Seja f uma função r.v.r. de domínio D e seja a R um ponto de acumulação de

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1 p-p8 : Continuidad d funçõs rais d variávl ral. Lr atntamnt. Dominar os concitos. Fazr rcícios. Função contínua, prolongávl por continuidad, dscontínua. Classificação d dscontinuidads. Continuidad num intrvalo por scçõs. Tormas d Bolzano Wirstrass. Emplos d studo d continuidad. Função Contínua. Sja f uma função r.v.r. d domínio D sja a R um ponto d acumulação d D. Diz-s qu f é contínua m a s. a D. Eist é finito a.. a Continuidad Latral. Sndo D a um ponto d acumulação d D ] a, [, diz-s qu f é contínua à dirita m a s a Sndo D D, a, diz-s qu f é a um ponto d acumulação d ] [ contínua à squrda m a s a Prolongamnto por continuidad. Sja f uma função r.v.r. d domínio D sja a R um ponto d acumulação não prtncnt a D. Diz-s qu f é prolongávl por continuidad m a s. a D (ou sja, f ( não stá dfinido). Eist é finito a Função dscontínua. Sja f uma função r.v.r. d domínio D sja a R um ponto d acumulação d D. Diz-s qu f é dscontinua m a s não é contínua nm prolongávl por continuidad. O ponto a diz-s um ponto d dscontinuidad d f. Sndo f prolongávl por continuidad m a, chama-s prolongamnto por continuidad d f no ponto a à função f d domínio D {} a, tal qu,s D,s a a Um ponto d dscontinuidad diz-s d primira spéci s istm são finitos ambos os its latrais no ponto, caso contrário diz-s um ponto d dscontinuidad d sgunda spéci.

2 Continuidad num subconjunto do domínio. Sja f uma função r.v.r. d domínio D. f diz-s contínua no conjunto A D A D, s é contínua m todos os pontos do conjunto. f diz-s contínua num intrvalo fchado I [ a, b] com D I I D, s é contínua no intrior do intrvalo latralmnt contínua, do lado do intrvalo, nos trmos do intrvalo. f diz-s sccionalmnt contínua no conjunto A D A D, s é contínua m A ou s é finito o conjunto d pontos ond f não é contínua m A m nnhum dsss pontos ocorr uma dscontinuidad d ª spéci. 5 Tormas (propridads opratórias). Uma função constant num intrvalo abrto é contínua m todos os pontos dss intrvalo. Sndo f g funçõs contínuas num ponto a, também são contínuas m a as funçõs:. f g.. f g.. f g.. f g, s g (. n 5. f, com n N. 6. n f, s f ( > para n par. Uma função polinomial é contínua m R. S g é uma função contínua num ponto a, f é uma função contínua num ponto g (, ntão f o g é contínua no ponto a. 6 Procdimntos no studo da continuidad.. Dtrminar o domínio sm procdr a qualqur simplificação da função.. Dtrminar o drivado do domínio.. Justificar a continuidad da função usando, s possívl, os tormas das propridads opratórias.. Estudar a continuidad da função, pla dfinição, nos pontos ond os tormas não form aplicávis. 7 Torma d Bolzano. 8 Sja f uma função r.v.r. contínua num intrvalo I, sjam a b dois pontos d I, com a < b. S f ( < ntão k ], [, c ] a, b[ : k S f ( > ntão k ], [, c ] a, b[ : k (ou sja, uma função contínua num intrvalo não passa dum valor a outro sm passar por todos os valors intrmédios.) Corolário : S f é contínua m [ a, b] f ( < ntão c ] a, b[ : Corolário : S f é contínua no intrvalo I ntão f (I) é um intrvalo. Torma d Wirstrass. Uma função contínua num intrvalo itado fchado tm máimo mínimo nss intrvalo.

3 Emplo. 9 D f Sja f a função r.v.r. dfinida por f (,s,s > D f f é dscontínua d ª spéci ) f é dscontínua d ª spéci sndo contínua à squrda no ponto.. Dtrmin o domínio d f.. Estud a continuidad d f nos pontos -,,.. Esboc o gráfico da função. - - D f f R { R : } { R : > } ],[ ],[ ],] ], ] D \{,} D f - ) f é contínua m D f f é prolongávl por continuidad m Emplo. Sja f a função r.v.r. dfinida por ln( ),s <,s,s > Estud a continuidad d f no ponto. D f, ) ( ) ( ( ln( ) ln( ) ( ) ( )( ) A função é dscontínua, d ª spéci, m, o ponto prtnc ao domínio, mas o it no ponto não ist, dado qu os its latrais, qu istm são finitos, são difrnts. Como ) podmos dizr qu f ( é contínua à squrda m. Emplo. Sja f a função r.v.r. dfinida por Estud a continuidad d f no ponto. D f

4 Emplo. Estud quanto à continuidad a função r.v.r. dfinida por A função é dscontínua, d ª spéci m, dado qu o ponto não prtnc ao domínio, o it não ist, mas os its latrais istm são finitos (mbora difrnts, snão a função podria s prolongávl por continuidad). arcsn. Domínio da função D f R : D f ],[ ],]. Estudo da continuidad da função f ( é contínua nos intrvalos ],[ ],] rsultants da imposição das rstriçõs ncssárias à forma da prssão analítica composta d funçõs polinomiais, qu são contínuas m R. Basta fazr o studo nos pontos.. Estudo da continuidad no ponto D f π arcsn A função é dscontínua, d ª spéci, m, dado qu o ponto não prtnc o domínio o it ist mas não é finito.. Estudo da continuidad no ponto D f arcsn arcsn arcsn A função é dscontínua, d ª spéci, m, dado qu o ponto não prtnc o domínio, o it não ist, mas os its latrais istm são finitos (mbora difrnts, snão a função podria s prolongávl por continuidad.). 6

5 5 7 Emplo 5. Calcul os its:. ( ) ln ln. () () sn sn sn sn