Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 9. Curso de Álgebra - Nível 3. Somas de Newton. Prof. Cícero Thiago / Prof. Marcelo Mendes

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1 Polos Olímpicos d Trinamnto Curso d Álgbra - Nívl 3 Prof Cícro Thiago / Prof Marclo Aula 9 Somas d Nwton Chamarmos d somas d Nwton as somas das k - ésimas potências das raízs d um polinômio Iniciarmos st matrial com alguns problmas qu srvm d motivação para a squência da toria Exmplo 1 Calcul ( 1+ ) ( ) Sja x = 1+ 5 y = 1 5 Dfina σ 1 = x+y = 1, σ 2 = x y = 1 S k = 2 2 x k +y k, k natural Tmos qu x y são raízs do polinômio quadrático P(z) = z 2 z 1 Dssa forma, x 2 x 1 = 0 (1) y 2 y 1 = 0 (2) Multipliqu (1) por x k 2 (2) por y k 2, k 2, assim Adicionando (3) (4) tmos x k x k 1 x k 2 = 0 (3) y k y k 1 y k 2 = 0 (4) x k +y k (x k 1 +y k 1 ) (x k 2 +y k 2 ) = 0 S k S k 1 S k 2 = 0 S k = S k 1 +S k 2 Portanto, S 0 = x 0 +y 0 = 1+1 = 2 S 1 = x 1 +y 1 = x+y = 1

2 S 2 = S 1 +S 0 = 3 S 3 = S 2 +S 1 = 4 S 4 = S 3 +S 2 = 7 S 5 = S 4 +S 3 = 11 S 6 = S 5 +S 4 = 18 S 6 = S 5 +S 4 = 18 S 7 = S 6 +S 5 = 29 S 8 = S 7 +S 6 = 47 S 9 = S 8 +S 7 = 76 S 10 = S 9 +S 8 = 123 Exmplo 2 Escrva S k = x k +y k m função d S k 1 = x k 1 +y k 1, S k 2 = x k 2 +y k 2, σ 1 = x+y σ 2 = x y, k 2 Sja P(z) = z 2 σ 1 z +σ 2 um polinômio cujas raízs são x y Então, x 2 σ 1 x+σ 2 = 0 (1) y 2 σ 1 y +σ 2 = 0 (2) Multiplicando (1) por x k 2 (2) por y k 2, k 2, tmos Somando (3) (4) tmos x k σ 1 x k 1 +σ 2 x k 2 = 0 (3) y k σ 1 y k 1 +σ 2 y k 2 = 0 (4) x k +y k σ 1 (x k 1 +y k 1 )+σ 2 (x k 2 +y k 2 ) = 0 S k σ 1 S k 1 +σ 2 S k 2 = 0 S k = σ 1 S k 1 σ 2 S k 2 Exmplo 3 Escrva S k = x k + y k + z k m função d S k 1 = x k 1 + y k 1 + z k 1, S k 2 = x k 2 +y k 2 +z k 2, S k 3 = x k 3 +y k 3 +z k 3, σ 1 = x+y+z, σ 2 = xy+yz+zx σ 3 = xyz, k 3 2

3 Sja P(z) = z 3 σ 1 z 2 +σ 2 z σ 3 um polinômio cujas raízs são x, y z Então, x 3 σ 1 x 2 +σ 2 x σ 3 = 0 (1) y 3 σ 1 y 2 +σ 2 y σ 3 = 0 (2) z 3 σ 1 z 2 +σ 2 z σ 3 = 0 (3) Multiplicando (1) por x k 3, (2) por y k 3 (3) por z k 3, k 3, ncontramos x k σ 1 x k 1 +σ 2 x k 2 σ 3 x k 3 = 0 (4) y k σ 1 y k 1 +σ 2 y k 2 σ 3 y k 3 = 0 (5) Somando (4), (5) (6), tmos z k σ 1 z k 1 +σ 2 z k 2 σ 3 z k 3 = 0 (6) x k +y k +z k σ 1 (x k 1 +y k 1 +z k 1 )+σ 2 (x k 2 +y k 2 +z k 2 ) σ 3 (x k 3 +y k 3 +z k 3 ) = 0 S k σ 1 S k 1 +σ 2 S k 2 σ 3 S k 3 = 0 S k = σ 1 S k 1 σ 2 S k 2 +σ 3 S k 3 Torma 1 (Nwton) Sja P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 um polinômio sjam r 1, r 2,, r n as raízs do polinômio Sja S k = r k 1 + rk rk n, k n Então, a n S k + a n 1 S k a 0 S k n = 0 Em particular, quando k = n, tmos a n S n +a n 1 S n 1 ++na 0 = 0 Dmonstração Como r 1, r 2,, r n são as raízs d P(x) ntão P(r i ) = a n r n i +a n 1r n 1 i Multiplicando cada uma das quaçõs por r k n i ++a 1 r i +a 0 = 0, i = 1,2,,n ncontramos a n r k 1 +a n 1 r k a 0 r k n 1 = 0 a n r k 2 +a n 1 r k a 0 r k n 2 = 0 a n r k n +a n 1 r k 1 n Somando todas as quaçõs ncontramos ++a 0 r k n n = 0 a n (r1 k ++rn)+a k n 1 (r1 k 1 ++rn k 1 )++a 0 (r1 k n ++rn k n ) = 0 3

4 a n S k +a n 1 S k 1 ++a 0 S k n = 0 Em particular, quando k = n, S k n = S 0 = r 0 1 +r0 2 ++r0 n = n, assim a n S n +a n 1 S n 1 + +na 0 = 0 Exrcícios Rsolvidos 1 Sjam r 1, r 2,,r 1000 as raízs d x x + 10 = 0 Dtrmin o valor d r r r Tmos qu a 1000, a 1 a 0 são os únicos coficints difrnts d 0 Então, plo torma d Nwton, S S = 0 Como o coficint d x 999 é zro tmos qu S 1 = 0 S 1000 = (Bulgária) Sjam x y númros rais qu satisfazm as quaçõs x 2 +y 2 = 2 x 3 +y 3 = 2 2 Ach o valor d x 4 +y 4 (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 4 2 () não pod sr dtrminado Sja σ 1 = x+y σ 2 = xy usando as idias do xmplo 2 tmos qu Assim S k = σ 1 S k 1 σ 2 S k 2 S 2 = σ 1 S 1 σ 2 S 0 S 2 = σ 1 σ 1 2σ 2 S 2 = σ1 2 2σ 2 Da msma forma S 3 = σ 1 S 2 σ 2 S 1 S 3 = σ 1 (σ 2 1 2σ 2) σ 2 σ 1 S 3 = σ 3 1 3σ 1 σ 2, 4

5 S 4 = σ 1 S 3 σ 2 S 2 S 4 = σ 1 (σ1 3 3σ 1 σ 2 ) σ 2 (σ1 2 2σ 2) S 4 = σ1 4 4σ2 1 σ 2 +2σ2 2 O nunciado diz qu S 2 = 2 S 3 = 2 2, assim σ1 2 2σ 2 = 2 σ 3 1 3σ 1 σ 2 = 2 2 Qurmos S 4 = x 4 + y 4 = σ1 4 4σ2 1 σ 2 + 2σ2 2, com x,y rais Por outro lado, (σ1 2 2σ 2) 2 = 2 2 σ 4 4σ1 2 σ 2 +4σ2 2 = 4 S 4 +2σ2 2 = 4 S 4 = 4 2σ2 2 Além disso, σ1 3 3σ 1 σ 2 = 2 2 σ 1 (σ 2 1 3σ 2) = 2 2 σ 2 1 (σ 2 1 3σ 2 ) 2 = (2 2) 2 (2+2σ 2 )(2 σ 2 ) 2 = 8 (1+σ 2 )(4 4σ 2 +σ 2 2) = 4 4 4σ 2 +σ σ 2 4σ 2 2 +σ3 2 = 4 σ 3 2 3σ 2 2 = 0 σ 2 = 0 ou σ 2 = 3 Finalmnt, S 4 = 4 ou S 4 = 14 Como x,y são rais tmos qu S 4 0, ou sja, S 4 = 4 3 Dtrmin todas as soluçõs rais da quação 4 1 x x = 2 Faça 4 1 x = a 4 15+x = b, assim a 4 = 1 x b 4 = 15+x Dssa forma, { a 4 + b 4 = 16 a + b = 2 S σ 1 = a + b = 2 σ 2 = a b Assim, S 4 = a 4 + b 4 = σ 4 1 4σ2 1 σ 2 + 2σ 2 2 = σ 2 +2σ 2 2 = 16 Assim, σ 2 = 0 ou σ 2 = 8 5

6 1 caso: σ 2 = 0 { a + b = 2 a b = 0 Assim, a = 0 b = 2 ou a = 2 b = 0 S a = 0 b = 2 ntão x = 1 S a = 2 b = 0 ntão x = 15 2 caso: σ 2 = 8 { a + b = 2 a b = 8 Nss caso, a b não são rais, além disso, x não é ral 4 (OBM) Sjam a, b c númros rais não nulos tais qu a + b + c = 0 Calcul os possívis valors d (a 3 +b 3 +c 3 ) 2 (a 4 +b 4 +c 4 ) (a 5 +b 5 +c 5 ) 2 Usando as idias do xmplo 3, ou sja, S k = σ 1 S k 1 σ 2 S k 2 +σ 3 S k 3, com σ 1 = a+b+c, σ 2 = ab+bc+ca σ 3 = abc Além disso, S 1 = σ 1 = 0 ntão S 2 = a 2 +b 2 +c 2 = (a+b+c) 2 2(ab+bc+ca) = σ1 2 2σ 2 = 2σ 2, S 3 = σ 1 S 2 σ 2 S 1 +σ 3 S 0 = 3σ 3, S 4 = σ 1 S 3 σ 2 S 2 +σ 3 S 1 = 2σ2, 2 S 5 = σ 1 S 4 σ 2 S 3 +σ 3 S 2 = 5σ 2 σ 3 Portanto, (a 3 +b 3 +c 3 ) 2 (a 4 +b 4 +c 4 ) (a 5 +b 5 +c 5 ) 2 = (3σ 3) 2 2σ 2 2 ( 5σ 2 σ 3 ) 2 = Sjam x,y númros rais não nulos satisfazndo x 2 + xy + y 2 = 0 Dtrmin ( ) x 2001 ( ) y x+y x+y 6

7 x Obsrv qu x+y + y x+y = 1 x y x+y x+y = xy x 2 +2xy +y 2 = xy = 1 É fácil vr xy ( ) x qu x+y y x k ( ) y k x+y são as raízs d t2 t+1 = 0 Assim, S k = + x+y x+y satisfaz { Sk+2 = S k+1 S k, k 0 S 0 = 2, S 1 = 1 A squência S k, k 0, é 2,1, 1, 2, 1,1,2,1, S k = S l para k l (mod 6) Portanto, S 2001 = S 3 = 2 Exrcícios propostos 1 Sjam r 1, r 2,, r 20 as raízs d x 20 19x+2 Dtrmin r1 20 +r r20 2 Sjam r 1, r 2,, r 20 as raízs d x 20 19x 2 +2 Dtrmin r r r Fator x 3 +y 3 +z 3 3xyz 4 Sjam x 1 x 2 as raízs do polinômio P(x) = x 2 6x +1 Prov qu x n 1 +xn 2 é um intiro não divisívl por 5 para todo intiro não ngativo n 5 Dtrmintodososvalorsda Rtaisquasraízsx 1, x 2 x 3 dx 3 6x 2 +ax+a = 0 satisfazm (x 1 3) 3 +(x 2 3) 3 +(x 3 3) 3 = 0 6 Mostr qu s a, b c R a+b+c = 0, ntão a 4 +b 4 +c 4 = 2(ab+ac+bc) 2 7 Rsolva o sistma d quaçõs x+y +z = 2, x 2 +y 2 +z 2 = 6, x 3 +y 3 +z 3 = 8 8 Sjam a, b, c númros rais não nulos tais qu a+b+c = 0 a 3 +b 3 +c 3 = a 5 +b 5 +c 5 Prov qu a 2 +b 2 +c 2 = 6 5 7

8 9 S a 3 +b 3 +c 3 = a 2 +b 2 +c 2 = a+b+c = 1, prov qu abc = 0 10 Dtrmin todas as soluçõs rais do sistma x+y +z = 1 x 3 +y 3 +z 3 +xyz = x 4 +y 4 +z Prov qu s a+b+c = 0, ntão a 7 +b 7 +c Prov qu s a+b+c = 0, ntão a 5 +b 5 +c 5 5 = a5 +b 5 +c 5 5 = a3 +b 3 +c 3 3 a2 +b 2 +c 2 2 a2 +b 2 +c Sjam x 1 x 2 as raízs do polinômio P(x) = x 2 +x+c Dtrmin o valor d c s 2x x 2 + 2x3 2 2+x 1 = 1 14 Prov qu o númro c = é uma raiz d F(x) = x x 2 1 Bibliografia 1 Equations and inqualitis - Elmntary Problms and Thorms in Algbra and Numbr Thory Jiri Hrman, Radan Kucra Jaromir Simsa 2 th Art of Problm Solving, vol 2: and Byond Richard Rusczyk Sandor Lhoczky 3 Problm - Solving Stratgis Arthur Engl 4 Tópicos d Matmática Elmntar, vol 6 - Polinômios Antonio Caminha Muniz Nto 5 Polinômios Simétricos - Rvista Eurka 25 Carlos A Goms 8