TÓPICOS DE MATEMÁTICA PROF.: PATRÍCIA ALVES

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1 TÓPICOS DE MATEMÁTICA PROF.: PATRÍCIA ALVES 33 MATRIZES 1. Dê o tipo d cada uma das sguints prtncm às diagonais principais matrizs: scundárias d A. 1 3 a) A Qual é o lmnto a 46 da matriz i j 2 j 4 2 A a m qu a 1? ij ij 88 b) B i 9 c) C a c 8. A tmpratura corporal d um pacint foi mdida, m graus Clsius, três vzs ao dia, b d durant cinco dias. Cada lmnto a ij da d) D matriz abaixo corrspond à tmpratura obsrvada no instant i do dia j : , 6 36, 4 38, 6 38, 0 36, ,1 37, 0 37, 2 40, 5 40, 4 ) E 1 35, 5 35, 7 36,1 37, 0 39, 2 2 Dtrmin: f) F a) O instant o dia m qu o pacint aprsntou maior tmpratura; b) A tmpratura média do pacint no trciro dia d obsrvação. 2. Qual a matriz A a ij, m qu 9. Dtrmin a, b, c d para qu s tnha 44 a 1 2 b a ij 3i 2 j? 4 c d 6 3. Dtrmin a matriz B b ij m qu 10. Dtrmin x, y z para qu satisfaçam b ij i j. Qu lmntos prtncm às diagonais x y 2 7 z principal scundária d B? 4 x y z Indiqu as matrizs C c ij m qu 11. Dtrmin p q, tais qu 41 c i 2 j, D d, m qu d i j. 8 p 2 2 p 9 ij ij 13 ij 3 q q Qu matrizs spciais são ssas? 12. Vrifiqu s xist m, n, para qu s 5. Dê a matriz A a ij, m qu: 43 tnha a 0, s i j m m ij s i j 1 m m 3 4 1, 6. Sndo a matriz A a ij, m qu 13. Dtrmin m, n, s xistir, tal qu 44 9 m a i j, s i j, fornça os lmntos qu 3 7 m 7 ij 0, s i j

2 14. Sja A a ij 23, m qu a ij i j. 21. Sjam as matrizs A a ij ij d) A , B , m qu Dtrmin, n p m 3 m 2 p a ij 2i j, B b 1012, m qu b ij i j. m n, a fim d qu Sja C A B, m qu c a b. n 1 n p 5 ij ij ij Dtrmin os lmntos: tnhamos A B. a) c Dtrmin x, y, d modo qu b) c x y y x Rsolva o sistma: X Y 16. Calcul: a) X Y b) As tablas a sguir indicam o númro d faltas d três alunos A, B C m cinco c) Sjam as matrizs A a ij, m qu a ij i j B b ij, m qu b ij i j 1. a) Dtrmin a matriz C A B. b) Dtrmin a matriz D A B. Como você rprsntaria, gnricamnt, um lmnto d D? 18. Sjam d ij disciplinas (Português, Matmática, Biologia, História Física, rprsntadas por suas iniciais), nos mss d março abril. Abril P M B H F Aluno A Aluno B Aluno C a) Qual tabla indica o númro d faltas dsss alunos no primiro bimstr? b) Bo primiro bimstr, qual aluno tv o maior númro d faltas m Português? E m História? C Dtrmin a matriz A B C. 19. Rsolva as sguints quaçõs matriciais: Dada a matriz A 3 5 1, obtnha a) X as matrizs: a) 4 A b) X b) 1 A Dtrmin a matriz X m: X Março P M B H F Aluno A Aluno B Aluno C

3 Sjam as matrizs A 1 5 a) 2A A t b) 3B t t 0 7 t c) A 3 2 d) B t B 1 6. Dtrmin as sguints Dtrmin X m 3X 2A B t 2X, s matrizs: a) 3A B b) A 3B 3 A 1 1 B Sjam as matrizs A B b, m qu b 2i 3 j. Dtrmin a 32. Rsolva a quação 2X t 3A B, s ij 33 ij matriz 3A 4B. A 3 B Sjam as matrizs A Rsolva o sistma B X Y a) Calcul 2 A B 2A 2B. Os rsultados 3X 2Y são iguais? b) Calcul são iguais? 3 A B 3A 3B. Os rsultados 3 2 y 34. Sabndo-s qu a matriz x 2 5 é c) Calcul 2 3 A 2 3 A. Os rsultados 3 z 1 são iguais? d) Calcul 1 A. A matriz obtida é igual a A? simétrica, qual é o valor d 28. Rsolva a quação 35. Analis a afirmação sguint: S A é uma matriz quadrada, ntão A A t é uma matriz X simétrica A A t é uma matriz anti-simétrica Dtrmin, s xistirm, os produtos: 2 2 a) Dadas as matrizs A, b) C 1, dtrmin a B c) matriz X qu vrifica a quação d) 1 4 2A B X 2C Dtrmin, s xistirm os produtos: A 30. Sndo 1 2 B 3 0, 5 3 dtrmin: x 2y z?

4 a) Calcul x y m 2 x 4 2 y Sjam as matrizs A a ij, m qu b) a ij i j, B b jk 34, m qu b jk 2 j k c) d) c) Sndo C c ik 64 a matriz produto A B, 39. Sjam as matrizs A 2 0, C 4 B. Dtrmin, s xistir: 1 a) A B dtrmin o lmnto c Sjam A a ij 43 B b ij 45. Dtrmin x y a fim d qu as matrizs x 1 3 y 1 comutm. 34 duas matrizs dfinidas por a ij i j b ij 2i j, rspctivamnt. S A B C, ntão qual é o lmnto c 32 da matriz C? 44. Sjam as matrizs 38. Dtrmin, s xistirm, os produtos: A , a) B 1 1 C a) Calcul A BC AC B C. Os b) b) B A c) AC 1 3 rsultados são iguais? b) Calcul A BC rsultados são iguais? AC B C. Os c) Calcul A BC AB C. Os rsultados são iguais? 1 4 d) Calcul A B B A. Os rsultados são iguais? d) B t 46. Sja A uma matriz quadrada d ordm n ; C ) B A t dfinimos A 2 A A. Assim, dtrmin A 2 nos sguints casos: Sjam as matrizs A a) A b) A B 1 9. S C c ij é a matriz Sja uma matriz quadrada d ordm n ; produto A B, dtrmin, s xistirm, os dfinimos A 3 A A A. Utilizando os dados lmntos: a) c 22 do xrcício antrior, calcul A 3. b) c A tabla abaixo ostra as notas obtidas plos c) c 33 alunos A, B C nas provas d Português (P),

5 Matmática (M) Conhcimntos Grais (CG) m um xam vstibular. P M CG Aluno A Aluno B Aluno C S os psos das provas são 7 (m Português), 6 (m Matmática) 5 (m Conhcimntos Grais), qual o produto d matrizs qu prmit dtrminar a nota final d cada aluno? Dsja-s construir uma scola m um dsss bairros, d tal manira qu a distância prcorrida por todos os alunos sja a mínima possívl. A matriz X qu rprsnta as distâncias ntr as localidads é dada por Dtrmin a nota d cada um. X d ij, ond d ij é a distância ntr C i C j, 1 i 3, 1 j 3. Classifiqu cada uma 49. Rsolva a quação X das afirmaçõs como vrdadira (V) ou falsa 5 (F). 0 1, a) X 1,8 0 2, Sndo A B 3 1, 2 2, rsolva a quação A t X B t. b) S Y 110 é a matriz coluna das Rsolva a quação A X B C, na qual A , B 3 2 C populaçõs, ntão X Y Rsolva a quação A B X C, s c) A localidad scolhida para a construção da scola dv sr C 2. A, B 4 1 C S A 3 1 y 1, B 2 A t B é uma x Sndo A, calcul A, A A. 0 1 matriz nula, calcul x y As matrizs 2 1 x y A B são Vrifiqu s 1 3 é a invrsa d tais qu A B B A (dizmos, por isso, qu A 3 5 B comutam). Calcul x y Uma mdida no sntido d dsafogar o trânsito é o planjamnto na construção d 58. Dtrmin, s xistir, a invrsa da matriz difícios públicos. O diagrama a sguir 1 2. rprsnta três bairros, C 1, C 2 C 3, com as 1 0 rspctivas populaçõs d alunos as distâncias ntr ls, m quilômtros: 59. Sja A Dtrmin A 1.

6 60. Sjam as matrizs 1 1 B 1 1. Dtrmin: a) A 1 B 1 b) A 1 B Dtrmin, s xistir, a matriz invrsa d As matrizs A B são quadradas d ordm 4 tais qu AB Dtrmin a matriz BA. 63. Sja A 1 a invrsa d A Dtrmin: a) A A 1 b) A 1 2 A Dtrmin x a fim d qu a matriz A 1 2 sja igual a sua invrsa. 0 x y A invrsa d é a matriz 2 x x x 4. Dtrmin x y. x Qual é a invrsa da matriz X 0 3 0? Dtrmin a matriz invrsa d X Usando a invrsão d matrizs, rsolva a A 5 3 quação A X B, s A B Supondo invrsívis d msma ordm todas as matrizs nvolvidas, isol a matriz X m: a) X B A C b) A 1 X B 1