Regra dos Trapézios Composta i :

Transcrição

1 FP_Ex1: Calcul um valor aproximado do itgral I = / 0 x si( x) dx com um rro d trucatura, ão suprior, m valor absoluto a 0.01 usado: a) a rgra dos Trapézios a rgra d Simpso (composta) Rgra dos Trapézios Composta i : Para calcular a aproximação do itgral divid-s o itrvalo I m subitrvalos d igual amplitud / logo aproxima-s o itgral d m cada subitrvalo 1, pla rgra do Trapézio: I = b i f (x) dx = f ( x) = a x i= 1 x i= 1 i 1 x i x i 1 [ f ( x ) f ( x ] i i 1 Como rsultado da soma obtmos a rgra dos trapézios (composta): h I IT ( f ) = [ f + f + f + + f + f ] C , f i =(x i ), i=0,, O rro d trucatura comtido a aproximação d I dtrmiada pla rgra dos trapézios composta é dado por: T C = I ITC = h f ''( η ), η ( a, 1 1 Gladys Castillo, U.A., 010

2 Rsolução do xrcício 1.a),,/ Primiramt é prciso dtrmiar o mor úmro d subitrvalos,, m qu dvmos dividir 0, / por forma a garatir qu TC 0.01 O rro comtido a aproximação d I dtrmiada pla rgra dos trapézios composta é dado por: T C = I ITC = h f ''( η ), η ( a, 1 Substituido por 0, / / /, obtém-s: T C = f ''( η), η (0, ) Qurmos qu TC 0.01, tão T C , od = max f ''( x), x 0, O valor máximo d, , s atig m / Por aális do gráfico vmos qu é positiva m 0, / mas ão é moótoa crsct (m dcrsct). Assim, para dtrmiar o máximo é prciso dtrmiar tal qu / Logo, / Substituido a fórmula do majorat do rro absoluto d trucatura vm: T C Como tão é o úmro míimo d itrvalos qu garat qu TC Gladys Castillo, U.A., 010

3 Uma vz dtrmiado, podmos dtrmiar / / / costruir a tabla com os 1 potos,, 0, 1,,11 qu cssitamos usar a fórmula x k 0 / /11 / /11 / /11 7/ /11 9/ /11 / f k , ,810 h I ITC ( f ) = f [ f + f + f + f + f + f + f + f + f + f + f ] 11 Substituido por / plos valors da tabla, 0, 1,,11 obtmos: I I T C ( f ) = Podmos calcular m atlab o valor da aproximação obtido pla rgra dos trapézios composta usado a rotia trapzios.m (icluída as rotias d N): >> a=0; b=pi/; =11; >> f=ili('xp(x).*si(x)') as = >> trapzios (f, a, b, ) Altrativamt podmos utilizar os sguits comados m atlab: >> a=0; b=pi/; =11; >> f=ili('xp(x).*si(x)') >> h= (b-a)/ >> x=a:h:b >> y=f(x) >> itc=h/* sum([1 1].*y) Podmos também criar prviamt o vctor com os 1 coficits: cof(1)=1; cof(+1)=1; cof(:)= usá-lo a fórmula para calcular o itc itc=h/* sum(cof.*y) Também podmos calcular o máximo do valor absoluto da sguda drivada m atlab usado computação simbólica a fução fmibd qu dtrmia o valor míimo (por isso para dtrmiar o valor máximo prcisamos d multiplicar por -1): >> f=ili('xp(x)*si(x)'); a=0; b=pi/; >> syms x; >> df= diff(f(x), ) df =*xp(x)*cos(x) >> x_max = fmibd(['-1 * abs(', char(df), ')'], a, x_max = 0.78 >> = abs(subs(df, x_max)) =.1018 Gladys Castillo, U.A., 010

4 Rgra d Simpso Composta ii : Para calcular a aproximação do itgral divids o itrvalo m subitrvalos d igual amplitud / logo aproxima-s o itgral d m cada subitrvalo [x 0, x ], [x, x ],, [x -, x ], pla rgra d Simpso. Logo somado obtmos a rgra d Simpso composta. h I I + [ f + f + f f + f f ] S ( f ) = C 0 1 1,f i = (x i ), i=0,. ATENÇÃO: tm d sr par pois cssitamos d dois subitrvalos ( potos) para aproximar a fução por um poliómio d grau O rro d trucatura comtido a aproximação d dtrmiada pla rgra d Simpso composta é dado por: S C () = I I SC = h f ( η ), η ( a, 180 Rsolução do xrcício 1.,,/ Primiramt é prciso dtrmiar o mor úmro d subitrvalos,, m qu dvmos dividir, / por forma a garatir qu SC 0.01 Substituido por 0, / / / a fórmula do rro, obtéms: SC 1 = f 180 () ( η), η (0, ) Qurmos qu SC 0.01, tão Gladys Castillo, U.A., 010

5 S C , od = max f () ( x), x 0, O valor máximo d, s atig m / Por aális do gráfico vmos qu é gativa dcrsct m [0, /], plo qu é uma fução positiva crsct o valor máximo s atig m /. Substituido a fórmula do majorat do rro absoluto d trucatura vm: S C Como.18 tm d sr par tão é o úmro míimo d itrvalos qu garat qu SC Uma vz dtrmiado, podmos calcular a amplitud / 0 / /8 costruir a tabla com os potos,, 0, 1,,, qu cssitamos usar a fórmula: x k 0 /8 / /8 / f k h I I SC ( f ) = f [ f + f + f + f ] Substituido a fórmula por / plos valors f k da tabla, 0, 1,,,, obtmos: I I S C ( f ) = Gladys Castillo, U.A., 010

6 Podmos m atlab calcular o valor da aproximação obtido pla rgra d Simpso usado a rotia simpso.m d étodos Numéricos >> a=0; b=pi/; =; >> f=ili('xp(x).*si(x)') as = >> simpso (f, a, b, ) Altrativamt podmos calcular o valor da aproximação usado os sguits comados m atlab: >> a=0; b=pi/; =; >> f=ili('xp(x).*si(x)') >> h= (b-a)/ >> x=a:h:b x = >> y=f(x) y = >> isc = h/* sum([1 1].*y) Podmos também criar prviamt o vctor com os coficits: cof(1)=1; cof(+1)=1; cof(::)= %ídics pars cof(::-1)= %ídics impars usá-lo a fórmula para calcular o isc isc=h/* sum(cof.*y) Também podmos calcular o máximo do valor absoluto da quarta drivada m atlab usado computação simbólica a fução fmibd qu dtrmia o valor míimo (por isso para dtrmiar o valor máximo prcisamos d multiplicar por -1): >> f=ili('xp(x)*si(x)'); a=0; b=pi/; >> syms x; >> df= diff(f(x), ) df =(-)*xp(x)*si(x) >> x_max = fmibd(['-1 * abs(', char(df), ')'], a, x_max = >> = abs(subs(df, x_max)) = Gladys Castillo, U.A., 010

7 Sm cohcr o valor ral do itgral I podmos cocluir qu as aproximaçõs dtrmiadas são por xcsso ou por dfito? Para a aproximação I TC dtrmiada pla rgra dos trapézios T C = I ITC = h f ''( η ), η ( a, 1 Como 0 0, / TC = I - I TC < 0 I < I TC tão a aproximação I TC d I é por xcsso Para a aproximação I SC dtrmiada pla rgra d Simpso composta S C () = I I SC = h f ( η ), η ( a, 180 Como 0 0, / SC = I I SC > 0 I > I SC tão a aproximação I SC d I é por dfito 7 Gladys Castillo, U.A., 010

8 Podmos aida cofirmar os rsultados obtidos porqu sabmos calcular o valor do itgral da fução dada. Podmos calcular o valor do itgral d uma fução um itrvalo dado usado os sguits comados m atlab: >> f = ili('xp(x).*si(x)') >> syms x; >> I = doubl(it(f(x), 0, pi/)) O valor do itgral I = I TC (f) = com TC = I- I TC = I SC (f) = com SC = I- I SC = Podmos cofirmar qu para as aproximaçõs calculadas o rro d trucatura ão xcd m valor absoluto o valor da tolrâcia dada (0.01). Também podmos costatar qu ralmt a aproximação I TC d I obtida pla rgra dos trapézios é uma aproximação por xcsso quato a aproximação I SC obtida pla rgra d Simpso composta é uma aproximação por dfito. i A figura qu ilustra a rgra dos trapézios foi xtraída d 00px Trapzoidal_rul_illustratio_small.svg.pg ii A figura qu ilustra a rgra d Simpso foi xtraída d 8 Gladys Castillo, U.A., 010