A Função Densidade de Probabilidade

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1 Prof. Lorí Vili, Dr. Sj X um vriávl ltóri com conjunto d vlors X(S). S o conjunto d vlors for infinito não numrávl ntão vriávl é dit contínu. A Função Dnsidd d Proilidd É função qu ssoci cd X(S) um númro f() qu dv stisfzr s guints propridds: f() f()d A Distriuição d Proilidd A colção dos prs (, f()) é dnomind d distriuição d proilidd d VAC X. Emplo Sj X um VAC. Dtrmin o vlor d c pr qu f() j um função dnsidd d proilidd (fdp). c. f ()

2 Pr dtrminr o vlor d c, dvmos igulr ár totl um, isto é, dvmos fzr: - f()d - c. d - Tm-: c. d - c d - c c - c c - Rprntção Gráfic Cálculo d Proilidd,5 P( < X < ) f () d, y,5, f () -,5 -, -, -,8 -,5 -,,,,5,8,,,5 - X < X < P( < X < ) Isto é, proilidd d qu X ssum vlors ntr os númros é ár so o gráfico d f() ntr os pontos. f () d Orvçõs: S X é um VAC, ntão: P(X ) f ()d P( < X < ) P( X < ) P( < X ) P( X ).

3 Emplo Sj X um VAC. Dtrmin proilidd d X ssumir vlors no intrvlo [-,5;,5]. f () A proilidd solicitd é dd por: P(,5 < X <,5),5 -,5 d,5 d -,5 [(,5) (-,5) ],5%,5-5 Momntos S X é um VAC ntão o k-ésimo momnto d X é ddo por: o k-ésimo momnto cntrl d X é otido por: k k µ E(X ) f () d k ' k k µ E(X ) ( µ) f () d k Considrndo qu o momnto d ordm k d X é E(X k ) µ k, pod- prssr pctânci s dmis mdids m função ds rsultdo. Tm, ntão: VAC Crctrizção () Epctânci, vlor sprdo µ E(X) f () d () Vriânci σ V(X) ( µ) f ()d f ()d f ()d µ ( f ()d) E(X ) E(X) (iii) Dsvio Pdrão σ ( µ) f ()d f ()d µ (iv) O Coficint d Vrição γ σ/µ E(X ) E(X)

4 (c) Assimtri γ [µ µ µ + µ ]/σ (d) Curto γ E[(X - µ) 4 ]/σ 4 [µ 4 4µ µ + 6µ µ µ 4 ]/σ 4 - Emplo Dtrminr pctânci o dsvio pdrão d vriávl X dd por: f () µ E(X).f()d. - -.d d σ E(X ) E(X). E(X ) d d ,6 5 - O dsvio pdrão d X rá, ntão: σ E(X ) E(X),6,77 A Função d Distriuição É função F() dfinid por: F() P(X ) f (u)du A F() é intgrl d f() té um ponto gnérico. 4

5 Considrndo função io como fdp d um VAC X, dtrminr F(). Emplo f () A F() é um função dfinid m todo o intrvlo rl d guint form: F() u du < - > Vmos dtrminr o vlor d intgrl m u : Assim Função d Distriuição Acumuld (FDA) é: F() u du u du u + [u ] + F() < - > Rprntção Gráfic,,9 + F(),8,7,6,5,4,,,, -,5 -, -,5,,5,,5 Cálculo d Proilidd com FDA O uso d FDA é stnt prático no cálculo ds proilidds, pois não é ncssário intgrr, já qu l é um função Intgrl. 5

6 Usndo FDA, trmos mpr três csos possívis: P(X ) F() P(X > ) F() P( < X < ) F() F() Orvção: S X é um VAC ntão o momnto d ordm k é ddo por: E(X k ) k f()d Uniform Eponncil Norml Uniform Um VAC X é uniform no intrvlo [; ] ssum todos os vlors com igul proilidd. Isto é, f() for: f () c.c. Emplo Sj X um VAC com distriuição uniform no intrvlo [; 6], isto é, X ~ U(; 6). Então fdp é dd por: f ()

7 Rprntção Gráfic A Função d Distriuição Fdp d U(; 6),,5,,5,,5, A função F() é dd por: < F() > Emplo Sj X um uniform no intrvlo [; 6], ntão FDA d X é dd por: < F() 6 4 > 6 Rprntção Gráfic d U(; 6),,9,8,7,6,5,4,,,, Epctânci ou Vlor Esprdo E(X) +.f ()d ( ) ( ).( + ) + ( ) d Vriânci σ V(X) E(X ) E(X) E(X ) +.f ()d ( ) d 7

8 A vriânci rá ntão: σ V(X) E(X ) E(X) + ( ) + ( ) 4 ( ) Assimtri γ Curto γ -6/5 Eponncil Um vriávl ltóri T tm um distriuição ponncil su fdp for do tipo:. f (t).t t t < Emplo O tmpo d trlho m flhs d um quipmnto (m hors) é ddo pl função, io. Dtrminr proilidd d qu o quipmnto não flh durnt s primirs 5 hors., f (t) -,t t A proilidd solicitd é dd pl intgrl d função no intrvlo T < 5, isto é: P(T < 5) -,5 5,. 5 -,t, 9,5% -,t dt -,t dt,., 5,,5,,5, Rprntção gráfic E(,) E(,) E(,5)

9 A função d distriuição A função F(t) é dd por: F(t) - -t Os.: Tnt dtrminr! t t < Emplo O tmpo d trlho m flh d um quipmnto (m hors) é um ponncil d prâmtro,. Dtrmin proilidd d l funcionr m flhs por plo mnos 5 hors. Rprntção gráfic A FDA pr st fdp é dd por: F(t) - -,t A proilidd solicitd é dd por: P(T 5) F(5) - - -,5 -,.5 9,5%,,9,8,7 E(,),6,5 E(,),4, E(,5),,, Epctânci ou vlor sprdo E(T) + t.f (t)dt t. [ t ] + t dt dt Os.: Foi utilizdo intgrção por prts. Vriânci σ V(T) E(T ) E(T) E(T ) + t [ t t.f (t)dt t. ] +. dt t dt dt 9

10 Ercício A vriânci rá ntão: σ V(T) E(T ) E(T) Sj T um VAC com distriuição ponncil d prâmtro. Dtrminr o vlor mdino d distriuição. Solução: Conform visto mdin é o vlor qu divid distriuição d form qu: P(T < m) P(T > m) 5%. Tm - F(t) P(T < t) Então : P(T < m) F(m) m,5 m,5 m,5 m ln(,5) ln(,5) ln() Assim m -. Assimtri γ Curto γ 6