EXPRESSÕES LÓGICAS. 9.1 Lógica proposicional AULA 9

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1 AULA 9 EXPRESSÕES LÓGICAS 9.1 Lógica proposicional Lógica é o studo do raciocínio 1. Em particular, utilizamos lógica quando dsjamos dtrminar s um dado raciocínio stá corrto. Nsta disciplina, introduzimos algumas noçõs básicas d Lógica Proposicional para qu sjamos capazs d ntndr alguns tipos d dados xprssõs utilizados nos algoritmos qu dsnvolvrmos. No ntanto, a rlação ntr lógica, rsolução d problmas programação d computadors é muito mais ampla, rica complxa do qu a discussão qu aprsntamos aqui. A Lógica Proposicional consist d uma linguagm d um formalismo d cálculo para falar dduzir fatos, rspctivamnt, sobr proposiçõs. Uma proposição é uma sntnça dclarativa à qual podmos atribuir um valor vrdadiro ou falso. Há vários tipos d sntnças: Imprativas: Multipliqu 2 por 3. Exclamativas: Qu crvja glada! Intrrogativas: Está chovndo lá fora? Dclarativas: Todo aluno da UFRN é maior d idad. O qu distingu as sntnças dclarativas das dmais é o fato d qu à las podmos atribuir um valor vrdadiro ou falso, mbora nm smpr sjamos capazs d sabr qu valor atribuir. Em lógica, assumimos qu as proposiçõs satisfazm dois princípios: 1. Trciro Excluído: uma proposição ou é vrdadira ou é falsa, isto é, não xist uma trcira possibilidad. 2. Não-Contradição: uma proposição não pod sr, ao msmo tmpo, vrdadira falsa. As sntnças: os únicos intiros positivos qu dividm 7 são 1 o próprio 7 para todo intiro positivo n, xist um primo maior do qu n são xmplos d proposiçõs. Aqui, usamos ltras minúsculas, tais como p, q r, para rprsntar proposiçõs adotamos a notação para dfinir p como sndo a proposição = 3. 1 Conjunto d argumntos ou idéias pnsadas por alguém. 1

2 9.2 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Proposiçõs compostas A linguagm utilizada m lógica para rprsntar proposiçõs ralizar cálculos sobr las foi cuidadosamnt dsnvolvida para vitar ambiguidads. Est não é o caso da língua portugusa, qu nos prmit facilmnt construir sntnças ambíguas: Grands carros aviõs. O qu é grand? Só os carros ou carros aviõs? José stá vndo o jogo m cima das dunas. Qum stá m cima das dunas? O jogo? José? Ambos? A linguagm qu usarmos para construir algoritmos as linguagns d programação também não são ambíguas, mas não srvm para dscrvr argumntos, conhcimnto, vrdads, tc. É por isso qu studarmos uma linguagm própria para falar d proposiçõs. Uma das caractrísticas dsta linguagm é o uso d conctivos lógicos para criar novas proposiçõs, proposiçõs compostas, a partir d proposiçõs xistnts. Sjam p q duas proposiçõs. A conjunção d p q, rprsntada por p q, é a proposição p q. A disjunção d p q, rprsntada por p q, é a proposição p ou q. Por xmplo, s ntão a conjunção d p q é q : uma década quival a 10 anos a disjunção d p q é p q : = 3 uma década quival a 10 anos p q : = 3 ou uma década quival a 10 anos. Os valors vrdads das proposiçõs, tais como conjunçõs disjunçõs, podm sr dscritos através d tablas vrdads. A tabla vrdad d uma proposição p dfinida a partir das proposiçõs p 1,..., p n lista todas as possívis combinaçõs d valors lógicos d p 1,..., p n, com T dnotando vrdadiro F dnotando falso, para cada combinação dsss valors lógicos, a tabla vrdad lista o valor lógico d p. O valor lógico da proposição composta p q é dfinido pla tabla vrdad 9.1. Por xmplo, s q : uma década quival a 10 anos

3 9.2 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 3 p q p q V V V V F F F V F F F F Tabla 9.1: Tabla vrdad da conjunção. ntão p é falsa q é vrdadira, o qu implica qu a conjunção é falsa. p q : = 3 uma década quival a 10 anos O valor lógico da proposição composta p q é dfinido pla tabla vrdad 9.2: p q p q V V V V F V F V V F F F Tabla 9.2: Tabla vrdad da disjunção. Por xmplo, s q : uma década quival a 10 anos ntão p é falsa q é vrdadira, o qu implica qu a disjunção p q : = 3 ou uma década quival a 10 anos é vrdadira. Exist ainda uma outra proposição important: Sja p uma proposição qualqur. Então, a ngação d p, dnotada por p, é a proposição não é vrdad qu p. O valor lógico da proposição p é dfinido pla tabla vrdad 9.3. p V F p F V Tabla 9.3: Tabla vrdad da ngação. Por xmplo, s

4 9.2 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 4 ntão p é falsa q é vrdadira, o qu implica qu é vrdadira é falsa. q : q : uma década quival a 10 anos p : não é vrdad qu = 3 não é vrdad qu uma década quival a 10 anos Nós podmos utilizar conjunção, disjunção ngação para construir uma nova proposição a partir d duas proposiçõs, ond cada uma dlas pod sr uma proposição composta. Quando isto acontc, usamos parêntss rgras d prcdência para dtrminar, d forma não-ambígua, como avaliar o valor lógico da proposição rsultant. Por xmplo, s p, q r são proposiçõs, ntão (p q) r também é uma proposição. Como podmos avaliar o valor lógico dssa proposição? Nós supomos qu o oprador d ngação possui prcdência sobr os conctivos d conjunção disjunção. Então, a proposição p q significa a conjunção d p com q. Isto é, o oprador d ngação atua sob q ants qu o conctivo d conjunção atu sobr p q. Finalmnt, quando tmos mais duas proposiçõs conctadas por ou, usamos parêntss para dtrminar a ordm d composição das proposiçõs. Por xmplo, (p q) r significa a disjunção da proposição p q com a proposição r. Isto é, os parêntss srvm para dtrminar qu a conjunção d p com q dv ocorrr ants da disjunção d p q com r. S os parêntss fossm rmovidos, isto é, s tivéssmos p q r não podríamos dtrminar s a sntnça acima s trata da conjunção d p com q r ou da disjunção d p q com r. Agora, s supusrmos qu p é V, q é V r é F, o valor lógico d (p q) r é (p q) r = (V V) F = (V F) F = F F = F. Em alguns casos, no ntanto, o uso d parêntss é dsncssário. Por xmplo, (p q) (p q) (p q) (p q) No caso acima, não importa a ordm m qu agrupamos as proposiçõs dfinidas dntro dos parêntss, pois o valor lógico da proposição rsultant srá smpr o msmo. Isto porqu o conctivo fora qu concta as proposiçõs parntizadas é o msmo:.

5 9.3 OPERADORES LÓGICOS Opradors lógicos Como vimos na Aula 7, uma rlação é, na vrdad, uma proposição, pois la é uma sntnça dclarativa (m particular, uma comparação ntr dois valors) cujo valor só pod sr vrdadiro ou falso. Logo, é bastant natural nos prguntarmos s podmos combinar rlaçõs usando algum oprador, assim como fizmos com as proposiçõs qu vimos na Sção 9.2 usando conctivos lógicos, conjunção disjunção. A rsposta é sim. Em particular, podmos construir xprssõs lógicas, qu são xprssõs cujo rsultado é um valor lógico. Toda rlação é, portanto, uma xprssão lógica. No ntanto, uma xprssão lógica pod consistir d mais d uma rlação, as quais são combinadas através dos opradors lógicos. No Portugol da frramnta VISUALG, os opradors lógicos são os mostrados na Tabla 9.4. Oprador nao xou ou Dscrição Ngação Conjunção Disjunção Exclusiva Disjunção Tabla 9.4: Opradors lógicos da linguagm Portugol. Suponha qu a, b c são variávis do tipo intiro. Então, é uma conjunção das rlaçõs O rsultado da avaliação da xprssão lógica (a > b + c) (c <= 5 a) a > b + c c <= 5 a. (a > b + c) (c <= 5 a) (ou sja, da conjunção das duas rlaçõs acima) srá o valor vrdadiro s, somnt s, o rsultado das duas rlaçõs for o valor vrdadiro. Por outro lado, s a xprssão lógica for (a > b + c) ou (c <= 5 a) ntão o rsultado da avaliação da xprssão lógica (ou sja, da disjunção) srá o valor vrdadiro s, somnt s, o rsultado d uma ou d ambas as rlaçõs for o valor vrdadiro. Já é uma ngação da rlação nao (a > b + c) a > b + c. O rsultado da avaliação da xprssão lógica (ou sja, da ngação) srá o valor vrdadiro s, somnt s, o rsultado da avaliação da rlação for o valor falso. As xprssõs lógicas podm combinar mais d duas rlaçõs. Por xmplo, (a <> 4 + b) ou (2 5 % c = 1) (a <= 5 c)

6 9.3 OPERADORES LÓGICOS 6 nao (c 2 > 10) ou (c 3 <> 4) ou (b > c 4). Como a utilização dmasiada d parêntss pod prjudicar a lgibilidad da xprssão, o uso d rgras d prcdência d opradors é smpr útil. A Tabla 9.5 xib a prioridad dos opradors lógicos da linguagm Portugol da frramnta VISUALG. Estas prioridads podm sr modificadas plo uso d parêntss, assim como fizmos com as xprssõs aritméticas. Prioridad mais alta mais baixa Oprador nao xou ou Tabla 9.5: Prioridad d todos os opradors da linguagm Portugol vistos até o momnto. D acordo com ssas prcdências, o valor da xprssão lógica é vrdadiro, pois (2 > 3) (3 < 2) ou (2 < 3) (2 > 3) (3 < 2) ou (2 < 3) falso (3 < 2) ou (2 < 3) falso falso ou (2 < 3) falso ou (2 < 3) falso ou vrdadiro vrdadiro. Por outro lado, s o oprador ou tivss maior prioridad do qu o oprador, ntão avaliaria para falso, pois (2 > 3) (3 < 2) ou (2 < 3) (2 > 3) (3 < 2) ou (2 < 3) (2 > 3) falso ou (2 < 3) (2 > 3) falso ou vrdadiro (2 > 3) vrdadiro falso vrdadiro falso. No xmplo acima, as rlaçõs foram crcadas com parêntss. Na Lógica Proposicional, sss parêntss sriam dsncssários, pois qualqur oprador rlacional possui prioridad sobr todo oprador lógico. No ntanto, a frramnta VISUALG xig qu as rlaçõs qu compõm uma xprssão lógica sjam crcadas por parêntss. Logo, usando a linguagm Portugol dsta frramnta, as xprssõs lógicas acima não podm sr rscritas como mostrado a sguir: 2 > 3 3 < 2 ou 2 < 3.

7 9.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exrcícios rsolvidos 1. Avali as sguints xprssõs lógicas: (a) falso ou ( 10 % 5 2 <> ) (b) nao falso ( 3 3 \ 3 < 15 5 % 7 ) solução: (a) (b) falso ou ( 10 % 5 2 <> ) falso ou ( 0 2 <> ) falso ou ( 0 <> ) falso ou ( 0 <> ) falso ou ( 0 <> 11 ) falso ou vrdadiro vrdadiro. nao falso ( 3 3 \ 3 < 15 5 % 7 ) vrdadiro ( 3 3 \ 3 < 15 5 % 7 ) vrdadiro ( 9 \ 3 < 15 5 % 7 ) vrdadiro ( 3 < 15 5 % 7 ) vrdadiro ( 3 < 15 5 ) vrdadiro ( 3 < 10 ) vrdadiro vrdadiro vrdadiro. 2. Suponha qu x sja uma variávl do tipo intiro considr a sguint xprssão lógica: (x % 3 = 0) (x % 7 = 0) Então, para quais valors d x a xprssão lógica acima avalia para o valor vrdadiro? solução: Para todo valor intiro qu sja um múltiplo comum d 3 d 7. Por xmplo, Suponha qu x sja uma variávl do tipo intiro. Então, scrva uma xprssão lógica nvolvndo x qu avali para o valor vrdadiro s, somnt s, o valor d x for par não for maior do qu 11. solução: (x % 2 = 0) (x <= 11)

8 9.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exrcícios propostos 1. Avali o valor da xprssão p (q ou r) quando sab-s qu: (a) p é vrdad, q é falso r é falso (b) p é vrdad, q é vrdad r é falso (c) p é falso, p é falso r é vrdad 2. Rsolva as xprssõs lógicas: (a) nao (2 > 3) (b) (6 < 8) ou (3 > 7) (c) nao (2 <> 2.0) (d) (5 >= 6) ou (6 < 7) ou nao (a = 8), ond a = 5 () ((34 < 9) (5 + u = 34)) ou ((5 = 15/3) (8 > 12)), ond u = Avali as sguints xprssõs lógicas: (a) nao (7 <> 15 \ 2) ou vrdadiro (4 6 > 4 20) (b) (2 5 > 3) ou (5 + 1 < 2) (2 < 7 2) 4. Suponha qu x sja uma variávl do tipo ral considr a sguint xprssão lógica: x x 4 > 5 Então, para quais valors d x a xprssão lógica acima avalia para o valor falso? 5. Suponha qu x sja uma variávl do tipo logico. Então, scrva uma xprssão lógica nvolvndo x qu avali para o valor falso s, somnt s, o valor d x for vrdadiro. 6. Suponha qu x sja uma variávl do tipo logico. Então, scrva uma xprssão lógica nvolvndo x qu avali para o valor vrdadiro s, somnt s, o valor d x for falso. 7. Suponha qu x sja uma variávl do tipo intiro. Então, scrva uma xprssão lógica nvolvndo x qu avali para o valor vrdadiro s, somnt s, o valor d x for par ou não for maior do qu 11, mas não ambos. 8. Escrva um algoritmo para dtrminar s um aluno stá aprovado ou rprovado m uma disciplina basando-s m sua porcntagm d faltas, média parcial nota do xam final. Um aluno para sr aprovado prcisa cumprir as sguints condiçõs: Sua porcntagm d faltas não dv ultrapassar 25%; Sua média parcial dv sr igual ou maior qu 7.0, ou a soma d sua média parcial d sua nota do xam final dv sr igual ou maior qu Os valors d porcntagm d faltas, média parcial nota do xam final do aluno dvm sr lidos plo algoritmo. A saída do algoritmo dv sr "aluno aprovado"ou "aluno rprovado".