XXXI Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Primeira Fase

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1 XXXI Olimpíada Brasilira d Matmática GABARITO Primira Fas Soluçõs Nívl Uivrsitário Primira Fas PROBLEMA ( x) a) A drivada da fução f é f ( x) =, qu s aula apas para x =, sdo gativa para x < positiva para x >. Assim, o valor míimo d f é f () =. b) Plo rsultado do itm atrior, como >. tmos qu ( ) > f, logo ( ) >, ou sja, Itm a) [7 potos] Calcular corrtamt a drivada da fução f. [+ potos] Establcr qu a drivada s aula apas para x =. [+ poto] Provar qu x = é d fato poto d míimo absoluto por qualqur método corrto, como por xmplo aalisar o sial da drivada. (A sguda drivada sr positiva m x = idica apas míimo local, sdo cssário algum argumto adicioal, como o fato d o domíio sr toda a rta ral ão havr outros potos críticos). [+ potos] Pquos rros d cota [ poto] Itm b) [ potos] Provar qu >. [+ potos] Rsposta corrta sm dmostração [ poto] PROBLEMA Um poliômio qu satisfaz as codiçõs do uciado é p( x) = x ( z + z) x+ zz z + z =ζ + ζ + ζ + ζ + ζ + ζ = + ζ =. ζ zz = ζ + ζ + ζ + ζ + ζ + ζ + ζ + ζ + ζ = +ζ + ζ + ζ + ζ + ζ + ζ =. Logo p( x) x x p = 4. = + + Obtr uma fórmula para p(x) m fução d z z. [+ potos] Calcular z + z [+ potos] Calcular zz [+4 potos] Calcular p. [+ poto] XXXI Olimpíada Brasilira d Matmática Gabarito Primira Fas Nívl Uivrsitário

2 PROBLEMA a) Sjam A, B, C os vértics do triâgulo o stido ati-horário. Sja Q (rsp. R ) a probabilidad d, após saltos, Dõ star o vértic B (rsp. C). Tmos P =,Q = R =, para todo, P+ = ( p) R + pq (*) Q+ = ( p) P + pr R+ = ( pq ) + pp [ poto] D = max P Q, Q R, R P. Vamos provar qu, para todo, Dado atural, sja { } D max{ p, p }. D. Dado, há 6 possibilidads para a ordm dos úmros + P,Q,R.Vamos aalisar o caso P Q R (os outros 5 casos são aálogos). Nss caso, a maior distâcia D tr dois dos úmros P,Q Ré R P. D (*), obtmos: P+ Q+ = ( p)( R P) + p( Q R) max ( p)( R P ),p( R Q), { } max{ p, p }. D, pois R P Q Rtêm siais cotrários. Q+ R+ = ( p)( P Q) + p( R P) max{ ( p)( Q P ),p( R P) } max{ p, p} D, pois P Q R P têm siais cotrários. R+ P+ = ( p)( Q R) + p( P Q) = ( p)( R Q) + p( Q P) { } ( + ) = { } ( ) = { } Assim, D max{ P Q, Q R, R P } max{ p, p} D, max p, p R Q Q P max p, p R P max p, p D. = para todo dod ( { }), D max p, p,. Como P + Q + R =,, P + Q + R ( P Q) ( P R ) D P = P = + ( max{ p, p }),. Como { } [+ potos] < max p, p <, sgu imdiatamt qu lim P =, qu lim P =. b) Para p = tríamos P = quado é múltiplo d P = caso cotrário [ poto]. Por outro lado, tomado p =, tmos lim P =. Em particular, xist r tal qu k P > r, + pois <. [+ potos] P P p + é um poliômio (d grau P r + = P r+ >, xist, plo torma do valor itrmdiário, p com < p < tal qu P + ( p ) =. [+ 4 potos] Cosidrado r+ = r+ como fução d p, tmos qu Pr ( p) o máximo r + ) m p, portato dpd cotiuamt d p. Como r k + Solução altrativa para o itm a): Podmos (Como o iício da solução atrior), scrvr XXXI Olimpíada Brasilira d Matmática Gabarito Primira Fas Nívl Uivrsitário

3 P+ p p P Q+ = p p Q,. [ poto] R + p p R p Os autovalors dssa matriz são ± i. As ormas dos autovalors distitos d são iguais a p( p ) <, dod P,Q Rcovrgm a crtos úmros, qu dotarmos por x, y, z, rspctivamt. [+ potos] Dvmos tão tr: x = p z + py,y = p x + pz,z = p y + px, dod x = p z+ p p x+ pz p+ p x= p+ p z x= z y= p x+ px= x, logo x= y= z= (pois x + y + z = ). [+ poto] PROBLEMA 4 Plo pquo torma d Frmat, ( mod ), logo ( ( mod ) ) é priódico com príodo divisor d. [ poto] mod é priódico com príodo. [+ poto] Por outro lado, obviamt ( ) Portato, ( mod) + é priódico com príodo divisor d = 9. [+ potos] Plo torma chiês dos rstos, para cada a com a 9 b com b, xist um úico c( a,b ) com c( a,b) 99 tal qu c( a,b) a( mod) ca,b a + c( a,b) + b( mod ). [+ potos] c a,b b mod. Tmos Fixado a fazdo b variar, a + b prcorr todas as classs (mod ). Assim, m + m, m 99 passa vzs por cada class (mod ). Como 9 =!, ( mod ) + para!/ =! itiros positivos mors ou iguais a!. [+ potos] PROBLEMA 5 ª. Solução S x é uma raiz quarta da uidad, tmos xf ( x) = d + ax + bx + cx,x f ( x) = c + dx + ax + bx x f ( x) = b+ cx+ dx + ax, d modo qu f ( x) x xf ( x) x A = = f ( x ). x x f ( x) x x x f ( x) x Assim, o vtor,x,x,x é autovtor d A, com autovalor f(x), para x =, i,, i. dduzimos qu A possui 4 autovtors idpdts, portato, dt A é o produto dos dt A = f f i f f i. rspctivos autovalors, ou sja, ª. Solução Obsrvamos qu dt A é um poliômio do quarto grau as variávis a, b, c, d, quato f(), f(i), f ( ), f ( i) são poliômios irrdutívis distitos do primiro grau ssas msmas XXXI Olimpíada Brasilira d Matmática Gabarito Primira Fas Nívl Uivrsitário

4 variávis. Podmos ralizar opraçõs liars as lihas d A para provar qu o poliômio dt A é divisívl por f(), f(i), f ( ), f ( i). Isto fica mais rápido utilizado a msma idia da primira Solução: s x é raiz quarta da uidad, multiplicado a sguda colua por x, a trcira por x a quarta por x somado tudo isso à primira colua, obtmos f x,xf x,x f x,x f x. ( ) Assim, tmos dt A kf () f () i f f ( i ), Fazdo a = b = c = d =, obtmos dt A = = od k é uma costat a sr dtrmiada. f f i f f i =, logo k=, como quríamos dmostrar. ª. Solução Ecotrar os autovalors d A [+4 potos] ( poto para cada) Provar qu f(), f (i), f ( ), f( i) são autovalors d A [+4 potos] ( poto para cada) Cocluir a dmostração [+ potos] ª. Solução Provar qu f() f ( ) são fators d dt A [+ potos] ( poto para cada) Provar qu f(i) f ( i) são fators d dt A [+4 potos] ( potos para cada) dt A = kf f i f f i, para alguma costat k. [+ potos] Provar qu () () Cocluir a dmostração (provar qu k = ) [+ potos] Outras soluçõs Há muitas outras formas d rsolvr st problma. Soluçõs qu ão rlaciom a matriz A com as raízs quartas da uidad, como, por xmplo, calcular dirtamt dt A f f i f f i m fução d a, b, c, d, tdm a sr mais trabalhosas. Uma ttativa dst tipo só dv rcbr potuação parcial caso o rro tha ocorrido bm ao fial das cotas, m cujo caso dvm sr dscotados, o máximo, potos. Ttativas com muitos rros d cota ou com rros o iício ou o mio da solução qu compromtam sigificativamt o rsultado ão dvm rcbr potuação alguma. PROBLEMA 6 Dfia Etão f ( x) = ax = a + ax + ax ax +... = ( ) f x = aa l l x = l= = ( aa ) + ( aa + aa ) x aa aa aa... aa x... = ( + ) f x a x = + = a + a x a x XXXI Olimpíada Brasilira d Matmática Gabarito Primira Fas Nívl Uivrsitário

5 f x coicidm, xcto plo f x f x =. Logo tmos Pla codição do uciado, os coficits d f ( x) d ( ) coficit costat. Tmos portato df df = ( f + ) dx dx = f + arctg f = ( x + C) f ( x) = tg ( x + C) f = a =, cocluímos qu C =, portato Como k = ak = f tg. k = = 6 Itrprtar a squêcia a k como os coficits d Taylor d uma fução. [+ potos] Achar a quação difrcial satisfita por f(x). [+4 potos] Ecotrar f(x). [+ potos] a Calcular. [+ poto] k k = k XXXI Olimpíada Brasilira d Matmática Gabarito Primira Fas Nívl Uivrsitário