Aula Teórica nº 8 LEM-2006/2007. Trabalho realizado pelo campo electrostático e energia electrostática
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- Manoel Cortês Aldeia
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1 Aula Tórica nº 8 LEM-2006/2007 Trabalho ralizado plo campo lctrostático nrgia lctrostática Considr-s uma carga q 1 no ponto P1 suponha-s qu s trás uma carga q 2 do até ao ponto P 2. Fig. S as cargas form do msmo sinal, a força qu s xrc ntr las é rpulsiva portanto não é o campo lctrostático qu raliza trabalho. Para trazrmos a carga q 2 do até P 2 tmos d lh aplicar uma força xtrior F = F2, com F2 = q2e1, sndo E 1 o campo lctrostático criado pla carga q 1. O trabalho ralizado pla força xtrna é dado por S dfinirmos a nrgia lctrostática d um sistma d cargas pontuais, como uma nrgia d intracção, com o caráctr d uma nrgia potncial, igual ao trabalho qu um agnt xtrior prcisa ralizar para formar uma distribuição, supondo qu as cargas são trazidas do até às posiçõs finais, uma a uma, tm-s Rpar qu a nrgia lctrostática d um sistma d 1 carga é nula pois uma carga não stá m intracção com nnhuma outra qu não s stá a contabilizar a nrgia intrínsca d cada carga pois nss caso la sria infinita por s tratar d uma carga pontual. A nrgia lctrostática d um sistma d 2 cargas srá igual à soma da nrgia d um sistma d uma carga ( w ( 1) = 0), com o trabalho qu um agnt xtrior prcisa d ralizar para trazr a 2ª carga do até à posição final. Rpar qu s ss trabalho for positivo a nrgia lctrostática d um sistma d 2 cargas também é positiva: 1
2 Considrmos agora a opração invrsa: Uma vz formado o sistma d 2 cargas, transportamos agora q1 d P1 até ao sob a acção do campo da carga q2 (vd. Fig. ) Nst caso, s as duas cargas form do msmo sinal, é o campo lctrostático qu raliza o trabalho, através da força = q E F1 1 2 A nrgia lctrostática final é agora Assim conclui-s qu o trabalho ralizado plo campo E 2 para lvar a carga q1 d P1 até ao é igual ao trabalho qu s tinha ralizado para trazr q2 do até P2. Vrificamos assim qu no final da opração assim como no início a nrgia lctrostática do sistma é nula. Esta é uma caractrística d um campo consrvativo. Exist aqui uma analogia com um campo gravítico rssalvando a difrnça qu no caso das massas las são smpr positivas nquanto qu as cargas léctricas podm sr positivas ou ngativas. Em particular, s as cargas form d sinal contrário, tm-s 2
3 Em qualqur dos casos tm-s 1 q1q2 w (2) =, 4π ε r 0 pois s q 1q2 < 0 w ( 2) < 0. Sistma d 3 cargas pontuais 12 Considr-s agora uma trcira carga trazida do até ao ponto P3, na prsnça das outras 2. Fig. S ar cargas tivrm todas o msmo sinal, a carga q3 é trazida dvido ao trabalho d uma força xtrior F' = F3, com F3 = q3( E1 + E2 ). O trabalho ralizado por sta força é dado por Sguindo o msmo raciocínio aplicado ao sistma d 2 cargas, a nrgia lctrostática d um sistma d 3 cargas srá dado por: 3
4 Sistma d n cargas Os rsultados antriors podm gnralizar-s com facilidad para sndo O potncial léctrico no ponto i (dvido a todas as outras cargas xcpto i). Enrgia lctrostática d distribuiçõs d carga m volum m suprfíci Substituindo qi por dq = ρ dv dq = σ ds a prssão antrior 1 1 w = ρ Vdv + σ VdS 2 2 V Ond V é o potncial m cada lmnto d volum dv ou lmnto d suprfíci ds, variávl portanto quando da intgração. Not-s qu como dv/r é um infinitésimo d 2ª ordm ds/r é um infinitésimo d 1ª ordm,a xprssão antrior pod contr agora a nrgia intrínsca m cada lmnto d volum ou d suprfíci, o qu não acontcia com as cargas pontuais, ond a nrgia d cada carga tinha d ficar d fora snão o rsultado sria. Fluxo d campo lctrostático Fluxo d campo lctrostático E criado por uma carga pontual através d uma suprfíci sférica cntrada na carga. S 4
5 Considr-s agora o fluxo do campo E criado por uma carga pontual, através d uma suprfíci com uma forma qualqur. i) A carga stá no intrior da suprfíci Considr-s m particular o fluxo lmntar dφ através do lmnto d suprfíci ds ds é o lmnto d suprfíci rcortado sobr uma suprfíci sférica d raio r qu pass plo ponto P Not-s qu ds' 0 quando o ângulo Tm-s assim ( grad P n) π. 2 S intgrarmos agora sobr a suprfíci sférica d raio r, tm-s 5
6 S intgrarmos agora sobr a suprfíci sférica d raio r, tm-s O rsultado a qu s chga é o msmo, indpndntmnt da forma da suprfíci. ii) A carga stá no xtrior da suprfíci. S fizrmos passar agora uma suprfíci d raio r 1 por P 1 uma suprfíci d raio r2 por P2 (vd. Fig. ), a intgração sobr a suprfíci d raio r2 é igual a q/ε 0, nquanto qu a intgração sobr a suprfíci d raio r1 é igual a q/ε 0 (pois qu agora a normal n 1 é dirigida para dntro).not-s qu a normal a uma suprfíci fchada é smpr dirigida para o xtrior. Tmos ntão como rsultado final para st caso φ = 0. Torma d Gauss (da Elctrostática) Examplo: 6
7 Exmplo: Fluxo através da fac d um cubo com uma carga no cntro Contudo, s a carga não stivr no cntro, mbora o fluxo através da suprfíci total do cubo sja q/ε 0, não podmos concluir nada sobr o fluxo através d cada fac. Exmplo: 7
= 0. O campo electrostático não tem fontes de circulação, não roda.
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