TÓPICOS. Números complexos. Plano complexo. Forma polar. Fórmulas de Euler e de Moivre. Raízes de números complexos.

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1 Not m: litur dsts potmtos ão disps d modo lgum litur tt d iliogrfi pricipl d cdir Chm-s tção pr importâci do trlho pssol rlir plo luo rsolvdo os prolms prstdos iliogrfi, sm cosult prévi ds soluçõs proposts, ális comprtiv tr s sus rspost rsposts proposts, postrior xposição uto do doct d tods s dúvids ssocids. TÓPICOS Númros complxos. Plo complxo. Form polr. Fórmuls d Eulr d Moivr. Rís d úmros complxos. Fuçõs complxs d vriávl complx. AULA. Númros complxos... Númros complxos. O corpo dos úmros complxos, C, é um xtsão do corpo dos ris, qul qução x + tm solução. S é um úmro complxo, su form crtsi (lgéric, ou rctgulr) é: +, od são úmros ris (ou i ) dsig uidd imgiári Dsigmos por prt rl d por coficit d prt imgiári d, otmos R( ), Im( ). Dimos qu é um úmro imgiário puro s. S, é rl. Ddo o úmro complxo + o su cougdo é. Oprç%s com complxos Sm w dois úmros complxos, iguldd + w c + d : + c + d ss c d dição + w ( + ) + ( c + d) ( + c) + ( + d) multiplicção w ( + )( c + d) ( c d) + ( d + c) Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A - --

2 divisão S w, ( + ) ( + )( c d) ( c + d) + ( c d). w ( c + d) ( c + d)( c d) c + d Com dição multiplicção ssim dfiids, podm dmostrr-s s propridds (comuttiv, ssocitiv, tc.) qu os prmitm cocluir qu o couto dos úmros complxos, C, tl como o couto dos úmros ris, costitui um corpo. Exmplos. Ddos os complxos w +, tmos: + + w ( ) + ( + ) + w ( ) (+ ) w ( )(+ ) + w +. Podmos simplificr o complxo ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + )( ) + ( + )( ) Plo complxo. Form polr. Podmos itrprtr um úmro complxo + como um pr orddo d úmros ris (, ) rprstávis um plo crtsio xy. Figur. Dsigmos o plo d rprstção por plo complxo, plo d Argd, ou plo. O ixo dos xx é dsigdo por ixo rl o ixo dos yy é dsigdo por ixo imgiário. A cd úmro complxo corrspod um um só poto do plo, cd poto do plo corrspod um um só úmro complxo. Um úmro complxo + pod ssim sr itrprtdo como um sgmto oritdo cu origm é origm do plo complxo cu xtrmidd é o poto corrspodt o pr orddo (, ). Podmos scrvr um úmro complxo outr form, dit form polr (ou xpocil) Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A - --

3 , m qu rprst o módulo, ou vlor soluto, do complxo, θ o su rgumto. O módulo é fcilmt otido, rcorrdo à rprstção gráfic do complxo: +,ou, multiplicdo o complxo plo su cougdo ( + )( ) + Qudo o complxo stá xprsso form polr, o rcohcimto do módulo é imdito θ Quto o rgumto, rcorrdo à rprstção gráfic rg( ) rct θ, idêtico à rlção prtir d form rctgulr - Im( ) rg( ) rct rct R( ) Exmplos. A figur mostr rprstção o plo complxo dos úmros + +. O complxo ( )( + ), tdo m tção qu Figur , id qu θ rg( ) rct θ rg( + ) rct 6 (otdo qu stá o qudrt + stá o qudrt) pod sr scrito form polr 5 Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A - --

4 .. Fórmuls d Eulr d Moivr. A prtir d rprstção gráfic, ddo qu cos( θ) s( θ), podmos scrvr + (cos( θ) + s( θ)) cis( θ) dit, tmém, form trigoométric do complxo. A form triormt prstd rsult d fórmul d Eulr ± x cos( x) ± s( x), com x rl. A prtir d fórmul d Eulr otêm-s s dfiiçõs ds fuçõs so co-so: x x + cos( x) s( x) O multiplicção divisão d dois complxos é mis simpls d fctur qudo sts stão scritos form polr x x ( θ +θ) w (cos( θ +θ ) + s( θ +θ )) S w, ( θ θ) (cos( θ θ ) + s( θ θ)) w Grlido o produto, tmos, pr N, θ (cos( θ ) + s( θ)), rlção cohcid por fórmul d Moivr. Exmplo 5. Rcorrdo à fórmul d Eulr, s rlçõs trigoométrics podm sr fcilmt dmostrds. Por xmplo s cos + s cos s ( + ) ( ) + cos( ) Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A - --

5 .. Rís d úmros complxos. S C. Um úmro w di-s um -ésim ri (ou ri d ídic ) d s w, ou s, s w. Atddo à fórmul d Moivr, sdo um itiro positivo, θ + k θ + k cos + s θ + k cis ( θ+ k) com k,,,, plo qu xistm vlors difrts pr difrts rís -ésims d., ou s, Em prticulr, s soluçõs d qução, sdo um itiro positivo, são chmds s -ésims rís d uidd, sdo cis() k k cos + s k, com k,,,. Gomtricmt ls corrspodm potos do plo complxo quispçdos sor circufrêci d qução, dito o círculo uitário. Exmplos 6. Rsolvmos 6 ( + ). Pr + tmos:.5.5 / θ/ dod, + 5 θ rct (5 ) 5 θ Figur., logo 5 5 (5 θ ) 6 θ + k 6 θ + k 5 θ+ k 6, com k,,, 5. Gomtricmt tmos sis complxos sor circufrêci d módulo 5 quispçdos d como s rprst figur.. Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

6 .5. Fuçõs complxs d vriávl complx. Um plicção f, m qu s vriávis dpdt, w, idpdt,, prtcm ms um qulqur sucouto do corpo dos complxo é dit um fução complx d vriávl complx, scrvmos w f(). Pr s fuçõs complxs d vriávl complx têm lugr, idticmt o visto m Aális Mtmátic, os cocitos d: octo, imgm, domíio, cotrdomíio; fução sorctiv, ictiv ictiv; rstrição xtsão d um fução; fução ivrs, fução compost; tc.. Cso o domíio d fução s um sucouto d C o cotrdomíio um sucouto d R fução di-s um fução rl d vriávl complx. Cso o domíio d fução s um sucouto d R o cotrdomíio um sucouto d C fução di-s um fução complx d vriávl rl. Exmplos 7. A fução w f( ), com C w u + v ( x + y) ( x y ) + xy, com uvxy,,, R, é um fução complx d vriávl complx, w R. Qur o domíio qur o cotrdomíio d fução corrspodm todo o plo complxo.. A fução x w, com x R w x u + v cos( x) + s( x), é um fução complx d vriávl rl, w C. Not-s qu o cotrdomíio d fução corrspod ps, o plo complxo, à circufrêci d rio uitário, ddo x qu w. 9. A fução u, com C u x + y x + y, é um fução rl d vriávl complx, u R. + Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

7 Exrcícios... Clculr dt Tdo m tção qu cos( t) + s( t), tmos dt (cos( t) + s( t)) dt cos( tdt ) + s( tdt ) [ s( t) cos( t) ] [ (cos( t) s( t)) ] +, ou s, o cálculo ds primitivs ds fuçõs complxs d vriávl rl podmos procdr idticmt às primitivs d fuçõs ris d vriávl rl. Sdo cohcid primitiv d f () podmos fr d imdito dt.. Clculr + θ dθ Tmos + ( dθ + ) dθ [] + θ ( ) + ( ) ( ) + + Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A

8 .. Clculr ( + ) + + θ ( + ) + dθ Tmos ( ) dθ dθ + dθ ( + ) l(+ + ) ( ) () + l( ) l( + ) + l( ) l( + ).. Clculr s rís do poliómio f () + Tmos + ±.5. Clculr s rís do poliómio f () Tdo m tção qu ( θ+ k), tmos () ( ) + k k com k,,, 7. Ou s, Figur. ( + )( )( + )( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Prof. Isl Mtos & José Amrl ALGA A - --