EXAME NACIONAL MATEMÁTICA

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA 3.º CICLO DO ENSINO BÁSICO 2007 Prova 23 1.ª Chamada 16 páginas Duração da prova: 90 minutos Critérios d Classificação Dcrto-Li n.º 6/2001, d 18 d Janiro, com as altraçõs introduzidas plo Dcrto-Li n.º 209/2002, d 17 d Outubro.

2 COTAÇÕES pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos TOTAL pontos 23/C/2

3 CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO Critérios grais 1. A classificação a atribuir a cada rsposta dv sr smpr um númro intiro, não ngativo, d pontos. 2. Smpr qu o xaminando não rsponda a um itm, a rspctiva célula da grlha d classificação dv sr trancada. 3. Dv sr atribuída a classificação d zro pontos a rspostas ilgívis. 4. Caso o xaminando utiliz a(s) página(s) m branco qu s ncontra(m) no final da prova, o classificador dv classificar a(s) rsposta(s) vntualmnt aprsntada(s) nssa(s) página(s). S o xaminando s nganar na idntificação d um itm, ou s a omitir, mas, pla rsolução aprsntada, for possívl idntificá-lo inquivocamnt, a rsposta dv sr classificada. 5. Não dvm sr tomados m considração rros 5.1. linguísticos d linguagm simbólica matmática, a não sr qu sjam impditivos da comprnsão da rsposta; 5.2. drivados d o xaminando copiar mal os dados d um itm, dsd qu não afctm a strutura ou o grau d dificuldad do itm. 6. Nos itns d scolha múltipla, às rspostas m qu o xaminando assinal, d forma inquívoca, utilizando uma cruz ( X) ou outro procsso, a altrnativa corrcta, a classificação a atribuir dv sr a cotação indicada. S, para além da altrnativa corrcta, o xaminando assinalar outra altrnativa qu não stja anulada d forma inquívoca, dv sr atribuída a classificação d zro pontos. 7. Nos itns qu não são d scolha múltipla, smpr qu o xaminando aprsnt mais do qu uma rsolução do msmo itm não indiqu, d forma inquívoca, a(s) qu prtnd anular, apnas a primira dv sr classificada. 8. Para os itns qu não são d scolha múltipla, há dois tipos d critérios spcíficos d classificação Por nívis d dsmpnho. Indica-s uma dscrição para cada nívl a rspctiva cotação. Cab ao classificador nquadrar a rsposta do xaminando numa das dscriçõs aprsntadas, sm atndr às sguints incorrcçõs: rros d cálculo qu nvolvam apnas as quatro opraçõs lmntars; não aprsntar o rsultado final na forma pdida /ou aprsntá-lo mal arrdondado. Nota: À classificação a atribuir à rsposta a sts itns dvm sr aplicadas as sguints dsvalorizaçõs: 1 ponto, por rros d cálculo qu nvolvam apnas as quatro opraçõs lmntars (indpndntmnt do númro d rros comtidos); 1 ponto, por não aprsntar o rsultado final na forma pdida (por xmplo: sm unidad d mdida) /ou por aprsntar o rsultado final mal arrdondado. 23/C/3

4 8.2. Por tapas d rsolução do itm. Indica-s uma dscrição d cada tapa a rspctiva cotação. A classificação a atribuir à rsposta é a soma das classificaçõs obtidas m cada tapa Em cada tapa, a classificação a atribuir dv sr: a cotação indicada, s a msma stivr intiramnt corrcta ou, msmo não o stando, s as incorrcçõs rsultarm apnas d rros d cálculo qu nvolvam as quatro opraçõs lmntars; zro pontos, nos rstants casos. Nota: À classificação a atribuir à rsposta a sts itns dv sr aplicada a sguint dsvalorização: 1 ponto, por rros d cálculo qu nvolvam apnas as quatro opraçõs lmntars (indpndntmnt do númro d rros comtidos), a não sr qu sss rros ocorram apnas m tapas classificadas com zro pontos Pod acontcr qu um xaminando, ao rsolvr um itm, não xplicit todas as tapas prvistas nos critérios spcíficos d classificação. Todas as tapas não xprssas plo xaminando, mas cuja utilização /ou conhcimnto stjam implícitos na rsolução aprsntada, dvm sr classificadas com a cotação indicada No caso d o xaminando comtr um rro numa das tapas, as tapas subsqunts dvm sr classificadas d acordo com S, apsar do rro comtido, o grau d dificuldad das tapas subsqunts s mantivr, a cotação dssas tapas continua a sr a indicada. S, m virtud do rro comtido, o grau d dificuldad das tapas subsqunts diminuir significativamnt, a cotação dssas tapas dv sr mtad da cotação indicada, arrdondada por dfito. 9. Alguns itns da prova podrão sr corrctamnt rsolvidos por mais do qu um procsso. Smpr qu o xaminando utilizar um procsso d rsolução corrcto, não contmplado nos critérios spcíficos d classificação, à sua rsposta dv sr atribuída a cotação total do itm. Caso contrário, cab ao profssor classificador, tndo como rfrência os nívis d dsmpnho/as tapas d rsolução do itm aprsntados as rspctivas cotaçõs, adoptar um critério d distribuição da cotação total do itm utilizá-lo m situaçõs idênticas. 23/C/4

5 Critérios spcíficos A classificação dv sr atribuída d acordo com os sguints nívis d dsmpnho: Dtrmina corrctamnt o raio do lugar gométrico pdido utiliza o compasso para o dsnhar, com rigor aproximado (vr notas 1, 2, 3 4)... 5 A " B $!!! $!! ÍB! ÍB' Dtrmina corrctamnt o raio do lugar gométrico pdido utiliza o compasso para dsnhar, com rigor aproximado, um númro infinito d pontos stritamnt contido nss lugar gométrico (vr notas 1, 2, 3 4)... 4 A " B $!!! $!! ÍB! ÍB' Não dtrmina corrctamnt o raio do lugar gométrico pdido, mas, d acordo com o rro comtido, utiliza o compasso para o dsnhar, com rigor aproximado (vr notas 1, 2 4)... 3 A "!!!! $ B $ ÍB "!! ÍB", 23/C/5

6 Dtrmina corrctamnt o raio do lugar gométrico pdido, mas não assinala um númro infinito d pontos. ou Assinala apnas um númro finito d pontos, cuja distância ao ponto E stá comprndida ntr,* cm '", cm (inclusiv)...1 " B $!!! $!! ÍB! ÍB' Exmplo 2: Exmplo 3: A A " B $!!! $!! ÍB! ÍB' Dá outra rsposta... 0 "!!!! $ B $ ÍB "!! ÍB", Exmplo 2: A Notas: 1. S houvr vidência d qu o xaminando não utiliza o compasso, para dsnhar um númro infinito d pontos, a sua rsposta dv sr dsvalorizada m 1 ponto. 2. Considra-s qu o dsnho é fito com rigor aproximado s o comprimnto do raio da circunfrência, qu contém o lugar gométrico dsnhado, tivr um rro não suprior a!", cm. 3. S o xaminando não aprsntar os cálculos fctuados, para dtrminar o raio do lugar gométrico pdido, a sua rsposta dv sr dsvalorizada m 1 ponto. 4. S o xaminando dsnhar, d acordo com sta dscrição, para além dos limits da planta da sala, a sua rsposta dv sr dsvalorizada m 1 ponto. 23/C/6

7 Rspond corrctamnt (- #%:, )... 6 Dá outra rsposta Podm sr utilizados vários procssos para rspondr a st itm, como por xmplo: 1.º Procsso B Substituir corrctamnt, na 1.ª quação, C pla xprssão # #... 3 Rsolvr a quação obtida ( B# )... 1 Substituir corrctamnt, na 2.ª quação, B plo valor ncontrado... 2 Rsolvr a quação obtida (C ")... 1 Escrvr o par ordnado ( # ", ) º Procsso Rsolvr uma das quaçõs m ordm a uma das incógnitas ( B ou C)... 1 Substituir, na outra quação, ssa incógnita pla xprssão obtida... 2 Rsolvr a quação obtida... 1 Substituir corrctamnt, na outra quação, a incógnita ( C ou B) plo valor ncontrado... 2 Rsolvr a quação obtida... 1 Escrvr o par ordnado ( # ", ) /C/7

8 A classificação dv sr atribuída d acordo com os sguints nívis d dsmpnho: Mostra qu o príodo d rptição do programa (no msmo dia, nos três canais) é d (# dias rspond corrctamnt (".º, ($.º "%.º dias d campanha ) (vr nota)... 5 mþmþc Þ (*, "), #%) (# A missão do programa coincidiu no ".º, ($.º "%.º dias d campanha. Exmplo 2: *, "), #(, $', %, %, '$, (#, )", *!, **, "!), ""(, "#', "$, "%%, "$, "'#, "(", ")! "), $', %, (#, *!, "!), "#', "%%, "'#, ")! #%, %), (#, *', "#!, "%%, "') A missão do programa coincidiu no ".º, ($.º "%.º dias d campanha. Corrctamnt, mostra apnas qu o príodo d rptição do programa (no msmo dia, nos três canais) é d dias... 3 (# mþmþc Þ (*, "), #%) (# A missão do programa coincidiu no (#.º dia d campanha. Dtrmina incorrctamnt o príodo d rptição do programa (no msmo dia, nos três canais) rspond corrctamnt d acordo com o rro comtido (vr nota)... 2 mþmþc Þ (*, "), #%) #% A missão do programa coincidiu no ".º, #.º, %*.º, ($.º, *(.º, "#".º, "%.º, "'*.º dias d campanha. Corrctamnt, apnas dcompõ *, ") #% num produto d factors primos. ou Rspond corrctamnt, mas não mostra como obtv a rsposta (vr nota)... 1 Dá outra rsposta... 0 Nota: S o xaminando não indicar na sua rsposta o ".º dia d campanha, a msma não dv sr dsvalorizada. 23/C/8

9 A classificação dv sr atribuída d acordo com os sguints nívis d dsmpnho: Rspond corrctamnt ( FH ou EI ou GK)... 5 Dá outra rsposta " Escrvr a quação $ + $ * ( ou quivalnt )... 3 " $ $ $ + * Í + #(... 1 $ + #( Í + $... 1 Rspondr corrctamnt, indicando a unidad ( $ cm ou quivalnt) Rspond corrctamnt ( Gráfico D)... 6 Dá outra rsposta Podm sr utilizados vários procssos para rspondr a st itm, como por xmplo: 1.º Procsso ')! ''$ "(... 1 "( ')!!,!#... 4 Rspondr corrctamnt (#, %) /C/9

10 2.º Procsso ')! ''$ "(... 1 "( B ')! "!!... 4 Rspondr corrctamnt (#, %) º Procsso ''$ ')!!,*(... 3 "!,*(!,!#... 2 Rspondr corrctamnt (#, %) Podm sr utilizados vários procssos para rspondr a st itm, como por xmplo: 1.º Procsso Equacionar o problma (')! ')! ''$ ')# B % ou quivalnt )... 4 Rsolvr a quação ( B '*) º Procsso ')! % #(#!... 3 #(#! ')! ''$ ')# '* /C/10

11 3.º Procsso ')! ''$ "(... 1 ')# ')! #... 1 "( # "... 2 ')! " '* A classificação dv sr atribuída d acordo com os sguints nívis d dsmpnho: # ' Rspond justifica compltamnt a sua rsposta, scrvndo uma razão válida para cada um dos valors aprsntados... 5 Os valors são # ' # ', porqu é mnor do qu!, é maior do qu ". $ Rspond justifica a sua rsposta, rfrindo qu a probabilidad do acontcimnto m causa stá comprndida ntr!, "... 4 # ' Rspond justifica parcialmnt a sua rsposta, scrvndo uma razão válida para um dos valors aprsntados... 3 # ' # $ ' Os valors são, porqu é mnor do qu é maior do qu ". # $ $ ' # ' Rspond ou ou ou scrv uma razão válida para o valor corrctamnt aprsntado... 2 Os valors são # $, porqu são mnors do qu ". # ' Rspond mas não justifica, ou justifica incorrctamnt, a sua rsposta... 1 # ' # $ Os valors são, porqu é mnor do qu. Dá outra rsposta /C/11

12 Rspond corrctamnt ( Ó, Ò)... 5 Dá outra rsposta Dsnvolvr corrctamnt o quadrado do binómio... 3 # Obtr uma quação quivalnt à dada, na forma +B,B -!... 1 Substituir corrctamnt, na fórmula rsolvnt, +,, - plos rspctivos valors (vr nota 1)... 2 Obtr as duas soluçõs da quação Ð " #Ñ (vr nota 2)... 2 Notas: 1. S o xaminando não idntificar corrctamnt os três coficints, +,, -, a sta tapa dvm sr atribuídos zro pontos. 2. S o xaminando obtivr apnas uma das duas soluçõs da quação, sta tapa dv sr dsvalorizada m 1 ponto Podm sr utilizados vários procssos para rspondr a st itm, como por xmplo: 1.º Procsso A classificação dv sr atribuída d acordo com os sguints nívis d dsmpnho: Elabora uma stratégia complta adquada à rsolução do problma dtrmina corrctamnt as dimnsõs do crã (' cm %# cm ou quivalnt ) (vr notas 1, 2 3)... 7 Exmplo 2: # # #. $ % # # #. $ %. È#. È#.. (! (! B % ÍB' "% (! C $ Í C %# % "% ' $ "%%# As dimnsõs do crã são As dimnsõs do crã são ' cm %# cm. ' cm %# cm. 23/C/12

13 Elabora uma stratégia complta adquada à rsolução do problma, mas dtrmina incorrctamnt o comprimnto da diagonal do rctângulo (vr notas 1, 2 3)... 5 Exmplo 2: # # #. $ % # # #. $ % #. ' ). È#.(."#, (! ( (! B % ÍB%! "#, ', (! ( C $ ÍC$! ' %##%,, ' $"'),, Dtrmina corrctamnt o comprimnto da diagonal do rctângulo stablc corrctamnt uma proporção qu prmit calcular uma das dimnsõs pdidas (vr notas 1 2). ou Dtrmina corrctamnt o comprimnto da diagonal do rctângulo a razão d smlhança (vr notas 1 2)... 3 Exmplo 2: # # #. $ % # # #. $ %. È #. (!. < "% (! B % $ "% "( Aprsnta uma rsolução m qu apnas dtrmina corrctamnt o comprimnto da diagonal do rctângulo (vr nota 1). ou Aprsnta uma rsolução m qu apnas stablc corrctamnt uma proporção qu prmit calcular uma das dimnsõs pdidas. ou Rspond corrctamnt, mas não mostra como obtv a rsposta cm 3 cm 4 cm Dá outra rsposta... 0 Notas: 1. Não s xig qu o xaminando aprsnt a solução ngativa da quação do #.º grau, tndo m conta o univrso das soluçõs possívis para o problma. 2. S o xaminando, ao rsolvr o problma, obtivr (um ou mais) valors não rais, rais não positivos ou, para as dimnsõs do crã, valors supriors a (! cm, a sua rsposta dv sr dsvalorizada m 2 pontos. 3. Caso o xaminando dtrmin corrctamnt apnas uma das dimnsõs pdidas, a sua rsposta dv sr dsvalorizada m 1 ponto. 23/C/13

14 2.º Procsso Equacionar o problma... 4 Rsolvr a quaçã o (vr nota)... 2 Rspondr ao problma (' cm %# cm ou quivalnt)... 1 Nota: Não s xig qu o xaminando aprsnt a solução ngativa da quação do #.º grau, tndo m conta o univrso das soluçõs possívis para o problma A classificação dv sr atribuída d acordo com os sguints nívis d dsmpnho: Rspond corrctamnt ($ # )... 5 Dá outra rsposta A classificação dv sr atribuída d acordo com os sguints nívis d dsmpnho: Rspond corrctamnt ('! ou '! )... 5 Dá outra rsposta Podm sr utilizados vários procssos para rspondr a st itm, como por xmplo: 1.º Procsso Establcr a igualdad =/8 $! IH ( ou quivalnt)... 3 Dtrminar IH /C/14

15 2.º Procsso Establcr a igualdad -9= $! EI ( ou quivalnt)... 1 Dtrminar o valor d EI... 1 # # # Establcr a igualdad IH EI ( ou quivalnt)... 2 Dtrminar IH Podm sr utilizados vários procssos para rspondr a st itm, como por xmplo: 1.º Procsso Rfrir qu FH é um ixo d simtria da circunfrência... 2 Justificar qu EIH s *!... 1 Rfrir qu a imagm do ponto E é o ponto G qu os pontos I H são imagns d si próprios... 3 Concluir a igualdad dos dois triângulos (Uma simtria m rlação a uma rcta transforma uma figura noutra gomtricamnt igual.) º Procsso Justificar qu EI IG... 3 Rfrir qu ÒHIÓ é um lado comum aos dois triângulos... 1 Justificar qu EIH s HIG s... 1 Concluir a igualdad dos dois triângulos (Os triângulos têm dois lados iguais o ângulo por ls formado também é igual.) (vr nota) /C/15

16 3.º Procsso Rfrir qu ÒHIÓ é um lado comum aos dois triângulos... 1 Justificar qu EIH s HIG s... 1 Justificar qu EHI s GHI s... 3 Concluir a igualdad dos dois triângulos (Os triângulos têm um lado igual os ângulos adjacnts a ss lado também são iguais.) (vr nota)... 2 Nota: Só dvm sr atribuídos 2 pontos a sta tapa s houvr vidência d qu o xaminando rconhc quais são as igualdads qu prmitm concluir qu os triângulos são gomtricamnt iguais. 23/C/16