Algoritmo de integração numérica - Euler: Considerando a seguinte equação diferencial:

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Leandro Diegues Fernandes
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1 Lista B Aulas Práticas d Scilab Equaçõs difrnciais Introdução: Considr um corpo d massa m fito d um matrial cujo calor spcífico à prssão constant sja c p. Est corpo stá inicialmnt a uma tmpratura T 0, é imrso rapidamnt m um mio a uma tmpratura qu stá T o C acima d T 0 (T constant). A ára d troca d calor é A, o coficint d troca d calor é k. Sja ainda T a difrnça ntr a tmpratura do corpo a tmpratura inicial T 0. Uma variação infinitsimal dt da difrnça d tmpratura T pod sr calculada por: mc dt AkT T dt p calor trocado no intrvalo d tmpo dt. scrvndo a quação: dt dt Ak mc p ou, camando T T Ak T y C mc obtmos: y C T y p oi stablcida uma quação difrncial cuja solução é a difrnça d tmpratura T do corpo (difrnça ntr a tmpratura do corpo a tmpratura T 0 ). Esta quação é um modlo matmático do aqucimnto do corpo. Obsrv qu T = y aumnta até qu o corpo ntr m quilíbrio térmico, ou sja, até qu T = T. A variávl T é a variávl d stado stá rlacionada com a quantidad d calor acumulada no corpo d massa m. Aloritmo d intração numérica - Eulr: Considrando a suint quação difrncial: y f ( y( A solução numérica plo método d Eulr é ( é o passo d intração): y(t+)=y(t)+.f (y( No caso da quação y CT y y f ( y( CT y y(t+)=y(t)+.f (y(, obtmos:, como C é constant T = u também é constant: Aloritmo d intração numérica - un Kutta: Considrando a suint quação difrncial: y f ( y( A solução numérica plo método d un Kutta é: k =.f ( y( t) ) k =.f ( y(t)+k /, t+/) ) k 3 =.f ( y(t)+k /, t+/) ) k 4 =.f ( y(t)+k 3, t+) ) y(t+)=y(t)+(k +.k +.k 3 +k 4 )/6 No caso da quação y CT y y f ( y( CT y, obtmos: k =.f ( y( k =.f ( y(t)+k /) k 3 =.f ( y(t)+k /) k 4 =.f ( y(t)+k 3 ) y(t+) = y(t)+(k +.k +.k 3 +k 4 )/6, como T = u = constant:

2 Lista B Aulas Práticas d Scilab Exmplo : Arquivo numricoe.sc qu calcula a solução da quação difrncial abaixo, usando o método d Eulr, qu plota o ráfico d y (t) m função d t, o ráfico da solução xata y (t) m função d t. Equação difrncial ordinária linar: y( t) y( t) / (é o modlo dsnvolvido na Introdução adotando-s C = / T = ) Instant inicial: t = 0 Instant final: t f = 0 Condição inicial: y ( 0) 0 Solução analítica (xata) da quação difrncial: y ( t) Implmntação da função funcao.sci (scrvr no ditor do Scilab, salvar como funcao.sci): function [ydot]=funcao(y) ydot=(-y)/; ndfunction Implmntação do arquivo numricoe.sc (scrvr no ditor do Scilab, salvar como numricoe.sc xcutar no Scilab): // Conjunto d comandos para solucao numrica d quacao difrncial dada pla funcao funcao.sci // Apaando dados antriors: clar // Carrando a quacao difrncial: // Carru a função usando o comando Load do Scilab // Instant inicial: t()=0; // Instant final: tf=0; // Condicao inicial: y()=0; // Valor inicial da solucao xata: y()=0; // Passo d intracao (xprimnt altrar o passo): =0.5; // Calculo d numro d passos): n=round(tf/); // Intracao numrica usando o mtodo d Eulr: // Comando for: for i=:n // Vtor d tmpo: t(i+)=t(i)+; // Solucao numrica: y(i+)=y(i)+* funcao(y(i)); // Solucao xata: y(i+)=-%^(-t(i+)/); // Trmino do comando for: nd // Plotando solucao numrica y vrsus vtor d tmpo t solucao xata y vrsus vtor d tmpo t: plotd([t,t],[y,y],[- -]); // Colocando uma lnda na part infrior dirito da fiura (paramtro 4): lnds(["solucao numrica","solucao xata"],[-,-],4) // Colocando um titulo na fiura nomando os ixos: xtitl("comparacao ntr solucao numrica solucao xata","tmpo t","solucao") // Abrindo uma nova janla d raficos: st("currnt_fiur",); // Dsnando outro rafico com linas difrnts: plotd([t,t],[y,y],[ ]); // Usando a variavl do tipo 'lista': T=list("Comparacao ntr solucao numrica solucao xata","tmpo t","solucao","solucao numrica","solucao xata"); // Colocando uma lnda na part suprior squrda da fiura (paramtro ): lnds([t(4),t(5)],[,],); // Colocando um titulo na fiura nomando os ixos: xtitl(t(),t(),t(3)); t / Obsrv qu a solução xata dada por mio d uma xprssão analítica nm smpr xist ou stá disponívl.

3 Lista B Aulas Práticas d Scilab 3 Exmplo : Arquivo numrico.sc qu calcula a solução da quação difrncial abaixo, usando o método d un Kutta, qu plota o ráfico d y (t) m função d t, o ráfico da solução xata y (t) m função d t. Equação difrncial ordinária linar: y( t) y( t) / (é o modlo dsnvolvido na Introdução adotando-s C = / T = ) Instant inicial: t = 0 Instant final: t f = 0 Condição inicial: y ( 0) 0 t / Solução analítica (xata) da quação difrncial: y( t) Implmntação do arquivo numrico.sc (scrvr no ditor do Scilab, salvar como numrico.sc xcutar no Scilab): // Conjunto d comandos para solucao numrica d quacao difrncial [-y(i)]/ // Apaando dados antriors: clar // Instant inicial: t()=0; // Instant final: tf=0; // Condicao inicial: y()=0; // Valor inicial da solucao xata: y()=0; // Passo d intracao (xprimnt altrar o passo): =0.5; // Calculo d numro d passos): n=round((tf-t())/); // Intracao numrica usando o mtodo d un Kutta: // Comando for: for i=:n // Vtor d tmpo: t(i+)=t(i)+; // Solucao numrica: k=*(-(y(i)))/; k=*(-(y(i)+k/))/; k3=*(-(y(i)+k/))/; k4=*(-(y(i)+k3))/; y(i+)=y(i)+((k+*k+*k3+k4)/6); // Solucao xata: y(i+)=-%^(-t(i+)/); // Trmino do comando for: nd // Plotando solucao numrica y vrsus vtor d tmpo t solucao xata y vrsus vtor d tmpo t: plotd([t,t],[y,y],[- -]); // Colocando uma lnda na part infrior dirito da fiura (paramtro 4): lnds(["solucao numrica","solucao xata"],[-,-],4) // Colocando um titulo na fiura nomando os ixos: xtitl("comparacao ntr solucao numrica solucao xata","tmpo t","solucao") // Abrindo uma nova janla d raficos: st("currnt_fiur", ); // Aumntando a spssura das linas: xst( ticknss,) // Aumntando o tamano da font: xst( font siz,4) // Dsnando outro rafico com linas difrnts: plotd([t,t],[y,y],[ ]); // Usando a variavl do tipo 'lista': T=list("Comparacao ntr solucao numrica solucao xata","tmpo t","solucao","solucao numrica","solucao xata"); // Diminuindo a spssura das linas: xst( ticknss,) // Colocando uma lnda na part suprior squrda da fiura (paramtro ): lnds([t(4),t(5)],[,],); // Colocando um titulo na fiura nomando os ixos: xtitl(t(),t(),t(3)); // Colocando uma rad no rafico: xrid()

4 Lista B Aulas Práticas d Scilab 4 Obsrv qu, nst sundo xmplo, não dfinimos a função qu xprssa a quação difrncial ( funcao.sci ). A xprssão foi colocada dirtamnt no aloritmo d intração. Não foi ncssário, portanto, carrar uma função plo comando Load do Scilab.

5 Lista B Aulas Práticas d Scilab 5 Exrcício: Implmnt um prorama no Scilab qu rsolva numricamnt a quação difrncial qu modla o sistma abaixo, tanto plo método d Eulr como un Kutta. Q srvatório com áua Parâmtros: S = 0 m - ára da sção transvrsal (constant) = 0 8 Pa/(m 3 /s) - parâmtro qu rlaciona vazão com quda d prssão (prda d cara) = 000 k/m 3 - massa spcífica da áua G = 0 m/s - aclração da ravidad na suprfíci da trra V P S Q s Variávis: Q = 0,0047 m 3 /s - vazão d ntrada : nívl do rsrvatório [m] V: volum d áua no rsrvatório [m 3 ] P: prssão rlativa à atmosférica, no fundo do rsrvatório [Pa] Q s : vazão d saída [m 3 /s] Admit-s qu a áua sja incomprssívl. Pla quação da continuidad: dv dt Q Q s Vamos admitir qu a prda d cara na saída é modlada pla xprssão: P Q s Q s P Por outro lado, a prssão no fundo do rsrvatório é: P Volum d áua no rsrvatório: V S Substituindo: S Q V S sultando na suint quação difrrncial ordinária não linar (modlo d rsrvatório): Q S Considr uma ntrada Q constant. Dsnvolva um prorama m Scilab qu rsolva numricamnt o sistma d quaçõs difrncias qu modla o sistma com dois rsrvatórios, usando tanto Eulr como un Kutta. Dica: raciocin com vtors. Q S V V S P P Qo

6 Lista B Aulas Práticas d Scilab 5 Modlo do sistma d rsrvatórios (considr a ntrada constant prdas d cara não linars como no caso do x. d tanqu). S S Q s a a 3 Estud a lista C.

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