INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LIMITES E DERIVADAS MAT B Prof a Graça Luzia

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LIMITES E DERIVADAS MAT B Prof a Graça Luzia A LISTA DE EXERCÍCIOS ) Usando a dfinição, vrifiqu s as funçõs a sguir são drivávis m 0 m caso afirmativo, dtrmin f ( 0 ):, a) f ( ) ( 0 ) b) f() ( 0 0) c) f() ( 0 0) 8, >, > d) f() + ( 0 ) ) f() n, n N * ( 0 R) f) f ( ) ( 0 )., ) Vrifiqu m qu ponto(s) a função f() não é drivávl. Justifiqu sua rsposta. ) Esboc o gráfico d f sabndo qu f é dada plo gráfico: a) b) (-,) (,) (7,) (-,) (,) 0 (,-) (-,0) 0 D(f) [, + ) D(f) R obs: No intrvalo [,], f() ) Dtrmin as constants a b d modo qu f sja drivávl a + b, a) m, sndo f ( )., >, < - b) m -, sndo f ( ) a + b, - ) Dtrmin as drivadas das funçõs a sguir: a) ( z ) + b) c) w + t + / / d) u ) +.ln f) ( ) t 7 +

2 g) ( + + ) ) Dtrmin a drivada d cada uma das funçõs a sguir: a) ( /)sn + 9sc b) sn + cos c) f() sn cos + 8tg sc tg t sn + cos d) g( t ) ) g( ) f) sct sn cos sn 7) Dtrmin as quaçõs das rtas tangnt normal ao gráfico d f no ponto d abscissa 0 : a) f() + ; 0 b) f() tg ; 0 / c) f() cossc ; 0 / 8) Dtrmin as abscissas dos pontos do gráfico d f() + nos quais a rta tangnt é: a) horizontal b) paralla à rta ) Em qu ponto da curva + a rta tangnt tm ângulo d inclinação /? 0) Caso ista, dtrmin o(s) ponto(s) da curva f( ) /, no qual a rta tangnt é paralla à: a) ª bisstriz b) ª bisstriz ) Sja f() b ( /). Dtrmin a constant b d modo qu a rta qu passa plos pontos M(0,) N(/,0) sja tangnt ao gráfico d f. ) Dtrmin a quação da rta tangnt ao gráfico d f() prpndicular à rta +. ) Dtrmin a quação da rta qu passa plo ponto P(0,) é tangnt ao gráfico d f(). Ilustr a intrsção construindo o gráfico. ( Obsrv qu o ponto P não prtnc ao gráfico da função f() ) ) Dtrmin a quação da rta tangnt comum aos gráficos d f() d g() + (/). ) Dtrmin f () supondo g h drivávis ( h( )) f ( ), g() 0 g( ) ) Para cada uma das funçõs sguints, dtrmin as drivadas indicadas: a) f(u) u, u(), (f o u) () (f o u) () ; b) u sn(u), u, d d d d ( o ) + c) f(u) u, u (), (f o u) () (f o u) (); + d) f() +, f '() f (); ; ) ( ). ( ) cos f sn + + ( + ), f) f ( t) t + t, f (t) f (0) ; f () f (0);

3 g) ( ) ln + sn f, f () f ; sn h) f ( ), f () f (0); + i) f ( ) ln [ tg ( + )], f () f (0); 7) Encontr a prssão da sgunda drivada das funçõs dos sguints itns da primira qustão o su valor nos pontos indicados: a) No ponto d abscissa 0, no itm a) b) No ponto d abscissa 0, no itm b) c) No ponto d abscissa 0 0, no itm g) d) No ponto d abscissa 0 0, no itm h) 8) Para cada um dos itns a sguir dtrminar: a) f (), sndo f( + ) + f( + ) + + ; b) f (0), sndo f ( sn ) f ( ) +,, ; c) (g o f o h) (), sabndo qu f(0), h() 0, g (), f (0) h () ; d) a função g sabndo qu ( f o g) () +, f() + g (). 9) Dtrmin a prssão d ( f ) ( f ( ) ), lmbrando-s qu ( f ) f ( ) a) f() + ; ; b) f( ) ; -; + c) f() + cos(), 0 < < /; d) f() sn(ln), / < < / ; ) f() +. ( ) : f ( ) f 0) Calcul ( )'( a), a partir das prssõs calculadas na qustão antrior. a) a f() b) a f() c) a d) a ) a ) Ach a prssão da drivada d cada uma das sguints funçõs: a) f() arctg( + ) b) f() arcsn( ) c) arctg( f ( ) + )

4 d) f() ln(arccos( + ) ) f ) log [arccotg( )] f) f() ( ( + ) g) ( ) f ( ) + f ( ) + sn() h) ( ) ) Dtrminar a drivada da função g sabndo qu g é a invrsa da função f, isto é, g f --. a) f '( ) f ( ) ; b) f () + f() ; c) ln(f ()) + f(), para f() 0 f(). ) Calcul a prssão o valor no ponto dado das drivadas indicadas abaio: d d a) +,, no ponto P(, ),, no ponto Q(,); d d b) + d +, d no ponto P(0, -); d c) sn() 0,, no ponto d ordnada ; d d) +,, no ponto d ordnada ; ) + +,, no ponto d abscissa ordnada possum o msmo valor. ) Calcul a sgunda drivada o su valor nos pontos indicados das ltras a, c d da qustão antrior. ) Calcul as prssõs das drivadas os sus rspctivos valors nos pontos dados: sn t a), t [, ], d, no ponto t sn t d ; t( + t ) b),0 t, t ( + t ) d, no ponto d abscissa ; d c) d) d, função dada na ltra a; d t t, d d. ) Vrifiqu s: a) sc( t), ln[cos( t)] t,, satisfaz a quação: d d +. 0 d d arcsn( t) t b), t [,] d d, satisfaz a quação: sn.. 0 d d 7) Dtrminar uma quação da rta tangnt da rta normal ao gráfico d cada função abaio, nos pontos indicados: a) arctg (), no ponto d abscissa ;

5 b) 8 + d 8, nos pontos m qu 0 ; d c) +, no ponto d abscissa 0 ; d) + 9, nos pontos ond a normal é paralla à rta 7 0; ) d f) d f no ponto P(,), sabndo qu f() +, > ; f no ponto P(,) sabndo-s qu f() stá dfinida implicitamnt por +. t g), com t ; t + arctg( t) 8) Rsolva os problmas a sguir: a) A quação do movimnto d uma partícula é s ( t) t +, s m mtros, t m sgundos. Dtrminar: a.) o instant m qu a vlocidad é d / m/s; a.) a distância prcorrida até ss instant; a.) a aclração da partícula quando t sg. b) Em conomia a taa d variação instantâna do custo total d produção m rlação ao númro d unidads produzidas dnomina-s custo marginal. Frqüntmnt, é uma boa aproimação do custo d produção d uma unidad adicional. Sndo C(q) o custo total d produção d Q unidads, ntão, o custo marginal é igual a C (q), qu é aproimadamnt o custo d produção d uma unidad adicional, ou sja, C (q) custo d produção da (q + ) -ésima unidad Sndo assim, suponha qu o custo total para s fabricar Q unidads d um crto produto sja d C(q) q + q + 0 b.) Dduza a fórmula do custo marginal b.) Calcul o custo d produção da a unidad mprgando aproimação forncida plo custo marginal. b.) Calcul o custo ral d produção da a unidad. c) Crto studo ambintal m uma comunidad suburbana indicou qu o nívl médio diário d CO no ar srá d C ( p ) 0, p + 7 parts por milhão quando a população for d p milhars d habitants. Calcula-s qu daqui a t anos a população srá d p ( t), + 0,t milhars d habitants. Qual srá a taa d variação m rlação ao tmpo do CO daqui a três anos? d) Um garoto mpina uma pipa qu stá a uma altura d 0m. S a linha stá sticada, com qu vlocidad dv o garoto soltar a linha para qu a pipa prmança a uma altura constant com vlocidad d m/sg, quando a msma stá a 0m do garoto? (Não considr a altura do garoto). ) Um automóvl qu viaja à razão d 0m/s, aproima-s d um cruzamnto. Quando o automóvl stá a 0m do cruzamnto, um caminhão qu viaja à razão d 0m/s atravssa o cruzamnto. O automóvl o caminhão stão m rodovias qu formam um ângulo rto uma com a outra..) Com qu vlocidad afastam-s o automóvl o caminhão s dpois do caminhão passar plo cruzamnto?.) Com qu vlocidad afastam-s o automóvl o caminhão s dpois do caminhão passar plo cruzamnto?.) Com qu vlocidad afastam-s o automóvl o caminhão s dpois do caminhão passar plo cruzamnto?

6 f) Uma scada com m d comprimnto stá apoiada numa pard vrtical alta. Num dtrminado instant a trmidad infrior, qu s ncontra a m da pard, stá scorrgando, afastando-s da pard a uma vlocidad d m/sg. f.) Com qu vlocidad o topo da scada stá dslizando nst momnto? f.) Um homm stá parado sobr a scada no instant m qustão l s ncontra a 8m do solo. Com qu vlocidad vrtical stará s aproimando do solo nst momnto? g) Uma lâmpada é colocada m um post stá a m d altura. S um homm d m d altura caminha afastando-s do post à razão d m/s : g.) Com qu vlocidad s alonga a sombra? g.) A qu razão s mov a trmidad da sombra do homm? h) Um lado d um rtângulo stá crscndo a uma taa d 7cm/min o outro lado stá dcrscndo a uma taa d cm/min. Num crto instant, os comprimntos dsss lados são 0cm 7cm, rspctivamnt. A ára do rtângulo stá crscndo ou dcrscndo nst instant? A qu vlocidad? i) Um navio, com dirção vlocidad dsconhcidas, navga m linha rta próimo a uma costa rtilína. Um obsrvador situado na costa md a distância r dl ao navio o ângulo φ ntr a costa a linha qu contém a distância dl ao navio (r). Em um crto instant ncontra r m, φ / rd qu a vlocidad com qu o navio s afasta dl é d m/sg, nquanto o ângulo φ stá diminuindo a rd/sg. Qual a taa d variação da distância do navio à costa nst instant? j) A altura d um triângulo isóscls md m o ângulo do vértic é θ. S θ crsc com vlocidad d 0,0 rd/sg, como varia a ára do triângulo no instant m qu θ rd? k) Uma bola d nv sférica é formada d tal manira qu su volum aumnta à razão d 8cm /min. Como stá variando o raio no instant m qu a bola tm cm d diâmtro? l) Uma calha horizontal possui 0m d comprimnto tm uma sção transvrsal triangular isóscls d 8cm d bas no topo 0cm d profundidad (altura rfrida à bas na part suprior). Dvido a uma tmpstad a água m su intrior stá s lvando a uma razão d /cm/min no instant m qu stá a cm d profundidad. Com qu vlocidad o volum d água stá crscndo nss instant? m) Dspja-s água num rcipint d forma cônica, à razão d 8cm /min. O con tm 0cm d profundidad 0cm d diâmtro m sua part suprior. S ist um furo no fundo, o nívl da água stá subindo à razão d mm/min, com qu vlocidad a água stará scoando quando sta stivr a cm do fundo? n) Uma lâmpada acha-s no topo d um post d 0m d altura. Dssa msma altura, dia-s cair uma bola, a uma distância d 0m do post. Com qu vlocidad s mov no solo a sombra da bola /sg dpois? Suponha qu a bola m sua quda prcorr a distância s t m t sgundos.

7 RESPOSTAS DA a LISTA ) a) não ist; b) zro; c) não ist; d) ; ) ) f não é drivávl m m + ) a) b) n n o f) não ist (,/) / - - -/ (,-/) - ) a) a -/, b / b) a -, b - ) a) 8 +; b) ' / ; c) w' 0 + ; 90 d) u' ; ) ' + ln ; f) ( t 7 ) ( ) g) ln ( + + ) + ( + ) ' ; ( ) ) a) - (/) cos + 9 sc tg b) cos; c) f () cos + 8 sc (tg + ); d) g (t) ( + tgt) cost ) g () (sn cos) - f) ( sn cos ) sn 7) a) t: 9 0 n: ; b) t: ( ) n : ( ) ; c) t: n: /. 8) a) -, /; b) 0, -/ 9) ( /,/ ) 0) a) não ist b) (,), (-,-); ) b ) t: - (/) ) t: + 7

8 ) t : + /, t : - + / h ( )[ h'( ) + h( )] g'( ) h ( ) ) f '( ) g( ) g ( ) ) a) (f o u) () ( ) (f o u) () 8 d b) (sn( ) + cos( d )), d d ( ) c) + ( f o u) ( )., (f o u) () + ( + ) d) f ( ), f ( ) + ) f ( ) sn( + ) +.cos( + ) sn( + ), f (0) sn( ) sn( ) t t f) f ( t) ln().( ), f (0) 0 o g) f () sc, f ( ) h) f ( ), f (0) ( + ) i) f ( ).( + ).cos sc[.( + )], f (0) 0 7) a) (f o u) () 0 8, (f o u) () - 8 d b).sn( )( ) + 0 cos( ), d 0 d d ( 0 ) c) (f ) () sc tg d) 8.( ) f ( ), (f ) (0) 0 ( + ) 8 8) a) f () ; b) f ( 0) ; c) (g o f o h) () 0; d) g ( ) + 9) a) ( ) ( + ) f ( f ( )) ; b) ( f ) ( f ( )) ; c) ( f ) ( f ( )).cos sc() + 8 d) ( f ) ( f ( )) ; ) f ( ) ( f ( )) ; cos(ln ) + 0) a) /8; b) 8; c) -/; d) ( / ) ; ) ½; arctan( ).ln(). ) a) f ( ), b) f ( ), c) f ( ) d) f ( ), ) f ( ) ( + ).arccos( + ).ln()..( + ).arccotg( ) f) (f ) () ( + ) [ ln( + ))], g) f ( ) ( + ) ln( + ) + ( + ) ( ) 8

9 h) f ( ) ( + sn()) ln( + sn()) + ( + sn()) (cos()) ) a) ) a) g ( ) ; b) p q d 8 + b) d + p c) cos p d) p + ) + p + 7 ( + ) g ( ) ; c).( + ) g ( ) + ) a) sn( ) b) ( cos ) c) p + ( + ) 9 p p d. cos(t) d ) a), d cos( t) d ( t ) d t b) para tmos t, logo d t c) d) d cos(t).sn( t).sn(t).cos( t) d cos ( t) d t. d d d t / d d ) a) cos(t), cos ( t), vrifica. d d d d d b) t, t, vrifica. d 7) a) Rta Tangnt: ( ) Rta Normal: ( ) 9 9 9

10 b) Rta Tangnt: ( ) Rta Normal: ( ) c) Rta Tangnt: 9 8( ) Rta Normal: 9 ( ) 8 d) Para, rta tangnt ( ) Rta Normal: ( ) Para, Rta Tangnt: + ( + ) Rta Normal: + ( + ) ) Rta Tangnt: ( ) 8 Rta Normal: 8( ) f) Rta Tangnt: ( ) Rta Normal: ( ) g) Rta Tangnt: ( + ) ( ) Rta Normal: ( + ) ( ) 8) a) a..) sg, a.) m, a.) m/s b) b.) q +, b.) R$ 0,00, b.) R$ 08,00 c) 0, parts por milhão ao ano, d) 9/ m/s 90 ).) m/s,.) 0m/s,.) m/s 7 f) f.) / m/s s aproimando do solo, f.) /9 m/s s aproimando do solo g) g.) 0/ m/s, g.) / m/s h) A ára stá crscndo a 9 cm /min 8 i) m/s s aproimando da costa j) 0, m /sg k) cm/min l).000 cm /min m) (8,) cm /min n) 00 m/sg s aproimando do post 0