Representação de Números no Computador e Erros
|
|
- Wagner Bonilha Rocha
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Rprsntação d Númros no Computador Erros Anális Numérica Patrícia Ribiro Artur igul Cruz Escola Suprior d Tcnologia Instituto Politécnico d Stúbal 2015/ vrsão 23 d Fvriro d 2017
2 Contúdo 1 Introdução Rprsntação dos númros rais Rprsntação m difrnts bass Rprsntação m Ponto Flutuant Opraçõs Aritméticas m Ponto Flutuant Erros Propagação d Erros. Fórmula Fundamntal do Cálculo d Erros Estimativas do Erro m Opraçõs Aritméticas Elmntars Propagação d Erros Rlativos
3 1 Introdução A anális numérica tm por objctivo dar rspostas numéricas, i.. soluçõs com númros, a problmas físicos. Por xmplo, m matmática uma solução pod sr dada por x = 2π mas para um computador sta solução não é adquada, pois um computador apnas consgu manipular um númro finito d símbolos ou opraçõs. Além disso, quando s usa um computador ou uma máquina obtmos divrsos tipos d rros: Erros d aproximação do modlo matmático associado a um problma ral; Erros nos dados (obtidos xprimntalmnt); Erros da prcisão finita na rprsntação d númros rais. 2 Rprsntação dos númros rais 2.1 Rprsntação m difrnts bass A notação usual dos númros rais é m bas b = 10. Por xmplo = Frquntmnt é usada a bas b = 2. O númro antrior scrito m bas 2 trá qu sr calculado m dois passos. Primiro calcula-s a rprsntação da part intira conclui-s qu (49) 10 = (110001) 2 ond (110001) 2 = A part fraccionária é obtida da sguint manira = = 1.0 3
4 tm-s qu (0.75) 10 = (0.11) 2. ond (0.11) 2 = Finalmnt conclui-s qu Exmplo. 1. (101101) 2 = (45) (176) 10 = ( ) 2 3. (1A0F ) 16 = (6671) (0.1) 10 = ( ) 2 5. (3.8) 10 = ( ) 2 6. (0.110) 2 = (0.75) = ( ) Rprsntação m Ponto Flutuant Como nos computadors usa-s um númro finito d númros, trmos qu rcorrr a sistmas qu façam arrdondamntos. Quando s rprsntam númros muitos grands ou muito pqunos, rcorr-s usualmnt à notação cintífica. Dado um númro x, m notação cintífica, st númro rprsnta-s por x = ±mb ond m 0 é um númro ral dsignado por mantissa, b 2 é um númro natural dsignado por bas é um númro intiro dsignado por xpont. Por xmplo, o númro admit a rprsntação na bas Inflizmnt sta rprsntação não é única pois o númro também tm a rprsntação Para rsolvr st problma, usa-s a notação cintífica normalizada ond s impõm as sguints convnçõs para a mantissa m = 0 s x = 0 b 1 m < 1 s x 0. Nst caso, o númro apnas tm a rprsntação
5 Not-s qu a rprsntação cintífica normalizada continua a não rsolvr o problma da unicidad na rprsntação pois = =... A notação cintífica não pod sr implmntada num computador pois tríamos qu tr infinitos dígitos para a mantissa para o xpont. Quando rstringimos a mantissa a um númro finito p d dígitos o xpont a um númro finito q d dígitos, obtém-s a dsignada rprsntação m ponto flutuant. O sistma d rprsntação m ponto flutuant normalizado F P (b, p, min, max ) d bas b, mantissa até p dígitos m = (0.d 1 d 2...d p ) b o xpont tal qu min max, contém todos os númros rais da forma x = 0 s d 1 = 0 ou x = ±mb = = ± (0.d 1 d 2... d p ) b b ± ( d 1 b 1 + d 2 b d p b p) b s d 1 0. Exmplo. O sistma d ponto flutuant F P (10, 6, 2, 2) tm bas 10, mantissa até 6 dígitos. Est sistma inclui o zro todos os númros da forma ±0.d 1 d 2... d 6 10 ond 0 d i 9, i = 1,..., 6 d 1 0. Por xmplo, o númro nst sistma rprsnta-s por Not-s qu nst sistma o maior númro rprsntávl é = o mnor númro positivo rprsntávl é = O númro 100 = não é rprsntávl nst sistma nsta situação diz-s qu ocorru um Ovrflow. Analogamnt o númro também não é rprsntávl nst sistma dizs qu ocorru um Undrflow. O númro π = não possui rprsntação xacta nst sistma pois tm mais do qu 6 dígitos. Exmplo. O sistma d ponto flutuant F P (2, 3, 1, 2) tm bas 2, mantissa até 3 algarismos qu s chamam bits o xpont varia ntr 1 2. Est sistma inclui o zro todos os númros da forma x = ± ( d d d 3 2 3) 2 5
6 ou sja, F P (2, 3, 1, 2) = {0, ± 1 4, ± 5 16, ±3 8, ± 7 16, ±1 2, ±5 8, ±3 4, ±7 8, ±1, ± 5 4, ±3 2, ±7 4, ±2, ±5 2, ±3, ±7 2 } = {0, ±0.25, ±0.3125, ±0.375, ±0.4375, ±0.5, ±0.625, ±0.75, ±0.875, ±1, ±1.25, ±1.5, ±1.75, ±2, ±2.5, ±3, ±3.5}. Dado um númro ral x R, rprsnta-s por x ou f l (x) a rprsntação d x m F P (b, p, min, max ). S x = x, diz-s qu x tm rprsntação xacta m F P (b, p, min, max ). S x x xistm duas técnicas para dtrminar x: Truncatura: x obtém-s dsprzando os númros da mantissa do númro x para além dos p primiros. Por xmplo o númro π é rprsntado m F P (10, 3, 2, 2, T ) por π = Arrndondamnto: x é o númro do sistma F P (b, p, min, max ) qu stá mais próximo d x. Por xmplo o númro π = é rprsntado m F P (10, 5, 2, 2, A) por π = Em alguns casos, o arrndondamnto não dtrmina univocamnt a aproximação x. Por xmplo, o númro 0.75 no sistma F P (10, 1, 1, 1, A) tm dois lmntos quidistants d 0.75: É ncssário ntão introduzir rgras adicionais uma das mais utilizadas é a rgra Roundto-Evn, qu nsts casos opta pla aproximação qu dixa o último dígito da mantissa par. Logo, 0.75 = = Opraçõs Aritméticas m Ponto Flutuant Considr-s os sguints númros x = y = cuja rprsntação m F P (10, 4, 2, 2, T ) é dada por x = ȳ = A soma dsts númros é 6
7 x + ȳ = qu não é um lmnto d F P (10, 4, 2, 2, T ). Logo, dpois d s fctuar a opração tr-s-á qu rprsntar o rsultado no sistma m ponto flutuant. Nst caso, a soma é dada por x + ȳ = Por isso, num sistma d ponto flutuant é ncssário dfinir as opraçõs aritméticas lmntars (soma, subtração, multiplicação divisão) nss sistma. Sjam x, y F P (b, m, min, max ) {+,,, /} uma opração aritmética. Dfin-s 3 Erros x ȳ = x ȳ. No qu s sgu, considra-s qu s stá na notação d bas 10 qu as aproximaçõs são fitas por arrdondamnto. Sja x R x uma aproximação d x. Dfin-s como rro da aproximação a ϵ x = x x. Diz-s qu x é uma aproximação por dfito s x < x diz-s qu x é uma aproximação por xcsso s x > x. Chama-s d rro absoluto ao módulo do rro rro rlativo a x = x x r x = x x = x x x s x 0. Por xmplo, s x = x = 3.33, ntão, Para y = ȳ = 0, tm-s qu x = r x = ȳ = rȳ = 1. 7
8 Com sts xmplos vrifica-s qu o rro rlativo fornc mais informação qu o rro absoluto (distância ntr a aproximação o valor) pois tm m conta a ordm d grandza do valor d x. Outras mdidas da qualidad d uma aproximação é o númro d casas dcimais corrctas o númro d dígitos significativos. Diz-s qu o númro x s ncontra rprsntado com d casas dcimais corrctas quando a sua part dcimal aprsnta d algarismos dcimais rsulta d um arrdondamnto corrctamnt fctuado sobr um outro númro. Diz-s qu o númro x s ncontra rprsntado com k algarismos significativos quando stá rprsntado com k algarismos, contados da squrda para a dirita, a partir do primiro algarismo difrnt d zro dsd qu rsult d um arrdondamnt bm fctuado sobr um outro númro. Sja x R x uma aproximação d x. Diz-s qu x é uma aproximação d x com plo mnos d casas dcimais corrctas s x = x x d. Not-s qu sta dfinição só é válida para a notação cintífica normalizada. Exmplo. Sjam x = 2 = x = 1.41 uma aproximação d x. Como x x = = , ntão x é uma aproximação d 2 com plo mnos 2 casas dcimais corrctas. Exmplo. Sja y = 5 = ȳ = 2.24 uma aproximação d y. Como y ȳ = = , ntão ȳ é uma aproximação d 5 com plo mnos 2 casas dcimais corrctas. Considr-s x R x uma aproximação d x qu tm a sguint rprsntação cintífica x = ±0.d 1 d 2... d k d k 1... d k l 10 p. Diz-s qu x é uma aproximação d x com plo mnos k algarismos significativos s Adicionalmnt, s x = x x k+p. x = x x > k+p 1 diz-s qu x é uma aproximação d x com com xactamnt k algarismos significativos. 8
9 Exmplo. Sjam π 1 = ( ) 10 1 π 2 = ( ) 10 1 duas aproximaçõs d π = Então, π π 1 = = π π 2 = = Logo, π 1 tm 3 casas dcimais corrctas tm xactamnt 4 algarismos significativos π 2 tm 4 casas dcimais corrctas tm xactamnt 5 algarismos significativos. Exmplo. Sja x = 0.25 uma aproximação d x. S s soubr qu x 0.005, ntão como x = x x conclui-s qu x tm 2 casas dcimais corrctas plo mnos 2 algarismos significativos. Exmplo. Sja x = = x Uma vz qu logo x = k 2, k = 2. Assim x = tm 4 casas dcimais corrctas plo mnos 2 algarismos significativos. 4 Propagação d Erros. Fórmula Fundamntal do Cálculo d Erros Nsta scção, considra-s qu todas as funçõs são contínuas difrnciávis. S s quisr calcular y = f (x), m qu apnas s conhc um valor aproximado x d x, qual o rro qu s irá obtr na solução ȳ = f ( x)? Ou sja, qual é o fito d propagação do rro x na solução do problma? Plo Torma d Lagrang no intrvalo I = [ x x, x + x ], xist um ponto c I tal qu Logo, f f (x) f ( x) (c) = x x f (x) f ( x) = f (c) (x x). f (x) f ( x) = f (c) x x f( x) = f (c) x ond f( x) = f (x) f ( x). Como na prática não s conhc o valor d c, ntão majoras o rro da sguint forma f( x) f (x) x m qu f (x) = sup f (x). x I 9
10 A sta dsigualdad dá-s o nom d Fórmula Fundamntal do Cálculo d Erros (FFCE) qu também pod sr scrita na forma f( x) x x ond x = f (x) (notação d Libniz). Exmplo. Sja f (x) = 2x Qual é o rro propagado a f (x) s s tomar x = 1.3? S s considrar todos os algarismos da aproximação significativos, tm-s qu Um valor aproximado d f (x) é x ] , [. f( x) = = 6.38 um majorant do rro da aproximação é dado por f( x) f (x) x 4x x 4 ( ) Logo, x ] , [ f(x) ] , [. Usualmnt, uma função f dpnd d várias variávis x 1, x 2,..., x n a gnralização da FFCE a várias variávis é dada por f n x i i=1 xi, ond f = f (x 1, x 2,..., x n ) x i é a drivada parcial d f m rlação à variávl x i. Por xmplo, para f(x, y, z) = 2xy + 3z 2 y 2 z tm-s qu x = (2xy + 3z2 y 2 z) x = 2y, y = (2xy + 3z 2 y 2 z) y = 2x 2yz z = (2xy + 3z 2 y 2 z) z = 6z y 2. 10
11 Exmplo. Considr-s f (x, y) = xy x 2. S x ] , [ y ] , [. Um valor aproximado d f é f = f ( x, ȳ) = = Como Logo f x x + ȳ y y 2x x + x ȳ ( ) 2 ( ) f (x, y) ] , [. 4.1 Estimativas do Erro m Opraçõs Aritméticas Elmntars Considr-s a opração Soma dfinida por S = x + y. Então, S S x x + S ȳ y 1 x + 1 ȳ. Logo S x + ȳ. A opração Subtracção dfinida por D = x y, tm o rro majorado por D D x x + D ȳ y 1 x + 1 ȳ Logo D x + ȳ. A opração Produto Escalar dfinida por P k = kx, ond k R, tm o rro majorado por Pk P k x x k x. Exmplo. Sjam f (x, y) = 3x 5y, x ] , [ y ]2 0.1, [. Um valor aproximado d f, srá f ( x, ȳ) = =
12 o rro é majorado por f 3 x + 5 ȳ = 1.1. Logo f (x, y) ] , [. No caso da opração Produto dfinida por P = xy, tm-s qu P y x + x ȳ no caso da opração Quocint Q = x, tm-s qu y Q 1 y x + x ȳ. y Propagação d Erros Rlativos Já foi visto qu rro rlativo é dado por ou sja, r x = x x = x = x r x. x x x S s considrar uma função f = f (x 1, x 2,..., x n ) a fórmula fundamntal dos rros f n x i xi s substituir os rros absolutos plo rlativos, obtém-s n f r f x i=1 i x i r xi n x i x r f i r xi f i=1 n r f p i r xi. i=1 i=1 A sta última xprssão dá-s o nom d fórmula fundamntal para rros rlativos. Os factors p i p i = x i x i f são dnominados d númros d condição. Na prática o valor xacto d x é gralmnt dsconhcido, sndo comum substituir-s x por x na fórmula antrior. 12,
13 Em sguida, aprsntam-s stimativas para os rros rlativos das opraçõs aritméticas lmntars. O rro rlativo da opração Soma S = x + y é stimado por Ou sja, i.., r S p x r x + pȳ rȳ x x + ȳ r x + ȳ x + ȳ r ȳ. r S x + ȳ x + ȳ. Analogamnt o rro rlativo da opração Subtracção é stimado por r D x x ȳ r x + ȳ x ȳ r ȳ r D x + ȳ x ȳ. O rro rlativo da opração Produto P = xy é stimado por r P p x r x + p y rȳ xȳ xȳ r x + xȳ xȳ r ȳ r x + rȳ o rro rlativo da opração Quocint Q = x y é stimado r Q p x r x + p y rȳ ) ȳ ( xȳ r x + 2 r ȳ x 1 ȳ x ȳ r x + rȳ. A tabla sguint rsum os rros, absolutos rlativos, das opraçõs aritméticas: Erro Absoluto Erro Rlativo Soma S x + ȳ r S x+ ȳ x+ȳ Difrnça D x + ȳ r D x+ ȳ x ȳ Produto P y x + x ȳ r P r x + rȳ Quocint Q x + x y 2 ȳ r Q r x + rȳ 1 y Exmplo. Dtrmin-s o númro d algarismos significativos do rsultado d cada uma das opraçõs xy x + y m qu x = 1010 ȳ = S todos os algarismos são significativos, ntão x < 0.5 ȳ < x ȳ
14 r x = x x x x < rȳ Então, P y x + x ȳ = r P = Além disso, como xȳ = = P 1005 < 5000 = = , o produto tm 3 algarismos significativos. Em rlação aos rros da soma, tm-s qu S x + ȳ < = 1 r S x + ȳ x + ȳ = Além disso, como x + ȳ = 2010 = S 1 < 5 = = a soma tm 3 algarismos significativos. 14
/ :;7 1 6 < =>6? < 7 A 7 B 5 = CED? = DE:F= 6 < 5 G? DIHJ? KLD M 7FD? :>? A 6? D P
26 a Aula 20065 AMIV 26 Exponncial d matrizs smlhants Proposição 26 S A SJS ntão Dmonstração Tmos A SJS A % SJS SJS SJ % S ond A, S J são matrizs n n ", (com dt S 0), # S $ S, dond ; A & SJ % S SJS SJ
Leia mais3. Geometria Analítica Plana
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA PROF VINICIUS 3 Gomtria Analítica Plana 31 Vtors no plano Intuitivamnt,
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV A =
Instituto uprior Técnico Dpartamnto d Matmática cção d Álgbra Anális ANÁLIE MATEMÁTICA IV FICHA 5 ITEMA DE EQUAÇÕE LINEARE E EQUAÇÕE DE ORDEM UPERIOR À PRIMEIRA () Considr a matriz A 3 3 (a) Quais são
Leia maisSISTEMA DE PONTO FLUTUANTE
Lógica Matmática Computacional - Sistma d Ponto Flutuant SISTEM DE PONTO FLUTUNTE s máquinas utilizam a sguint normalização para rprsntação dos númros: 1d dn * B ± 0d L ond 0 di (B 1), para i = 1,,, n,
Leia maisFUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA Ettor A. d Barros 1. INTRODUÇÃO Sja s um númro complxo qualqur prtncnt a um conjunto S d númros complxos. Dizmos qu s é uma variávl complxa. S, para cada valor d s, o valor
Leia maisAnálise Matemática IV
Anális Matmática IV Problmas para as Aulas Práticas Smana 7 1. Dtrmin a solução da quação difrncial d y d t = t2 + 3y 2 2ty, t > 0 qu vrifica a condição inicial y(1) = 1 indiqu o intrvalo máximo d dfinição
Leia maisa) (0.2 v) Justifique que a sucessão é uma progressão aritmética e indique o valor da razão.
MatPrp / Matmática Prparatória () unidad tra curricular / E-Fólio B 8 dzmbro a janiro Critérios d corrção orintaçõs d rsposta Qustão ( val) Considr a sucssão d númros rais dfinida por a) ( v) Justifiqu
Leia maisSala: Rúbrica do Docente: Registo:
Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Àlgbra Anális o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (MEFT, LMAC, MEBiom) o Sm. 0/ 4/Jan/0 Duração: h30mn Instruçõs Prncha os sus dados na
Leia maisHewlett-Packard MATRIZES. Aulas 01 a 06. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hwltt-Packard MTRIZES ulas 0 a 06 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz no 06 Sumário MTRIZES NOÇÃO DE MTRIZ REPRESENTÇÃO DE UM MTRIZ E SEUS ELEMENTOS EXERCÍCIO FUNDMENTL MTRIZES ESPECIIS IGULDDE
Leia maisTÓPICOS. ordem; grau; curvas integrais; condições iniciais e fronteira. 1. Equações Diferenciais. Conceitos Gerais.
Not bm, a litura dsts apontamntos não dispnsa d modo algum a litura atnta da bibliografia principal da cadira hama-s à atnção para a importância do trabalho pssoal a ralizar plo aluno rsolvndo os problmas
Leia maisP R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 5
P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 5 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Agrupando num bloco a Ana, a Bruna, o Carlos, a Diana o Eduardo, o bloco os rstants st amigos prmutam
Leia maisSolução da equação de Poisson 1D com coordenada generalizada
Solução da quação d Poisson 1D com coordnada gnralizada Guilhrm Brtoldo 8 d Agosto d 2012 1 Introdução Ao s rsolvr a quação d Poisson unidimnsional d 2 T = fx), 0 x 1, 1) dx2 sujita às condiçõs d contorno
Leia mais1. Problema Os dados apresentados abaixo relacionam x, o nível umidade de uma mistura de um determinado produto, a Y, a densidade do produto acabado.
1. Problma Os dados aprsntados abaixo rlacionam x, o nívl umidad d uma mistura d um dtrminado produto, a Y, a dnsidad do produto acabado. x 7 9 10 13 14 15 16 19 Y 9.07 9.94 10.75 12.45 12.97 13.34 14.25
Leia maisHewlett-Packard MATRIZES. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hwltt-Packard MTRIZES ulas 0 a 05 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Sumário MTRIZES NOÇÃO DE MTRIZ REPRESENTÇÃO DE UM MTRIZ E SEUS ELEMENTOS EXERCÍCIO FUNDMENTL MTRIZES ESPECIIS IGULDDE ENTRE
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 2. < arg z < π}.
Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Álgbra Anális ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR LOGARITMOS E INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES COMPLEXAS Logaritmos () Para cada um dos sguints conjuntos
Leia maisR é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).
f : A B, significa qu f é dfinida no conjunto A (domínio - domain) assum valors m B (contradomínio rang). R é o conjunto dos rais; R n é o conjunto dos vtors n-dimnsionais rais; Os vtors m R n são colunas
Leia maisv 4 v 6 v 5 b) Como são os corte de arestas de uma árvore?
12 - Conjuntos d Cort o studarmos árors gradoras, nós stáamos intrssados m um tipo spcial d subgrafo d um grafo conxo: um subgrafo qu mantiss todos os értics do grafo intrligados. Nst tópico, nós stamos
Leia maisEscola Básica Tecnopolis Matemática - PLANIFICAÇÃO ANUAL 6ºano
DGEstE Dirção-GraL dos Establcimntos Escolars DSRAI Dirção d Srviços da Rgião Algarv AGRUPAMENTO DE ESCOLAS JÚLIO DANTAS LAGOS (145415) Escola Básica Tcnopolis Matmática - PLANIFICAÇÃO ANUAL 6ºano 2013-2014
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR A =
Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Álgbra Anális ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Formas canónicas d Jordan () Para cada uma das matrizs A
Leia maisINTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ERRATA (capítulos 1 a 6 CAP 1 INTRODUÇÃO. DADOS ESTATÍSTICOS Bnto Murtira Carlos Silva Ribiro João Andrad Silva Carlos Pimnta Pág. 10 O xmplo 1.10 trmina a sguir ao quadro 1.7,
Leia maisAnálise Matemática IV Problemas para as Aulas Práticas
Anális Matmática IV Problmas para as Aulas Práticas 7 d Abril d 003 Smana 1. Us as quaçõs d cauchy-rimann para dtrminar o conjunto dos pontos do plano complo ond as sguints funçõs admitm drivada calcul
Leia mais3º) Equação do tipo = f ( y) dx Solução: 2. dy dx. 2 =. Integrando ambos os membros, dx. dx dx dy dx dy. vem: Ex: Resolva a equação 6x + 7 = 0.
0 d º) Equação do tipo: f ) d Solução: d d d d f ) f ) d f ) d. Intgrando ambos os mmbros d d d d vm: d d f ) d C d [ f ) d C ]d [ f ) d C] d C d E: Rsolva a quação 6 7 0 d d d º) Equação do tipo f ) :
Leia mais2 x. ydydx. dydx 1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO. , sendo R a região que. Exemplo 5. Calcule integral dupla. xda, no retângulo
Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio )INTEGAIS DUPLAS: ESUMO Emplo Emplo Calcul 6 Calcul 6 dd dd O fato das intgrais rsolvidas nos mplos srm iguais Não é
Leia maisCAPÍTULO 12 REGRA DA CADEIA
CAPÍTULO 12 REGRA DA CADEIA 121 Introdução Em aulas passadas, aprndmos a rgra da cadia para o caso particular m qu s faz a composição ntr uma função scalar d várias variávis f uma função vtorial d uma
Leia maisRESUMO de LIMITES X CONTINUIDADE. , tivermos que f(x) arbitr
RESUMO d LIMITES X CONTINUIDADE I. Limits finitos no ponto 1. Noção d Limit Finito num ponto Sjam f uma função x o IR. Dizmos qu f tm it (finito) no ponto x o (m símbolo: f(x) = l IR) quando x convn x
Leia maisAdriano Pedreira Cattai
Adriano Pdrira Cattai apcattai@ahoocombr Univrsidad Fdral da Bahia UFBA, MAT A01, 006 3 Suprfíci Cilíndrica 31 Introdução Dfinição d Suprfíci Podmos obtr suprfícis não somnt por mio d uma quação do tipo
Leia maisCapítulo 4 Resposta em frequência
Capítulo 4 Rsposta m frquência 4. Noção do domínio da frquência 4.2 Séris d Fourir propridads 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs 4.4 Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência 4.5 Transformadas
Leia maisExercício: Exercício:
Smântica Opracional Estrutural Smântica Opracional Estrutural O ênfas dsta smântica é nos passos individuais d xcução d um programa A rlação d transição tm a forma rprsnta o primiro passo d xcução do programa
Leia maisCálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços Seja o operador linear tal que. Por definição,, com e. Considere o operador identidade tal que.
AUTOVALORES E AUTOVETORES Dfiniçõs Sja um oprador linar Um vtor, é dito autovtor, vtor próprio ou vtor caractrístico do oprador T, s xistir tal qu O scalar é dnominado autovalor, valor próprio ou valor
Leia maisTemática Circuitos Eléctricos Capítulo Sistemas Trifásicos LIGAÇÃO DE CARGAS INTRODUÇÃO
www.-l.nt Tmática Circuitos Eléctricos Capítulo Sistmas Trifásicos GAÇÃO DE CARGAS NTRODÇÃO Nsta scção, studam-s dois tipos d ligação d cargas trifásicas (ligação m strla ligação m triângulo ou dlta) dduzindo
Leia maisRazão e Proporção. Noção de Razão. 3 3 lê-se: três quartos lê-se: três para quatro ou três está para quatro
Razão Proporção Noção d Razão Suponha qu o profssor d Educação Física d su colégio tnha organizado um tornio d basqutbol com quatro quips formadas plos alunos da ª séri. Admita qu o su tim foi o vncdor
Leia maisResolução do exame de Análise Matemática I (24/1/2003) Cursos: CA, GE, GEI, IG. 1ª Chamada
Rsolução do am d nális Matmática I (//) Cursos: C, GE, GEI, IG ª Chamada Ercício > > como uma função ponncial d bas mnor do qu ntão o gráfico dsta função é o rprsntado na figura ao lado. Esta função é
Leia maisUNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto Departamento de Economia
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdad d Economia, Administração Contabilidad d Ribirão Prto Dpartamnto d Economia Nom: Númro: REC200 MICROECONOMIA II PRIMEIRA PROVA (20) () Para cada uma das funçõs d produção
Leia maisUNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto Departamento de Economia
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdad d Economia, Administração Contabilidad d Ribirão Prto Dpartamnto d Economia Nom: Númro: REC00 MICROECONOMIA II PRIMEIRA PROVA (0) () Para cada uma das funçõs d produção
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Função Logarítmica. Função logarítmica e propriedades - Parte 1. Primeiro Ano - Ensino Médio
Matrial Tórico - Módulo d Função Logarítmica Função logarítmica propridads - Part 1 Primiro Ano - Ensino Médio Autor: Prof. Anglo Papa Nto Rvisor: Prof. Antonio Caminha M. Nto 1 Motivação para o studo
Leia maisPARTE 8 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES
PARTE 8 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES 8.1 Drivadas Parciais d Ordns Supriors Dada a função ral d duas variávis f : Dom(f) R 2 R X = ) f(x) = f ) aprndmos antriormnt como construir suas drivadas
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 21 DE JULHO 2014 Grupo I.
Associação d Profssors d Matmática Contactos: Rua Dr João Couto, nº 7-A 100-6 Lisboa Tl: +1 1 716 6 90 / 1 711 0 77 Fa: +1 1 716 64 4 http://wwwapmpt mail: gral@apmpt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE
Leia maisHewlett-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS. Aulas 01 a 06. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Hwltt-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS Aulas 0 a 06 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Ano: 206 Sumário CONJUNTOS NUMÉRICOS 2 Conjunto dos númros Naturais 2 Conjunto dos númros Intiros 2 Conjunto
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 21 DE JULHO Grupo I. Questões
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 63) ª FASE 1 DE JULHO 014 Grupo I Qustõs 1 3 4 6 7 8 Vrsão 1 C B B D C A B C Vrsão B C C A B A D D 1 Grupo II 11 O complo
Leia maisAula Expressão do produto misto em coordenadas
Aula 15 Nsta aula vamos xprssar o produto misto m trmos d coordnadas, analisar as propridads dcorrnts dssa xprssão fazr algumas aplicaçõs intrssants dos produtos vtorial misto. 1. Exprssão do produto misto
Leia maisCOLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR
COLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR NOME: N. o : DATA: / /01 FOLHETO DE MATEMÁTICA (V.C. E R.V.) 6. o ANO Est folhto é um rotiro d studo para você rcuprar o contúdo trabalhado m 01. Como l vai srvir d bas para você
Leia maisIntrodução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 6
Introdução ao Soluçõs dos Exrcícios Propostos Capítulo 6 1. Dadas as squências x[n] abaixo com sus rspctivos comprimntos, ncontr as transformadas discrtas d Fourir: a x[n] = n, para n < 4 X[] = 6 X[1]
Leia mais10 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 21 a 24 de outubro, 2013
10 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 21 a 24 d outubro, 2013 DIFERENCIAÇÃO COMPLEXA E AS CONDIÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN Pâmla Catarina d Sousa Brandão1, Frnando Prira Sousa2 1 Aluna do Curso
Leia maisLEITURA 1: CAMPO ELÁSTICO PRÓXIMO À PONTA DA TRINCA
Fadiga dos Matriais Mtálicos Prof. Carlos Baptista Cap. 4 PROPAGAÇÃO DE TRINCAS POR FADIGA LEITURA 1: CAMPO ELÁSTICO PRÓXIMO À PONTA DA TRINCA Qualqur solução do campo d tnsõs para um dado problma m lasticidad
Leia maisEnunciados equivalentes
Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matmática Txto 6 Enunciados quivalnts Sumário 1 Equivalência d nunciados 2 1.1 Obsrvaçõs................................ 5 1.2 Exrcícios rsolvidos...........................
Leia maisDivisão (cont.) Obter TODOS os nomes dos empregados que trabalham em TODOS os projectos nos quais Joao trabalha. projectos em que Joao trabalha.
16 Divisão (cont a opração d divisão é útil para qustõs como: Obtr TODOS os noms dos mprgados qu trabalham m TODOS os projctos nos quais Joao trabalha projctos m qu Joao trabalha projctos EBIs d mprgados
Leia maisa) 1. b) 0. c) xnw. d) q (Espm 2014) Se a matriz 7. (Pucrs 2014) Dadas as matrizes A = [ 1 2 3] a) 18 b) 21 c) 32 d) 126 e) 720 Se a matriz M=
Dtrminant. (Upg 4) Considrando as matrizs abaixo, sndo dt A = 5, dtb= dtc=, assinal o qu for orrto. x z x y x A =,B= 4 5 x+ z y C= ) x+ y+ z= 4 ) A C= 4) B C= 4 8) y = x 6) 6 4 A+ B= 6 5 T. (Uds 4) S A
Leia maisEscola Básica Tecnopolis Matemática
DGEstE Dirção-GraL dos Establcimntos Escolars DSRAI Dirção d Srviços da Rgião Algarv AGRUPAMENTO DE ESCOLAS JÚLIO DANTAS LAGOS (145415) Escola Básica Tcnopolis Matmática PLANIFICAÇÃO ANUAL - 5º ANO Ano
Leia mais1. A soma de quaisquer dois números naturais é sempre maior do que zero. Qual é a quantificação correcta?
Abuso Sual nas Escolas Não dá para acitar Por uma scola livr do SID A Rpública d Moçambiqu Matmática Ministério da Educação ª Época ª Class/0 Conslho Nacional d Eams, Crtificação Equivalências 0 Minutos
Leia maisApêndice Matemático. Se este resultado for inserido na expansão inicial (A1.2), resulta
A Séris Intgrais d Fourir Uma função priódica, d príodo 2, = + 2 pod sr xpandida m séri d Fourir no intrvalo <
Leia maisExame de Matemática Página 1 de 6. obtém-se: 2 C.
Eam d Matmática -7 Página d 6. Simplificando a prssão 9 ( ) 6 obtém-s: 6.. O raio r = m d uma circunfrência foi aumntado m 5%. Qual foi o aumnto prcntual da ára da sgunda circunfrência m comparação com
Leia maisFILTROS. Assim, para a frequência de corte ω c temos que quando g=1/2 ( )= 1 2 ( ) = 1 2 ( ) e quando = 1 2
FILTROS Como tmos visto, quando tmos lmntos rativos nos circuitos, as tnsõs sobr os lmntos d um circuitos m CA são dpndnts da frquência. Est comportamnto m circuitos montados como divisors d tnsão prmit
Leia maisEXAME A NÍVEL DE ESCOLA EQUIVALENTE A EXAME NACIONAL
PROVA 535/C/8 Págs. EXAME A NÍVEL DE ESCOLA EQUIVALENTE A EXAME NACIONAL.º Ano d Escolaridad (Dcrto-Li n.º 86/89, d 9 d Agosto) Cursos Grais Cursos Tcnológicos Duração da prova: 50 minutos 008 PROVA ESCRITA
Leia maisMatemática IME-2007/ a QUESTÃO. 2 a QUESTÃO COMENTA
Matmática a QUESTÃO IME-007/008 Considrando qu podmos tr csto sm bola, o númro d maniras d distribuir as bolas nos três cstos é igual ao númro d soluçõs intiras não-ngativas da quação: x + y + z = n, na
Leia maisFunção Exponencial: Conforme já vimos, o candidato natural à função exponencial complexa é dado pela função. f z x iy f z e cos y ie sen y.
Funçõs Elmntars Função Exponncial: Conform já vimos, o candidato natural à função xponncial complxa é dado pla função Uma v qu : : ( ) x x f x i f cos i sn x f, x. E uma gnraliação para sr útil dv prsrvar
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Ficha d rvisão nº 5 ª Part. Para um crto valor d a para um crto valor d b a prssão ( ) gráfico stá parcialmnt rprsntado na
Leia maisSeja f uma função r.v.r. de domínio D e seja a R um ponto de acumulação de
p-p8 : Continuidad d funçõs rais d variávl ral. Lr atntamnt. Dominar os concitos. Fazr rcícios. Função contínua, prolongávl por continuidad, dscontínua. Classificação d dscontinuidads. Continuidad num
Leia maisCRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO
Eam Final Nacional d Matmática A Prova 65.ª Fas Ensino Scundário 09.º Ano d Escolaridad Dcrto-Li n.º 9/0, d 5 d julho Critérios d Classificação 0 Páginas CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO A classificação
Leia maisTÓPICOS DE MATEMÁTICA PROF.: PATRÍCIA ALVES
TÓPICOS DE MATEMÁTICA PROF.: PATRÍCIA ALVES 33 MATRIZES 1. Dê o tipo d cada uma das sguints prtncm às diagonais principais matrizs: scundárias d A. 1 3 a) A 7 2 7. Qual é o lmnto a 46 da matriz i j 2 j
Leia maisDerivada Escola Naval
Drivada Escola Naval EN A drivada f () da função f () = l og é: l n (B) 0 l n (E) / l n EN S tm-s qu: f () = s s 0 s < < 0 s < I - f () só não é drivávl para =, = 0 = II - f () só não é contínua para =
Leia maisestados. Os estados são influenciados por seus próprios valores passados x
3 Filtro d Kalman Criado por Rudolph E. Kalman [BROWN97] m 1960, o filtro d Kalman (FK) foi dsnvolvido inicialmnt como uma solução rcursiva para filtragm linar d dados discrtos. Para isto, utiliza quaçõs
Leia maisCAPÍTULO 14. Exemplo : Mostre que y = g(x) = 1 x 2, x 1 está dado de forma implícita na equação x 2 + y 2 1 = 0.
CAPÍTULO 4 TEOREMA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 4 Introdução No studo d funçõs da rta na rta dfinimos qu uma função y = gx x Domg stá dada implicitamnt numa quação nvolvndo as variávis x y s para todo x Domg o
Leia mais= 0. O campo electrostático não tem fontes de circulação, não roda.
Aula Tórica nº 3-7 Prof. Rsponsávl: Mário J. Pinhiro 1. Opradors difrnciais (conclusão) Exrcício 1: Provar qu rot gradu = 1. Usando coordnadas cartsianas. rot u x u y u z U U grad U = = u x +... = x y
Leia mais5.10 EXERCÍCIO pg. 215
EXERCÍCIO pg Em cada um dos sguints casos, vriicar s o Torma do Valor Médio s aplica Em caso airmativo, achar um númro c m (a, b, tal qu (c ( a - ( a b - a a ( ; a,b A unção ( é contínua m [,] A unção
Leia maisFUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Hwltt-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 05 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ano: 2016 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO 2 PRODUTO CARTESIANO 2 Númro d lmntos d 2 Rprsntaçõs
Leia maisMódulo de Círculo Trigonométrico. Secante, Cossecante e Cotangente. 1 a série E.M.
Módulo d Círculo Trigonométrico Scant, Cosscant Cotangnt a séri EM Círculo Trigonométrico Scant, Cosscant Cotangnt Exrcícios Introdutórios ] π Exrcício Sja α ; π tal qu sn α, dtrmin, s xistir, o rsultado
Leia maisCálculo Numérico. Integração Numérica. Prof: Reinaldo Haas
Cálculo Numérico Intgração Numérica Pro: Rinaldo Haas Intgração Numérica Em dtrminadas situaçõs, intgrais são diícis, ou msmo impossívis d s rsolvr analiticamnt. Emplo: o valor d é conhcido apnas m alguns
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Equações e Sistemas de Equações Fracionárias. Sistemas de Equações Fracionárias. Oitavo Ano
Matrial Tórico - Módulo Equaçõs Sistmas d Equaçõs Fracionárias Sistmas d Equaçõs Fracionárias Oitavo Ano Autor: Prof Ulisss Lima Parnt Rvisor: Prof Antonio Caminha M Nto Sistmas d quaçõs fracionárias Nssa
Leia maisindicando (nesse gráfico) os vectores E
Propagação Antnas Eam 5 d Janiro d 6 Docnt Rsponsávl: Prof Carlos R Paiva Duração: 3 horas 5 d Janiro d 6 Ano Lctivo: 5 / 6 SEGUNDO EXAME Uma onda lctromagnética plana monocromática é caractrizada plo
Leia maisAlgumas distribuições de variáveis aleatórias discretas importantes:
Algumas distribuiçõs d variávis alatórias discrtas importants: Distribuição Uniform Discrta Enquadram-s aqui as distribuiçõs m qu os possívis valors da variávl alatória tnham todos a msma probabilidad
Leia maisFunção do 2 o Grau. Uma aplicação f der emr
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Dfinição Uma aplicação f
Leia maisHewlett-Packard MATRIZES. Aulas 01 a 06. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hwltt-Packard MATRIZES Aulas 0 a 06 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Sumário MATRIZES NOÇÃO DE MATRIZ REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E SEUS ELEMENTOS EXERCÍCIO FUNDAMENTAL MATRIZES ESPECIAIS IGUALDADE
Leia maisEquações não lineares processo iterativo
Equaçõs não linars procsso itrativo Sja uma função considr-s a quação =0. A solução da quação dsigna-s por rai da quação ou por ro da função () y Sucssão itrativa: 0,,, 3, 0 3 0 3 4 = Prtndmos qu a sucssão
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Exercícios Sobre Vetores. Terceiro Ano - Médio
Matrial Tórico - Módulo: Vtors m R R Exrcícios Sobr Vtors Trciro Ano - Médio Autor: Prof Anglo Papa Nto Rvisor: Prof Antonio Caminha M Nto 1 Exrcícios sobr vtors Nsta aula, discutimos alguns xrcícios sobr
Leia mais3 Aritmética Computacional
33 3 Aritmética Computacional 3. Introdução Quando s utiliza um qualqur instrumnto d trabalho para ralizar uma tarfa dv-s tr um conhcimnto profundo do su modo d funcionamnto, das suas capacidads das suas
Leia maisJustifique todas as passagens
ā Prova d Cálculo II - MAT2 - IOUSP /2/204 Nom : GABARITO N ō USP : Profssor : Oswaldo Rio Branco d Olivira Justifiqu todas as passagns Q 2 4 5 Total N. Considr a função f : R 2 R dfinida por f(x,y) =
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 2/4
FICHA d AVALIAÇÃO d MATEMÁTICA A.º Ano Vrsão / Nom: N.º Trma: Aprsnt o s raciocínio d orma clara, indicando todos os cálclos q tivr d tar todas as jstiicaçõs ncssárias. Qando, para m rsltado, não é pdida
Leia maisVI - ANÁLISE CUSTO - VOLUME - RESULTADOS
VI - ANÁLISE CUSTO - VOLUME - RESULTADOS 6.1 Introdução ao tma Exist todo o intrss na abordagm dst tma, pois prmit a rsolução d um conjunto d situaçõs qu s aprsntam rgularmnt na vida das organizaçõs. Estas
Leia maisλ, para x 0. Outras Distribuições de Probabilidade Contínuas
abilidad Estatística I Antonio Roqu Aula 3 Outras Distribuiçõs d abilidad Contínuas Vamos agora studar mais algumas distribuiçõs d probabilidads para variávis contínuas. Distribuição Eponncial Uma variávl
Leia maisEquações não lineares processo iterativo
Equaçõs não linars procsso itrativo Sja f() uma função considr s a quação f()=0. A solução da quação dsigna s por raiz da quação ou por zro da função (z) y f() z Sucssão itrativa: 0,,, 3, 0 f() 3 0 3 z
Leia maisOscilações amortecidas
Oscilaçõs amortcidas Uso d variávl complxa para obtr a solução harmônica ral A grand vantagm d podr utilizar númros complxos para rsolvr a quação do oscilador harmônico stá associada com o fato d qu ssa
Leia maisModelosProbabilísticos paravariáveis Discretas. Modelo de Poisson
ModlosProbabilísticos paravariávis Discrtas Modlo d Poisson Na aula passada 1 Dfinimos o concito d modlo probabilístico. 2 Aprndmos a utilizar o Modlo Binomial. 3 Vimos como o Modlo Binomial pod facilitar
Leia maisr = (x 2 + y 2 ) 1 2 θ = arctan y x
Sção 0: Equação d Laplac m coordnadas polars Laplaciano m coordnadas polars. Sja u = ux, y uma função d duas variávis. Dpndndo da rgião m qu a função stja dfinida, pod sr mais fácil trabalhar com coordnadas
Leia mais1.1 O Círculo Trigonométrico
Elmntos d Cálculo I - 06/ - Drivada das Funçõs Trigonométricas Logarítmicas Prof Carlos Albrto S Soars Funçõs Trigonométricas. O Círculo Trigonométrico Considrmos no plano a cirncunfrência d quação + =,
Leia maisE X A M E ª FASE, V E R S Ã O 1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O
Prparar o Eam 05 Matmática A E X A M E 0.ª FASE, V E R S Ã O P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O. Tm-s qu P A P A P A GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 0, 0, 0,. Assim: P B A PB A 0,8 0,8 PB A 0,8 0,
Leia maisAULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço.
Not bm: a litura dsts apontamntos não dispnsa d modo algum a litura atnta da bibliografia principal da cadira TÓPICOS Subspaço. ALA Chama-s a atnção para a importância do trabalho pssoal a ralizar plo
Leia maisANÁLISE CUSTO - VOLUME - RESULTADOS
ANÁLISE CUSTO - VOLUME - RESULTADOS 1 Introdução ao tma Exist todo o intrss na abordagm dst tma, pois prmit a rsolução d um conjunto d situaçõs qu s aprsntam rgularmnt na vida das organizaçõs. Estas qustõs
Leia maistg 2 x , x > 0 Para determinar a continuidade de f em x = 0, devemos calcular os limites laterais
UFRGS Instituto d Matmática DMPA - Dpto. d Matmática Pura Aplicada MAT 0 353 Cálculo Gomtria Analítica I A Gabarito da a PROVA fila A 5 d novmbro d 005 Qustão (,5 pontos Vrifiqu s a função f dada abaixo
Leia maisPOTÊNCIAS EM SISTEMAS TRIFÁSICOS
Tmática ircuitos Eléctricos apítulo istmas Trifásicos POTÊNA EM TEMA TRÁO NTRODÇÃO Nsta scção studam-s as potências m jogo nos sistmas trifásicos tanto para o caso d cargas dsquilibradas como d cargas
Leia maisTEORMA DA FUNÇÃO INVERSA. Teorema 2. Dada f : Ω ab
TEORMA DA FUNÇÃO INVERSA Torma Dada f : Ω ab R n R n (n função com drivadas parciais contínuas m P Ω Suponhamos qu dt(jf((p Então xist ɛ > uma bola abrta B B(P ɛ uma função g : B R n (B f(ω com todas as
Leia maisEXAME NACIONAL MATEMÁTICA
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA 3.º CICLO DO ENSINO BÁSICO 2007 Prova 23 1.ª Chamada 16 páginas Duração da prova: 90 minutos Critérios d Classificação Dcrto-Li n.º 6/2001, d 18 d Janiro,
Leia maisPERFIL DE SAÍDA DOS ESTUDANTES DA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA
PERFIL DE SAÍDA DOS ESTUDANTES DA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA CONTEÚDOS EIXO TEMÁTICO COMPETÊNCIAS Sistma d Numração - Litura scrita sistma d numração indo-arábico
Leia mais1. Números naturais Números primos; Crivo de Eratóstenes Teorema fundamental da aritmética e aplicações.
Mtas Curriculars - Objtivos - Conhcr aplicar propridads dos númros primos Númros Opraçõs 1. Númros naturais Númros primos; Crivo d Eratóstns Torma fundamntal da aritmética aplicaçõs. Instrumntos Tst d
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Matemática
Univrsidad Fdral do Rio d Janiro Instituto d Matmática Dpartamnto d Matmática Gabarito da Prova Final d Cálculo Difrncial Intgral II - 07-I (MAC 8 - IQN+IFN+Mto, 6/06/07 Qustão : (.5 pontos Rsolva { xy.
Leia maisGRANDEZAS SINUSOIDAIS
www.-l.nt mática Circuitos Eléctricos Capítulo Rgim Sinusoidal GRANDEZAS SINUSOIDAIS INRODUÇÃO Nst capítulo, faz-s uma pquna introdução às grandzas altrnadas ond s aprsntam algumas das razõs porqu os sistmas
Leia maisCIRCUITOS EM REGIME SINUSOIDAL
Tmática Circuitos léctricos Capítulo gim Sinusoidal CCUTOS G SNUSODAL NTODUÇÃO Nst capítulo, analisa-s o rgim prmannt m circuitos alimntados m corrnt altrnada. Dduzm-s as quaçõs caractrísticas dos lmntos
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I. Tarefa Intermédia 8. Grupo I
Escola Scundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano d Matmática A Gomtria no Plano no Espaço I Tarfa Intrmédia 8 Grupo I As três qustõs do Grupo I são d scolha múltipla. Slccion, para cada uma dlas, a ltra
Leia maisAula Teórica nº 8 LEM-2006/2007. Trabalho realizado pelo campo electrostático e energia electrostática
Aula Tórica nº 8 LEM-2006/2007 Trabalho ralizado plo campo lctrostático nrgia lctrostática Considr-s uma carga q 1 no ponto P1 suponha-s qu s trás uma carga q 2 do até ao ponto P 2. Fig. S as cargas form
Leia mais