Adriano Pedreira Cattai

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1 Adriano Pdrira Cattai Univrsidad Fdral da Bahia UFBA, MAT A01, Suprfíci Cilíndrica 31 Introdução Dfinição d Suprfíci Podmos obtr suprfícis não somnt por mio d uma quação do tipo F(,, z ) = 0, istm muitos procdimntos para a obtnção d uma suprfíci, como vimos: (a) (b) (c) (Suprfíci Cônica) movndo-s uma linha rta (gratriz) por uma curva passando por um ponto fio não prtncnt a la (Suprfíci Cilíndrica) movndo-s uma linha rta (gratriz) por uma curva fiada (dirtriz) smpr parallamnt a uma outra linha rta fia (Suprfíci d Rvolução) fazndo um giro d 360 d uma curva (gratriz) m torno d uma linha rta fiada (io d rvolução) Conform as figuras a sguir Gratriz Gratriz Suprfíci Cônica Suprfíci Cilíndrica Suprfíci d Rvolução No ntanto, podmos a partir dsts procdimntos obtr uma quação sob forma F(,,z)=0, como rfr o sgundo problma fundamntal da Gomtria Analítica É o qu farmos a partir d agora, mas somnt para o itm (ii) Ess nfoqu analítico a partir do nfoqu gométrico é fundamntal na intrprtação d muitos problmas matmáticos, como nas disciplinas Cálculo II Cálculo IV 3 Suprfíci Cilíndrica Dfinição (Suprfíci Cilíndrica): É a suprfíci grada por uma linha rta qu s mov, d manira qu é smpr paralla a uma dada rta fia passa smpr por uma curva fia dada Página 1

2 A rta qu s mov é dnominada gratriz a curva dada fia é a dirtriz da suprfíci cilíndrica Qualqur posição da gratriz é dnominada uma gratriz da suprfíci cilíndrica Na figura ao lado, a gratriz é uma rta paralla ao io-z a dirtriz é uma lips no plano XY Essa suprfíci é um cilindro líptico rto S ao invés d uma lips tivéssmos um circulo, a suprfíci sria um cilindro circular rto Na dtrminação da quação d uma suprfíci cilíndrica, studarmos o caso m qu a dirtriz é uma curva qu s ncontra num plano coordnado Suponhamos qu uma porção da dirtriz, a curva C, s ncontr no plano coordnado YZ v a, b, c como dirtor da dirtriz da suprfíci cilíndrica S Podmos ntão scrvr sja o vtor ( ) as quaçõs da curva C na forma f(, z ) = 0 = 0 (1) Sja P(,, z ) um ponto qualqur d S suponhamos qu a gratriz qu passa por P intrcpta C no ponto P' ( ', ', z '), ou sja, P ' é projção d P sobr C; ntão logo as quaçõs dssa gratriz são: Além disso, visto qu P S PP' =λv, ( ', ', z z' ) λ ( a, b, c) = ou, () ' z z' = =, já qu ' = 0 ( ) a b c P ' s ncontra sobr C suas coordnadas satisfazm as quaçõs (1), ou sja, são satisfitas as sguints quaçõs f ( ', z ') = 0 ' = 0 (3) Pla dfinição d suprfícis cilíndrica o ponto P pod s ncontrar sobr a suprfíci s, somnt s, suas coordnadas (, z, ) satisfazm () (3) A partir dssas quaçõs podmos ntão liminar as três quantidads ', ' variávis, z, sta é a quação procurada da suprfíci z ', m qu o rsultado é uma única quação nas três Emplo 1: Dtrmin a quação da suprfíci cilíndrica cuja dirtriz é a parábola z = 0 situada no plano XY cuja gratriz tm a dirção do vtor v ( 1,1, 3) = 4 Página

3 Solução: Suponhamos qu a gratriz qu passa por qualqur ponto P(,, z ), sobr a suprfíci intrcpta a dirtriz no ponto P' ( ', ',0), como na figura Então, conform (), as quaçõs dsta gratriz são = ' + λ, = ' + λ, z = z' + 3λ Também, uma vz qu tmos parábola ' P ' s ncontra sobr a parábola, = 4 ' z ' = 0, daí chgamos a ( λ ) 4( λ ) = z 3λ = 0 P portanto + z z + z = é a quação procurada da suprfíci Not qu o traço da suprfíci sobr o plano XY é a parábola (dirtriz) P ' Uma prgunta natural rfrnt a ss mplo, é a sguint: Como s comportaria ssa suprfíci s o vtor dirtor stivss à dirção do io ortogonal ao plano XY, ou sja, ao io-z? Farmos o sguint mplo Emplo : Dtrmin a quação da suprfíci cilíndrica cuja dirtriz é a parábola z = 0 situada no plano XY cuja gratriz tm a dirção do vtor v ( 0,0,1) = 4 Solução: Analogamnt, tmos qu as quaçõs da gratriz são = ', = ', z = z' + λ Também, uma vz qu chgamos a P ' s ncontra sobr a parábola, tmos parábola ' = 4 ' z ' = 0, daí portanto = 4 z λ = 0 = 4 é a quação procurada da suprfíci Not qu a variávl z não aparc na quação da suprfíci Dtrminamos a quação d uma suprfíci cilíndrica a partir das quaçõs d sua dirtriz dos parâmtros dirtors d sua gratriz Invrsamnt, podmos dtrminar as quaçõs da dirtriz os parâmtros dirtors da gratriz d uma suprfíci cilíndrica a partir d sua quação, como vrmos no sguint mplo Página 3

4 Emplo 3: Mostr qu a quação + + z + z z = 1 rprsnta uma suprfíci cilíndrica dtrmin as quaçõs d sua gratriz os parâmtros dirtors d sua dirtriz Solução: Pla dfinição d suprfíci cilíndrica, as sçõs fitas por planos parallos ao plano da gratriz são curvas congrunts com a gratriz Assim, as sçõs da suprfíci fitas plos planos z = k são as curvas qu podm sr scritas na forma + + k + k k = 1 z = k, ( + k) + ( k) = 1 z = k Essas últimas quaçõs são circunfrências d raio igual a 1, indpndntmnt do valor d k Em particular, para k = 0, a circunfrência + = 1 z = 0 ( ) rto com ( ) sndo a gratriz Claramnt, a rta qu un o cntro ( k, k, k) circunfrências o cntro ( 0,0,0) da gratriz ( ), é paralla à dirtriz Como [ 1,1,1 ] Logo a suprfíci é um cilindro circular parâmtros dirtors dsta rta, logo ls também são os parâmtros da gratriz d qualqur uma das são os S a gratriz d uma suprfíci cilíndrica é prpndicular ao plano d sua dirtriz, é dnominada Suprfíci Cilíndrica Rta, caso contrário é Suprfíci Cilíndrica Obliqua No mplo, dtrminamos a quação d uma suprfíci cilíndrica cuja dirtriz ra prpndicular ao plano da gratriz, vimos qu a quação foi dsprovida da variávl não mdida no plano coordnado qu contém a gratriz Além disso, o lugar gométrico plano dsta é a gratriz Invrsamnt, uma quação dsprovida d uma variávl rprsnta uma suprfíci cilíndrica rta cuja gratriz é prpndicular ao plano coordnado m qu não é mdida a variávl qu falta, cuja gratriz é o lugar gométrico plano dsta quação Por mplo, a quação = 4 rprsnta uma suprfíci cilíndrica rta cuja gratriz é prpndicular ao plano XY cuja dirtriz é a hipérbol = 4 z = 0 Rsumimos sts rsultados no sguint torma Torma 1: Uma quação rprsnta uma suprfíci cilíndrica rta, cuja gratriz é prpndicular ao plano coordnado qu contém a dirtriz s, somnt s, la é dsprovida da variávl não mdida no rfrido plano O lugar gométrico plano dsta quação é a dirtriz Página 4

5 S a dirtriz d uma suprfíci cilíndrica é uma circunfrência, a suprfíci é dnominada cilíndrica circular, conform figura abaio Smlhantmnt tmos suprfícis cilíndricas parabólicas, lípticas hiprbólicas Not também qu um plano é uma suprfíci, cuja dirtriz é uma linha rta 33 Coordnadas Cilíndricas Vrmos um sistma d coordnadas para o partir d uma suprfíci cilíndrica circular rta 3, o Sistma d Coordnadas Cilíndricas, a Sja P (, z), um ponto qualqur sobr a suprfíci cilíndrica circular rta d raio r cujo io é o io Z Evidntmnt a quação d tal suprfíci é = + r (1) Z Na figura ao lado, stá rprsntada uma porção da suprfíci no primiro octant Plo ponto P, baiamos a sua projção ortogonal no plano XY, o ponto P Sja OP ' = r sja θ o ângulo ntr OP ' o io X positivo Tmos ntão as sguints rlaçõs: = r cosθ, = r sinθ z = z (), X θ z r P' (, z) P, Y a partir das quais, vidntmnt, é possívl localizar qualqur ponto sobr a suprfíci cilíndrica (1) quando são dados os valors d r, θ z Por sta razão ssas quantidads são dnominadas coordnadas cilíndricas do ponto são scritas ( r, z),θ Página 5

6 Mais gralmnt, s um ponto fio (a origm O), uma rta fia (o io X) um dado plano (o plano XY) são tomados como lmntos d rfrência, ntão, juntamnt com as coordnadas cilíndricas ( r, z),θ, é possívl localizar qualqur ponto no spaço; tmos assim o sistma d coordnadas cilíndricas O ângulo θ pod sr mdido como m trigonomtria com o io X positivo como lado origm A fim d qu as coordnadas cilíndricas ( r, z),θ rprsntam inquivocamnt um ponto no spaço rstringimos os valors d r θ aos intrvalos r 0 0 θ < π Nnhuma condição é colocada à coordnada z, qu pod assumir quaisqur valors rais Eliminando-s θ z a partir das quaçõs () obtmos a quação (1) Logo as quaçõs () são as quaçõs paramétricas da suprfíci cilíndrica circular rta (1), sndo as variávis θ z os parâmtros As rlaçõs () podm sr usadas como quaçõs d transformação ntr os sistmas d coordnadas rtangulars cilíndricas A partir dlas obtmos, como no sistma d coordnadas polars, as rlaçõs r + =, θ = arctan, sinθ = + cosθ =, + qu também podm sr usadas como quaçõs d transformação ntr os dois sistmas Rsumimos sts rsultados no sguint torma,θ d Torma : As coordnadas rtangulars (,, z) as coordnadas cilíndricas ( r, z) um ponto no spaço stão ligadas plas rlaçõs = r cosθ, = r sinθ z = z As transformaçõs ntr os dois sistmas d coordnadas podm sr ftuadas por mio dstas quaçõs das sguints rlaçõs obtidas das msmas: r + =, θ = arctan, sinθ = + cosθ =, + Os intrvalos para r θ são dados por r 0 0 θ < π Página 6