LEITURA 1: CAMPO ELÁSTICO PRÓXIMO À PONTA DA TRINCA

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1 Fadiga dos Matriais Mtálicos Prof. Carlos Baptista Cap. 4 PROPAGAÇÃO DE TRINCAS POR FADIGA LEITURA 1: CAMPO ELÁSTICO PRÓXIMO À PONTA DA TRINCA Qualqur solução do campo d tnsõs para um dado problma m lasticidad dv satisfazr às quaçõs d quilíbrio d compatibilidad. Com st propósito, Air introduziu uma forma d dscrvr campos d tnsão bidimnsionais usando uma função (, ), tal qu: Um campo d tnsõs assim dfinido smpr satisfaz às quaçõs d quilíbrio, mas somnt irá satisfazr à quação d compatibilidad s a função-tnsão for uma solução da quação bi-harmônica: ou: 4 0 Há difrnts maniras d rsolvr o campo d tnsõs nas vizinhanças da ponta d uma trinca. A solução basada na técnica d variávl compla é considrada clássica na toria da lasticidad. Númros complos: Rafal Bomblli, continuando os studos a partir da solução ncontrada por Tartaglia publicada por Cardano para rsolvr a quação cúbica, considrou qu 1 ra um númro dsnvolvu uma técnica para quaçõs cúbicas nas quais a fórmula d Cardan rsultava na raiz quadrada d um númro ngativo. Postriormnt, Eulr utilizou a ltra i para simbolizar 1, dando origm à unidad imaginária. A forma algébrica d um númro complo é dada por: z i, ond: Rz Imz Equaçõs d Cauch-Rimann: Uma função compla f(z) é dita analítica num domínio D s f(z) é dfinida drivávl m todos os pontos d D. As quaçõs d Cauch-Rimann constitum um critério important para vrificar s uma função compla é analítica. Sja ntão f(z) dada por: z u, iv f, Pod-s dmonstrar qu a função f(z) é analítica num domínio D s somnt s as drivadas parciais d u v satisfazm as quaçõs d Cauch-Rimann, dadas por: u v u v,

2 ou ntão: R f z Im f z R f z Im f z Equação d Laplac: Nas quaçõs d Cauch-Rimann, a part ral ou a part imaginária d f(z) pod sr liminada. Por mplo, as quaçõs acima podm sr difrnciadas como sgu: d ond obtmos: R f z Im f z, R f z Im f z R f z R f z 0 ou R f z 0 Uma rlação idêntica pod sr obtida para Im f(z) ao s liminar R f(z). Em outras palavras, dizmos qu tanto a part ral como a part imaginária d uma função analítica f = u + iv satisfazm à quação d Laplac, o qu constitui uma das principais razõs para a grand importância prática da toria d funçõs complas: u v 0 As soluçõs da quação d Laplac são chamadas d funçõs harmônicas. Então, a part ral a part imaginária d uma função analítica são funçõs harmônicas. S duas funçõs harmônicas u v satisfazm às quaçõs d Cauch-Rimann num domínio D, dizmos qu v é uma função harmônica conjugada d u m D. Função-tnsão compla d Wstrgaard: Em 1939, Wstrgaard introduziu um tipo spcífico d função-tnsão d Air, usando uma função-tnsão compla analítica, da qual assum-s qu suas intgrais d primira sgunda ordm istam: z Rz Imz, ond: z z são primitivas d Para qu a função dfinida acima sja uma função-tnsão d Air, la dv satisfazr à quação bi-harmônica. Uma vz qu z z é uma função analítica (porqu R z, é uma sua drivada ist), é óbvio qu a primira part da quação acima, função harmônica qu satisfaz à quação d Laplac também à quação bi-harmônica (isto porqu z também satisfaz à quação d Laplac). Pod-s dmonstrar qu a sgunda part da função-tnsão acima também satisfaz à quação bi-harmônica (ssa dmonstração é dada m Janssn t al, Fractur Mchanics ). Sabndo ntão qu a função dfinida m trmos da função compla z qualifica-s como uma funçãotnsão d Air, podmos scrvr os componnts d tnsão, m trmos dssa função compla.

3 Por mplo, para tmos: R z Im z usando as quaçõs d Cauch-Rimann, obtmos: Im z Imz Rz qu pod sr dsnvolvida como: Im z Imz Rz Rz Rz finalmnt: R z Im' z Os componnts são obtidos d forma análoga: R z R' Im' z z As prssõs para, dadas acima têm um carátr gral, ou sja, las dão os componnts d tnsão para qualqur função compla d Wstrgaard. A solução para o campo d tnsõs corrspondnt a um problma bidimnsional particular é ncontrada scolhndo-s a função d forma qu todas as condiçõs d contorno sjam satisfitas. Not qu o uso d uma função compla d Wstrgaard limita as condiçõs d contorno para os problmas qu podm sr rsolvidos. Das quaçõs acima vrifica-s facilmnt qu para = 0 é ncssário qu = = 0. Placa carrgada biaialmnt: Considr agora uma placa infinita contndo uma trinca d comprimnto a, conform mostrado na figura a sguir. A placa é carrgada biaialmnt m tração por uma tnsão. As condiçõs d contorno para st problma são: z i. = 0 para a < < a = 0; ii. para /ou ; iii. para = a = 0. A primira condição vm do fato d qu os flancos da trinca são suprfícis livrs. A sgunda condição stablc qu a uma distância infinita da trinca as tnsõs sjam iguais à tnsão aplicada. A última condição considra o fito concntrador d tnsão d uma trinca. Na ponta d uma trinca afiada (raio zro) a tnsão torna-s singular.

4 Prcisamos ncontrar uma função tal qu, dfinidos d acordo com as quaçõs antriors, satisfaçam as condiçõs d contorno. Um mplo é a função dada por: z z 1 a z As condiçõs d contorno srão agora vrificadas. i. S = 0, ntão z = portanto: z i 1 a 1 a 1 Assim, como a ao longo dos flancos da trinca, a função z é puramnt imaginária, ou sja, sua parcla ral é nula. Sgu dirto qu = 0. ii. Para /ou ; ou sja, z, a função compla assum z o valor tmos:. Como agora a parcla imaginária da função é nula, R z iii. Nas pontas da trinca ( = a = 0), tmos z = a portanto z, d ond sgu qu Rz.

5 S transladarmos a origm do sistma d coordnadas para a ponta da trinca (m z = a) introduzirmos a variávl = z a, obtrmos uma nova forma da função compla, qu srá mais fácil d usar. A função torna-s (not qu o sufio foi omitido d ): z a a a 1 a a Próimo à ponta da trinca, ou sja, a, a função-tnsão pod sr aproimada da sguint forma (a aproimação é o primiro trmo d uma pansão m séri infinita): a a a Usando a aproimação acima, uma nova mudança pod sr fita para uma rprsntação m coordnadas polars (r, ) com origm na ponta da trinca. A variávl r p i a função-tnsão fica: é scrita como a 1 a 1 p i p i r r A quação acima só é válida para r << a, dvido à aproimação fita na funçãotnsão. Partindo dssa prssão, mprga-s álgbra simpls para ncontrar R, R ' Im ', ncssários para s dtrminar os componnts d tnsão. Substituindo-s os valors ncontrados nas prssõs, obtém-s: a 3 cos 1 sin sin r a 3 cos 1 sin sin r a 3 sin cos cos r Essas prssõs mostram qu todos os componnts d tnsão tndm ao infinito na ponta da trinca (r = 0), o qu é conhcido como singularidad 1, são r produtos da posição gométrica por um fator a. A magnitud das tnsõs lásticas próimas à ponta da trinca é dtrminada por st fator, qu é dnominado Fator Intnsidad d Tnsão, KI.