( ) π π. Corolário (derivada da função inversa): Seja f uma função diferenciável e injectiva definida num intervalo I IR.

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1 Capítlo V: Drivação 9 Corolário (drivada da nção invrsa): Sja ma nção dirnciávl injctiva dinida nm intrvalo I IR Sja I tal q '( ), ntão ( é drivávl m y ) ' ( ) ( y ) '( ) Ercício: Dtrmin a drivada d () arcsn para ], [ Rsolção: A nção arcsn é invrsa da nção sn na rstrição π π nção dirnciávl injctiva m, y sn ntão o corolário antrior irma q Sja ( ) arcsn ' ( ( y )) Pla órmla ndamntal da trigonomtria tmos sn (not q como π π, ' ( sn( )) ( ) cos Ora ( ) sn é ma ( ) cos ( ) cos( ) sn ( ) y π π,, cos( ) é positivo nnca s anla) portanto ( arcsn( ) Ercício: Dtrmin a) ( ) arccos( para ], [ b) ( arctg () para IR c) ( ( ) ) ' arccotg para IR ; d) ( loga ( ) para IR ( a > ); Tmos portanto as sgints órmlas nção logaritmo a > : ( ) log a '( ) ln( a) nção arcsn ( ) arcsn( ) ' ( )

2 Capítlo V: Drivação 3 nção arccos ( ) arccos( ) '( ) 4 nção arctg ( ) arctg( ) '( ) 5 nção arccotg ( ) arccotg( ) '( ) Tablas d Drivadas Tndo m conta a drivada das nçõs lmntars atrás rridas a drivada da nção composta, podmos scrvr as sgints órmlas d drivação: Sjam v nçõs drivávis, k a > constants: ( v) ' v' ( v v v' 3, v 4 ( k k k v v' v k 5 ( k ' 6 ( a a ln a v, v v 7 ( ) v' ln v log a ln a 8 ( ) ' 9 ( sn ( ) cos( ) ( cos( ) sn( ) ( tg ( ) sc ( ) ( cot g( ) cosc ( ) arccos( ) ' arctg( ) ' arccot g( ) ' 3 ( arcsn( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 55 Drivadas d ordm sprior Dada ma nção dirnciávl, ntão é também ma nção ral d variávl ral Assim podmos alar na nção drivada d, sja na sgnda drivada d Em trmos práticos obtém-s d drivando sta das vzs, sja, ''( ) ( '( )

3 Capítlo V: Drivação Notação: S y () : primira drivada d :, na notação d Libniz, d d dy ; d sgnda drivada d :, na notação d Libniz, d d d y ; d trcira drivada d :, na notação d Libniz, d 3 d 3 3 d y ; 3 d qarta drivada d : n-ésima drivada d : (4), na notação d Libniz, (n), na notação d Libniz, d 4 d d 4 n d n 4 d y ; 4 d d n d y n, n IN Ercício: Calcl as três primiras drivadas da nção ( ) ln( ) 56 Tormas ndamntais sobr drivação Torma d Roll: Sja : [ a,b] IR ma nção contína no intrvalo chado [ a,b] drivávl no intrvalo ] a,b[ S ( a) ( b) ntão ist plo mnos m ] a,b[ () c c : Intrprtação gométrica: O torma d Roll airma ntr dois pontos d ma nção (contína dirnciávl) com a msma imagm ist plo mnos m ponto do gráico d ond a rcta tangnt é horizontal

4 Capítlo V: Drivação S algma das condiçõs do torma alhar a conclsão do torma pod não s vriicar, por mplo: Considrmos ma nção cja rprsntação gráica é: não é contína m b Não ist nnhm ponto do intrvalo [ a,b] cja rcta tangnt sja horizontal é ssncial a continidad no intrvalo chado [ a,b] Sja ( ), [ 4,4] A rprsntação gráica d é: não admit drivada m Não ist nnhm ponto do intrvalo [ 4,4] cja rcta tangnt sja horizontal é ssncial a drivabilidad no intrvalo abrto ] a,b[ Corolário : Sja : [ a,b] IR ma nção contína no intrvalo chado [ a,b] com drivada no intrvalo ] a,b[ S a b são dois zros d ntão ist plo mnos m ] a,b[ () c c : Intrprtação gométrica: O corolário airma q ntr dois zros d ma nção (contína drivávl) ist plo mnos m zro da drivada

5 Capítlo V: Drivação 3 S algma das condiçõs do torma alhar a conclsão do torma pod não s vriicar (Ercício: ncontrar mplos ) Corolário : Sja : I IR ma nção drivávl [ a,b] I S a b são dois zros d, ntão tm no máimo m zro ntr a b Intrprtação gométrica: não tm zros tm m único zros S a hipóts da drivabilidad alhar no intrvalo [ a,b] ntão a conclsão do corolário pod diar d sr válida Por mplo: a b são dois zros consctivos da drivada mas ntr a b ist dois zros da nção é ssncial a drivabilidad no intrvalo chado [ a,b] Ercício: A qação admit como solção Mostr q sta qação não pod tr mais nnhma solção ral

6 Capítlo V: Drivação 4 Rsolção: Em primiro lgar, há q obsrvar q é ctivamnt ma solção da qação dada: (proposição vrdadira) Dina-s ( ) Vamos spor q tro zro: a Então plo primiro corolário do torma d Roll, ist m ponto ntr a (clsiv) tal q a drivada é nla Mas ( ) ( ) absrdo pois o torma d Roll airma a istência d m zro da drivada ntr a (clsiv) O absrdo rslt d spor q admitia mais do q m zro Logo tm m único zro portanto a qação dada tm ma única raiz Torma d Darb: Sja : [ a,b] IR chado [ a,b] drivávl no intrvalo [ a, b] Então '( ) toma todos os valors ntr ( a) ma nção contína no intrvalo '( b) Emplo: A nção '( ), <, não pod sr a drivada d nnhma tra nção, pois no intrvalo [, ] '( ), '() '( ) não toma valors ntr -, Torma do valor médio d Lagrang: Sja : [ a,b] IR contína no intrvalo chado [ a,b] drivávl no intrvalo [ a, b] Então ist ] a,b[ ( ) ( ) b a c tal q () c b a ma nção

7 Capítlo V: Drivação 5 Intrprtação gométrica: O torma d Lagrang airma q ist m ponto no gráico d cjo dcliv da rcta tangnt é igal ao da rcta q passa nos pontos ( a, ( a) ) (, ( b) ) b () c ( b) ( a) b a Corolário: Sja : I IR ma nção contína (I m intrvalo) c I S tm drivada m I \ { c} s istm são igais '( ) L '( ) ntão ist (c) '( c) L c c Emplo: A nção g ( ) arctg( ), >, é contína ( vriiq q é contína m ), tmos q para g '( ) é, > g '( ), < Como g é contína g' ( ) g' ( ) ntão plo corolário antrior ist g '( ) m, g '()

8 Capítlo V: Drivação 6 Aplicação ao cálclo dos its nas indtrminaçõs O cálclo d its por vzs não é simpls Utilizando drivação há m rsltado, q m crtas condiçõs, nos acilita mito ss cálclo: Proposição (Rgra d Cachy): Sjam g das nçõs dinidas m ] a,b[ c [ a,b], tal q: g são drivávis m ] a, b[ \ { c} g ( ), ' ] a, b[ \ { c} ( ) c g( ) Então '( ) ist é (*) c g'( ) ( ) '( ) ( ) c g c g'( ) Obsrvação: A rgra d Cachy também s aplica para its no ininito, c ±, para its latrais, c b c a Rpar q (*) não s trata da drivada do qocint!!! Por vzs sta rgra é também dsignada por rgra d L Hospital ( L Hôpital), mas sta é não é tão gral só é ormlada para aplicar à indtrminação Ercícios: Calcl os sgints its: o sn( ) rsolção: tmos ma indtrminação, aplicando a rgra d Cachy, sn( ) o o cos( )

9 Capítlo V: Drivação 7 ln( ) o rsolção: tmos ma indtrminação, aplicando a rgra d Cachy, ln( ) o o 3 n IN n rsolção: tmos ma indtrminação, aplicando a rgra d Cachy (n vzs), K n n! 4 rsolção: tmos ma indtrminação, aplicando a rgra d Cachy, 5 ln( ) rsolção: tmos ma indtrminação, aplicando a rgra d Cachy, ln( ) 6 7 ln( ) sn ( ) (é ncssário aplicar a Rgra d Cachy das vzs) sn( ) 8 sn( ) (é ncssário aplicar a Rgra d Cachy das vzs)

10 Capítlo V: Drivação 8 Obs: Qando tmos indtrminaçõs da orma por vzs, podmos transormá-las m indtrminaçõs da orma rgra d Cachy, como podmos vr nos mplos sgints: para podrmos aplicar a 9 rsolção: tmos ma indtrminação, não podmos aplicar a rgra d Cachy dirctamnt, mas como icamos com ma indtrminação agora podmos aplicar a rgra d Cachy [ ln( 3 ) ] rsolção: tmos ma indtrminação, não podmos aplicar a rgra d Cachy dirctamnt, mas como [ ln( 3 ) ] [ ln ln( 3 ) ] ln 3 ln 3 icámos com ma indtrminação rgra d Cachy pois ln ( ) é contína agora podmos aplicar a

11 Capítlo V: Drivação 9 Otras indtrminaçõs: No cálclo d its da orma ( ) a indtrminaçõs: g( ) por vzs somos condzidos às sgints Estas indtrminaçõs lvantam-s rcorrndo à sgint igaldad: a g ( ) ( ) g( ) ln ( ) a ond ( ) >, D a IR {, } Prova: S ist é positivo, ( ) g ( ) a ntão a ( ) g( ) A ln a g ( ) ln[ ( ) ] a A a g( ( )ln g ( ) ) ( ) A A ( pois ln( ) ( pois ln( ) é ( propridads ) contína ) da nção ln) Nota: ± k k k IR Ercícios: Calcl os sgints its: rsolção: tmos ma indtrminação ma indtrminação, azndo, azndo ln( ) indtrminação podmos aplicar a rgra d Cachy: [ ln( )] tmos tmos ma ln( ) ( )