L ating o máimo m ss máimo é dado por Lb c, com b 7,4 c 70,6956. O lucro máimo d vnda das pilhas é 7069,56 uros passados st anos cinco mss ( 0,4 5 ). Proposta d Rsolução dos Ercícios do Subcapítulo Função Eponncial. Função Logarítmica Página 8