Limite Escola Naval. Solução:
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- Antônio Deluca Figueiredo
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1 Limit Escola Naval (EN (A 0 (B (C (D (E é igal a: ( 0 In dt r min ação, do tipo divisão por zro, log o não ist R par q pod sr tão grand qanto qisrmos, pois, M > 0, δ > 0 tal q 0 < < δ > M M A última ha qival a dizr q Ltra (D Obs: Na prática podmos vr o rsltado acima da sgint manira Obsrv q o nmrador tnd para m númro difrnt d zro nqanto q o dnominador tnd para zro, nst caso o it acima não ist é rprsntado por infinito Dvmos dscobrir s é o caso d rprsntá-lo por o, para isto basta analisar o sinal da fração para valors d na vizinhança indicada, o sja, < < δ < 0 > 0 < 0 (EN O valor d é: 5 (A / (B /5 (C (D / (E Tmos q ( 0 5 ( 0 In dt r min ação, do tipo divisão d zro por zro Usando L' hôpital Ltra (A 5 5
2 (EN (A 0 (B (C (D (E Dividindo o nmrador o dno min ador por, obtmos Ltra (B Obs: Podríamos tr sado o fato d q m polinômio qival ao trmo d maior gra qando a variávl tnd a infinito No nosso caso não podmos tilizar a qivalência d imdiato, pois, a prssão inicial é ma difrnça a toria d qivalências falha nst caso Então fazndo o msmo dsnvolvimnto q na solção chgamos a sgnda igaldad abaio nst caso podmos tilizar a qivalência dscrita na linha acima, o sja, (EN é igal a: (A 0 (B (C (D (E Ltra (E 5 (EN O ( ( é igal a: (A 0 (B 6 (C (D (E Ltra (C Dica: Faça ma mdança d variávl para inar os radicais, simplifiq a prssão ntão faça o it
3 sn 6 (EN O valor d 0 é sn (A (B 0 (C (D (E Basta tilizar o it fndamntal 0 sn sn sn 0 0 sn sn Já q ambos os its istm valm tmos 0 sn sn 0 sn 0 sn Ltra (C Obs: Podmos tilizar também a toria das qivalências, nst caso, tmos 0 sn, log o sn sn ( (EN (A (B (C (D cos 0 val: (E Lmbr q cos sn, logo cos sn sn sn Lmbrando o it fndamntal, obtmos 0 cos 0 Ltra (B
4 8 (EN O valor d [( l n ( ln ( ] é: (A (B (C (D 0 (E Da toria d qivalências, tmos q [( ln ( ln ( ] [( ln ( ln ( ] ln 0 0 In dt r min ação, ln ( [ ] [ 0 0 Ltra (D 9 (EN O valor d (A (B (C (D (E - Usarmos a sg int Logo Então basta calclar Acima samos a sg int 0 ln Então Ltra (E ln ( [ ln (] ] 0 ln 0 ( [ ( ( ln ( ], fazndo obtmos 0 ln ( [ ], 0, ntão do tipo divisão d inf inito por inf inito Usando L' hôpital 0 é idntidad ln qivalência ln ln ln, q stá bm dfinida já q, já q a fnção p onncial é contína
5 0 (EN (A (B (C (D (E / 0 ( sc é igal a Ltra (B Dica: Us a idntidad da 9 Qstão ln (EN Qal o valor do ( (A (B / (C 0 (D Logo 0 ( ctg Então basta calclar 0 ln ctg ln ctg ln ln 0 ctg ln tg 0 ln 0 In dt r min ação, do tipo divisão d inf inito por inf inito Usando L' hôpital 0 Ltra (B Obs: 0 ln ( ctg ln ln ctg ln ln tg, tmos q ln ln tg ln 0 ln ctg ln 0 sn 0 sn Podríamos tr sado a sgint qivalência 0 tg Logo 0 ln ctg ln 0 0 ctg ln ln 0 ln ln Então 0 ( ctg ln
6 ln (EN S ( ctg p (A 0 p (B < p 0, ntão (C < p (D < p (E < p Ltra (B (EN O valor d a q torna a fnção: f ( (A (B (C (cos a /,, s s 0 0 contína m 0 é: (D (E f é contína m 0 Então Pr cisamos 0 dvmos tr : ( cos f (0 ( cos a a ( cos Então basta calclar 0 ( cos calclar 0 ln cos In dt r min ação, do tipo divisão d zro por zro Usando L' hôpital 0 Ltra (D ln cos ln cos tg f ( f (0 0 ln cos ln cos 0 a a 0
7 s (EN O valor d a para q a fnção f ( sja contína m é a s (A (B (C (D 6 (E 6 Dvmos tr f ( f ( a a 6 Ltra (D Obs: Podríamos também tr tilizado L hôpital Conform acima a a ( ( im 0 In dt r min ação do tipo divisão d zro por zro Utilizando L' hôpital, ntão 0 a a 6
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