FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

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1 Hwltt-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 05 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ano: 2016

2 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO 2 PRODUTO CARTESIANO 2 Númro d lmntos d 2 Rprsntaçõs d um produto cartsiano 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2 RELAÇÃO DE A m B 3 FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 3 NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO 3 ELEMENTOS ESSENCIAIS 3 FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4 DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 4 RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 5 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5 REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 5 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 6 GRÁFICOS EM 3D 6 NOÇÃO DE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL 7 QUESTÕES EXTRAS 7 GABARITO 9 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 9 QUESTÕES EXTRAS 9

3 AULA 01 Númro d lmntos d INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO Você dv s lmbrar, do 9 ano, qu m um plano cartsiano ortogonal, no qual tmos um sistma d ixos prpndiculars (dnotado por ), um ponto P d abscissa ordnada, dnotado por, pod sr rprsntado conform a figura a sguir Sndo A B conjuntos finitos, é possívl dmonstrar qu o númro d lmntos do produto cartsiano d por,, é dado por: Rprsntaçõs cartsiano d um produto O produto cartsiano d rprsntado d três formas: Tabular Diagrama d flchas Diagrama cartsiano por pod sr EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 11 Sjam a) Dtrmin b) Rprsnt os produtos cartsianos, na forma b1) tabular; b2) d diagrama d flchas; b3) d diagrama cartsiano 12 Sjam Em gral, os ixos coordnados graduados m uma msma scala são Rprsnt Como rprsntar um produto cartsiano quando plo mnos um dos conjuntos é um intrvalo? Em símbolos, tmos: Rprsntarmos tais produtos cartsianos apnas no plano cartsiano Us a sguint notação: Extrmo do intrvalo abrto: traçar por l uma prpndicular pontilhada; Extrmo do intrvalo fchado: traçar por l uma prpndicular contínua; Extrmo do intrvalo infinito: não traçar rta; Intrcssão d rtas contínuas: bolinha fchada ; Intrcssão d rtas, m qu plo mnos uma é pontilhada: bolinha abrta Para rprsntar o produto cartsiano, você dv pintar a rgião comum dlimitada plas rtas suas intrcssõs Obs1: Em gral, TAREFA 2 Lr, na pág 6 7, a Obs 4, os x rsolvidos 5 6 FAZER os PPS d 1 a 4a TAREFA 1 Lr: na part tórica 1, o tópico Introdução ao plano cartsiano, a Obsrvação 1 os xrcícios rsolvidos 1 2 PRODUTO CARTESIANO Sjam conjuntos não vazios Tomando quaisqur podmos formar pars ordnados O produto cartsiano d por, dnotado por, é o conjunto formado por todos sss pars ordnados Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 2

4 AULA 02 Como vrificar s uma rlação d A m B é uma função d A m B? RELAÇÃO DE A m B Considr dois conjuntos, não vazios, o produto cartsiano formado à partir d Todo subconjunto d dnomina-s rlação d m Exmplo 1: Sndo qu modo, algumas rlaçõs d A B são: tm-s Dss FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Considr, subconjuntos não vazios do conjunto dos númros rais, todas as rlaçõs d m possívis d srm ralizadas Dntr ssas rlaçõs, chamarmos d função d m, dnotada por, aqulas m qu para cada xist um único, tal qu Obs1: O conjunto é dnominado domínio da função srá dnominado por Obs2: O conjunto é dnominado contradomínio da função srá dnominado por Obs3: S, ntão o qual dnotamos por é a imagm d por Obs4: O conjunto formado plos lmntos d para os quais xist plo mnos um lmnto d tal qu é dnominada conjunto-imagm d srá dnotado por Not qu Obs5: Em, com variávl indpndnt dpndnt, é dnominado é dnominado variávl EM SALA Lr, na pág 16, o xrcício rsolvido 9(a, d, ) E, na pág 22, o xrcício rsolvido 11 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Vrifiqu s cada lmnto do domínio, sm xcção, stá associado a xatamnt um lmnto do contradomínio Dica: Uma rlação srá uma função d A m B s a comparação a sguir valr para todos os lmntos d A: Cada filho(m A) dv tr uma única mã (m B) Dica prática para rlaçõs nvolvndo intrvalos: No diagrama cartsiano: trac rtas vrticais por toda a xtnsão do domínio da suposta função S plo mnos uma das rtas não intrsctar, ou intrsctar mais d uma vz, a curva aprsntada, ntão não s trata d uma função d A m B NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO A noção intuitiva d função é aqula qu nos prmit rconhcr as situaçõs m qu os valors d duas grandzas stão rlacionados d tal forma qu a cada valor d uma dlas stá associado um único valor da outra Exmplo 1: Ao psarmos nosso prato m um slfsrvic, tmos a crtza d qu para cada quantidad d comida srvida xistirá um valor associado a sr pago st srá único Exmplo 2: Ao analisar, durant um intrvalo d tmpo, a altura atingida por uma bola ao sr chutada para cima, tm-s a crtza d qu, para cada instant analisado a altura atingida pla bola xistirá srá única Msmo qu o contrário não sja vrdadiro (isto é, m dois instants distintos a bola pod star a uma msma altura) ELEMENTOS ESSENCIAIS Para dfinirmos uma função lmntos ssnciais: qu associa a cada lmnto, prcisamos d três um único Página 3

5 FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Quando é uma função ral d variávl ral, o valor é, gralmnt, dado por uma xprssão algébrica m trmos d Entndndo a simbologia das funçõs A sguir tm-s a msma situação dscrita m duas linguagns: I) EM LÍNGUA PORTUGUESA Sja f uma função com domínio m um conjunto A contradomínio m um conjunto B, tal qu a imagm d cada lmnto do domínio é associada ao quadrado dst acrscido d 1 Dado qu os lmntos d A são todos os númros intiros ntr -2 2 os lmntos d B são os númros naturais não nulos mnors qu 4, dtrmin o qu s pd: a) o domínio d ; b) o contradomínio d ; c) a imagm d -1 pla função ; d) o conjunto-imagm d ; ) o lmnto do domínio d tal qu sua imagm pla função f é igual a 2; f) o lmnto do contradomínio d tal qu l é a imagm d 0 pla função f II) EM LINGUAGEM SIMBÓLICA Sja, uma função tal qu Dados, dtrmin o qu s pd: a) ; b) ; c) ; d) ; ) tal qu ; f) tal qu Espramos qu, com ssa comparação, você ntnda o significado as facilidads qu a linguagm simbólica nos traz EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 21 Rsponda à situação dscrita no quadro vrd acima TAREFA 3 Lr, na pag 20, o xrcício rsolvido 10 na pág 25 a 30, os xrcícios rsolvidos 12, 13, Após a litura, fazr os PSA 5,8, 11, 13, 15(c,d,), TAREFA 4 Fazr os PSA 6, 10, 12, 14, 16(a,d,), 18, 22(a,b), AULA 03 DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Suponha, nas xprssõs a sguir, qu rprsntam polinômios na variávl, qu assum todos os valors rais para os quais sja um númro ral xist m s, somnt s, Assim, sndo, tal qu, tm-s xist m s, somnt s, Assim, sndo, tal qu, tm-s xist, m, para todo Assim, sndo, tal qu, tm-s xist m s, somnt s, Assim, sndo, tal qu, tm-s Obs 1: Algumas funçõs podm tr suas lis dadas por xprssõs qu misturam os casos acima Nsss casos, você dv analisar cada xprssão EM SALA Lr, na pág 32, o rsolvido 19(b, c, d,, g, i) Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 4

6 RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Sja com uma função ral d uma variávl ral, Diz-s qu é uma raiz d f s: é solução d Obs 2: S é zro d uma função, ntão é corrto afirmar qu o par ordnado E, dss modo, a rprsntação cartsiana d f intrsctará o ixo xatamnt no ponto Portanto, pods dizr qu o zro d uma função é igual à abscissa do ponto d intrcssão do gráfico d f com o ixo das abscissas EM SALA Lr, na pág 36, o xmplo 4 o xrcício rsolvido 21 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 31 AULA 04 REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DESFAZENDO MITOS Normalmnt, quando falamos d gráfico d uma função, a um aluno do 1 ano do Ensino Médio, prcbmos qu alguns acrditam m alguns mitos MITO 1) Existm apnas dois tipos d gráfico: parábola ou rta Vja como podmos dfinir o qu é um gráfico d uma função: O gráfico d uma função conjunto dos pars ordnados qu éo, m Ou sja, s supormos tmos a sguint rprsntação cartsiana d, : Sjam, uma função tal qu sua rprsntação cartsiana stá ilustrada a sguir Dtrmin os zros d 32 Dtrmin, s xistir, a raiz d cada uma das funçõs a sguir a), tal qu b), tal qu TAREFA 6 Fazr os PSA 35, 36(b,c), 37, E, dss modo, qualqur slção d pontos da rgião vrmlha (qualqur dsnho ), qu atnda à dfinição d função, pod sr o gráfico d uma função não apnas uma rta ou uma parábola MITO 2) Para s construir o gráfico d uma função é obrigatório ligar os pontinhos Obsrvando o qu vimos no MITO 1), podmos prcbr qu, no caso d sr um subconjunto d ou d, trmos como rprsntação cartsiana d um conjunto d pontos isolados Dss modo, qualqur subconjunto d não trá pontos ligados, nm por sgmntos d rta, nm por outra curva qualqur EM SALA Lr, na pág 37, os xrcícios rsolvidos Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 5

7 EM SALA Lr, nas pág 41, a Obsrvação 10, o Exmplo 6 o xrcício rsolvido 25 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Sjam tal qu uma função ral d uma variávl ral, um subconjunto não-vazio d TAREFA 8 Lr, na part tórica 5, o xmplo 8 fazr os PSA 46 a 48 GRÁFICOS EM 3D Sla do cavalo Nss contxto, podmos dizr qu, m, uma função pod rcbr apnas uma das sguints três classificaçõs: é dita CRESCENTE m s sndo, lmntos d, tivrmos qu Not qu, no sntido d litura (da squrda para a dirita), o gráfico d sob, quando é crscnt é dita DECRESCENTE m s sndo, lmntos d, tivrmos qu Not qu, no sntido d litura (da squrda para a dirita), o gráfico d dsc, quando é dcrscnt é dita CONSTANTE m s sndo, lmntos d, tivrmos qu Sla do Macaco Not qu o gráfico d fica contido m uma rta horizontal, quando é constant Uma função pod sr crscnt dcrscnt? Not qu m todos os casos acima, a dfinição foi fita sobr um subconjunto do domínio da função, ou sja, quando falamos d crscimnto ou dcrscimnto, stamos studando cada pdacinho da função Dss modo, como um todo, uma função pod sr crscnt m um momnto dcrscnt m outro Porém, é claro, m um msmo subconjunto a função é crscnt ou dcrscnt ou constant (apnas um) Tnt citar algum xmplo d função qu sja crscnt m um intrvalo dcrscnt m outro TAREFA 7 Lr, na pág 40, o xrcício rsolvido 24 fazr os PSA 41 a 45 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 6

8 AULA 05 QUESTÕES EXTRAS, uma função com f x 2x 2 a x, 1 Sja é uma constant ral Dado qu f 3 72 NOÇÃO DE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL m qu MOTIVAÇÃO 2 O gráfico a sguir é uma rprsntação cartsiana d uma função Um prparador físico acompanhou o dsnvolvimnto d um atlta dsd o início da adolscência do rapaz até l atingir a idad adulta, dtrmin as raízs d Durant ss príodo, o prparador concluiu qu a massa do atlta, m quilograma, m função da altura, m mtro, ra dada pla xprssão Também constatou qu a altura do rapaz, m mtro, m função do tmpo, m ano, ra dada pla xprssão A partir da anális do gráfico, julgu os itns a sguir Em sguida, justifiqu, no spaço indicado, apnas um dos itns qu você julgou como rrado, caso xista 1 Caso o prparador físico sntiss ncssidad, sria possívl xprssar a massa do rapaz m função do tmpo? Como? Obs: Para uma avaliação da massa m função do tmpo, o prparador tv d ftuar uma composição das funçõs TAREFA 9 Lr, na part tórica 5, a Obs 11, os xrcícios rsolvidos 26 a 31 fazr os PROP 50, 51(b,c), 52(a,d), 53(a,b,), 54(a,b,), S 4 Em, com, ntão é uma função crscnt 3 Considr qu o valor total cobrado por uma conta d tlfon sja composto por uma taxa fixa d R$ 35,00, qu inclui a cobrança dos 150 primiros minutos utilizados, mais R$ 0,10 por minuto qu xcdr os 150 primiros Dtrmin a li qu xprim o valor total cobrado, m rais, m trmos do númro d minutos 4 Establça o domínio da função ral EXTRA 5 Dadas as funçõs EXTRA: CONHECENDO AVALIAÇÕES 1,2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 31, 33, EXTRA (Composição d Funçõs): CONHECENDO AVALIAÇÕES 34; 35; 36; 38; 39; 40; 42 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz, m qu, com f x 1 3x 2,, com g x 2x 3, dtrmin g f x 6 Considr os conjuntos a função Nssas condiçõs, é possívl a) b) c) d) ), tal qu Página 7

9 7 Um taxista cobra por uma corrida um valor fixo d R$ chamado d bandirada, R$ por quilômtro rodado Em uma corrida d quilomtros, qual o valor pago, m rais, por taxista? a) b) c) d) ) d) ) 12 Nos itns a sguir têm-s rprsntadas rlaçõs ntr os conjuntos A B Assinal a opção qu indica uma função 8 A função ral cuja li é, tm domínio igual a a) b) c) d) ) 9 A figura a sguir é uma rprsntação cartsiana d uma função qu tm xatamnt quatro raízs rais 13 Considr a função tal qu O conjunto A pod sr igual a É corrto afirmar qu a soma das raízs dssa função prtnc ao intrvalor a) b) c) d) ) 10 Considr uma função tal qu Nssas condiçõs, tm-s a) b) c) d) ) 11 Sjam,, tais qu tm-s a) b) c), Dado qu, igual a a) b) c) d) ) 14 Considr uma função tal qu Nssas condiçõs, tm-s qu a) b) c) d) ) 15 Durant crto príodo, um automóvl dslocou-s com vlocidad, m mtro por sgundo, qu variou m função do tmpo, m sgundos, d acordo com a xprssão A distância, m mtro, ntr ss automóvl um ponto fixo, durant o príodo considrado, pod sr xprssa m função d por Dtrmin Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 8

10 GABARITO 12 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 11 a) 6 b1) A B B A 1, 3, 1, 4, 1, 5, 2, 3, 2, 4, 2, 5 3, 1, 3, 2, 4, 1, 4, 2, 5, 1, 5, 2 b2) A B B A 21 a) A 1, 0, 1 ; b) B 1, 2, 3 ; c) 2; d) 1, 2 ; ) x 1 ou x 1 ; f) , 3, a)9 b) 2, 2, 2 b3) A B B A QUESTÕES EXTRAS 1 0, 9 2 C E E E 35, s 0 x V 20 0,1 x, s x D f x x 2 5 g f x 6x 1 6 E 7 C 8 B 9 C 10 C 11 B 12 C 13 A 14 C 2 15 dv d v t 18t 27t 28 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 9