1 Distribuições Contínuas de Probabilidade

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1 Distribuições Contínus de Probbilidde São distribuições de vriáveis letóris contínus. Um vriável letóri contínu tom um numero infinito não numerável de vlores (intervlos de números reis), os quis podem ser ssocidos com medids num escl contínu. Exemplos:. Mede-se ltur de um mulher em um cidde. O vlor encontrdo é um número rel. Aqui tmbém sbemos que esse número não pss de 3 metros, ms é conveniente considerr qulquer numero rel positivo. 2. Em um exme físico pr selecionr um jogdor de futebol é medido o peso de cd cndidto; qui tmbém considermos que o resultdo pode ser qulquer número rel positivo. 3. Em cmpnhs preventivs de hipertensão rteril é comum de tempos em tempos medir-se o nível de colesterol. O vlor de cd medid pode ser um número rel não negtivo. 4. Pr pcientes que se presentm num hospitl primeir titude é medir-se tempertur; o vlor d tempertur é um número rel que se pode considerr compreendido entre 35 o e 42 o C. 5. Retir-se um lâmpd d linh de produção e coloc-se mesm em um soquete cendendo-; observse mesm té que se queime. O tempo de durção d lâmpd é um numero rel não negtivo. As vriáveis continus ficm completmente definids por qulquer um ds seguintes funções Função densidde de probbilidde f(x) - definid pr todo o x em que vriável está definid. Função Acumuld ou de distribuição F (x) - represent probbilidde cumuld té x F (x) P (X x) Clculo de probbiliddes em vriáveis continus P (X ) F () P ( X b) F (b) F () P (X > ) F () f(x)dx b f(x)dx P (X ) 0, pr todo o vlor de. Distribuição Uniforme Se X é um V. A. C. ssumindo qulquer vlor num intervlo (, b) pertencente R, com mesm probbilidde, diz-se que X tem distribuição uniforme. A função de densidde d distribuição uniforme é dd por f(x) { b pr x (, b) 0 pr x (, b)

2 em que: é o menor vlor ssumido por x; b é o mior vlor ssumido por x; A representção gráfic de f(x) é seguinte: A função de distribuição é dd por: Áre de um retângulo F (x) 0 se x < x b se x b se x > b A B.h (b ) A ( ) b Outr form de ver áre: A b b b dx b b x ] b dx (b ) b Relmente é um função de densidde, pois f(x) 0 e áre é igul. Exemplo. Se um VAC ssume qulquer vlor no intervlo ( 2, 3) com mesm probbilidde, distribuição uniforme tem seguinte função de densidde: f(x) { 3 ( 2) 5 pr x ( 2, 3) 0 pr x ( 2, 3) 2

3 Qul probbilidde de x estr entre 0 e 2? P (0 x 2) b.h , 4 P (0 x 2) F (2) F (0) F (2) F (0) P (0 x 2) , 4.. Prâmetros Crcterísticos d Distribuição Uniforme. Médi µ + b 2 No exemplo µ , Vriânci 2 (b )2 2 No exemplo 2 (3 ( 2)) , Desvio Pdrão b 2 No exemplo 3 ( 2) 2 5 2, 44.2 Distribuição Exponencil A distribuição exponencil está ligd à de Poisson; el nlis inversmente o experimento: um intervlo ou espço pr ocorrênci de um evento. Exemplos:. O tempo pr crregr um cminhão considerndo que em médi gst-se 5 minutos pr relizr est tref; 2. O tempo de esper em resturntes, cixs de bnco; 3. O tempo de vid de prelhos eletrônicos. A função de densidde d distribuição exponencil é dd por f(x) λe λx, x 0 em que: λ tx de flh no intervlo de tempo. 3

4 A representção gráfic de f(x) é seguinte: A função de distribuição é dd por: F (x) e λx, x 0 Exemplo: Suponh que um máquin flhe em médi um vez cd dois nos. Clcule probbilidde d máquin flhr durnte o próximo no. Tempos λ 2 0, 5, e X tempo pr flhr, temos P (X ) P (X ) F () e 0,5 0, Prâmetros Crcterísticos d Distribuição Exponencil. Médi µ λ 2. Vriânci 2 λ 2.3 Distribuição Norml A distribuição Norml corresponde mis importnte distribuição de vriáveis letóris contínus, em rzão d su enorme plicção nos mis vridos cmpos do conhecimento. Su função de densidde de probbilidde é dd por: f(x) { } exp (x µ)2 2π 2 2 2, < x < em que os prâmetros e 2 são respectivmente médi e vriânci d distribuição. A distribuição norml present seguinte proprieddes:. É simétric em relção µ; 2. O ponto máximo de f(x) ocorre em x µ. Neste ponto s três medids de posição (médi, mod e medin) se confundem; 3. A áre compreendid bixo d curv norml e cim do eixo x vle ou 00%; 4

5 A distribuição Norml com médi µ 0 e vriânci 2 é conhecid como distribuição Norml reduzid ou pdronizd. Um vriável letóri com ess distribuição gerlmente é simbolizd pel letr Z. O cálculo de probbiliddes de um distribuição Norml é feito pel integrl definid no intervlo d vriável objeto de estudo: b { } exp (x µ)2 2π dx Devido dificuldde de resolução dess integrl, procurou-se métodos lterntivos pr obtenção ds probbiliddes. Um ds forms mis utilizds é por meio de tbel de probbiliddes de um distribuição Norml pdrão (Z). Um propriedde interessnte de um vriável letóri X que segue qulquer distribuição Norml é de que el pode ser trnsformd em um vriável norml pdrão Z, por meio d expressão z x µ As áres referentes à vriável Z são gerlmente tbelds do tipo P (0 < Z < z) Exemplo: A produção diári de um fbricnte de tints é um vriável letóri X com distribuição norml com médi µ 0000glões e vriânci glões 2. A direção dess fbric quer crir um bônus de incentivo os funcionários, que será pgo se produção médi diári exceder 000glões. Qul probbilidde d empres pgr o bônus? Quero sber P (X > 000), primeiro vmos pdronizr est vriável, sendo Primeiro vmos pdronizr est vriável z x µ , 0 Assim, P (X > 000) (Z >, 0) Como tbel me fornece pens o vlor de que está entre 0 e z, então temos P (X > 000) P (Z >, 0) 0, 5 P (0 < Z <, 0) 0, 5 0, 343 0, 587 5

6 Assim probbilidde d empres pgr o bonus é de 0,587. Um membro d direção d fábric diz que se empres tiver produção médi diári entre 9000 e 9500 glões em um mês nterior, não tem como pgr o bônus mesmo que o funcionários tenh excedido os 000glões. Nesse cso qqul probbilidde não pgr o bônus. Quero sber P (9000 < x < 9500), primeiro vmos pdronizr est vriável z x µ z 2 x 2 µ , 5 Então P (9000 < x < 9500) P ( < z < 0, 5) Como n tbel tem pens vlores postivos e distribuição norml é simétric temos que P ( < z < 0, 5) P (0, 5 < z <, 0) 6

7 Utilizndo tbel temos que P (0, 5 < z <, 0) P (0 < z <, 0) P (0 < z < 0, 5) 0, 343 0, 95 0, 498 Assim, probbilidde de P (9000 < x < 9500) 0, 498 Qul probbilidde d empres produzir entre 9500 e 000 glões por di. Utilizndo s pdronizções já relizds temos que P (9000 < x < 000) P ( 0, 5 < z <, 0) Assim, P ( 0, 5 < z <, 0) P (0 < z <, 0) + P (0 < z < 0, 5) 0, , 95 0, Aproximção Norml ds Distribuições Binomil e de Poisson A distribuição norml pode ser utilizd como um proximção ds distribuições Binomil e de Poisson. Est proximção se torn cd vez melhor qundo o tmnho d mostr n cresce. Recomend-se usr proximção norml, qundo: Distribuição Binomil - se np e nq 5 Distribuição Poisson - se np 5 No uso d proximção norml deve-se lembrr que s distribuições Binomil e de Poisson são de vriáveis letóris discrets (só existe probbilidde pr vlores inteiros). Nestes csos recomend-se utilizr correção de continuidde x 0, 5 e x + 0, 5. Exemplo: Sbe-se que o poder germintivo ds sementes de um cert vriedde de milho é de 30%. Semendo 30 dests sementes, qul probbilidde de germinr mis de cinco semente. Temos n 30 e p 0, 30 e q 0, 7 A médi µ np 30 0, 30 9 e vriânci 2 npq 00 0, 30 0, 70 6, 3 Queremos P (X > 5), utilizndo correção de continuidde P (X > 5, 5). Vmos pdronizr z x µ 5, 5 9 6, 3, 39 7

8 Assim, P (X > 5, 5) P (Z >, 39) 0, 5 + P (0 < Z <, 39) 0, 5 + 0, 477 0, 977 Exemplo: Num lâmin verificou-se que existim em médi 27,6 bctéris/cm2. Qul probbilidde de se encontrr mis de 35 bctéris por centímetro qudrdo? Temos λ 27, 6 Queremos P (X > 35), utilizndo correção de continuidde P (X > 35, 5). Vmos pdronizr z x µ 35, 5 27, 6 27, 6, 50 Assim, P (X > 35, 5) P (Z >, 50) 0, 5 P (0 < Z <, 50) 0, 5 0, ,

9 Tbel : Distribuição Norml - probbilidde do vlor de z pdronizdo estr entre 0 e o vlor tbuldo ns mrgens z 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,020 0,060 0,099 0,0239 0,0279 0,039 0,0359 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0,057 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,074 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,087 0,090 0,0948 0,0987 0,026 0,064 0,03 0,4 0,3 0,79 0,27 0,255 0,293 0,33 0,368 0,406 0,443 0,480 0,57 0,4 0,554 0,59 0,628 0,664 0,700 0,736 0,772 0,808 0,844 0,879 0,5 0,95 0,950 0,985 0,209 0,2054 0,2088 0,223 0,257 0,290 0,2224 0,6 0,2257 0,229 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,257 0,2549 0,7 0,2580 0,26 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,288 0,290 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,305 0,3078 0,306 0,333 0,9 0,359 0,386 0,322 0,3238 0,3264 0,3289 0,335 0,3340 0,3365 0,3389,0 0,343 0,3438 0,346 0,3485 0,3508 0,353 0,3554 0,3577 0,3599 0,362, 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,380 0,3830,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,405,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,45 0,43 0,447 0,462 0,477,4 0,492 0,4207 0,4222 0,4236 0,425 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,439,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,448 0,4429 0,444,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,455 0,4525 0,4535 0,4545,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,459 0,4599 0,4608 0,466 0,4625 0,4633,8 0,464 0,4649 0,4656 0,4664 0,467 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706,9 0,473 0,479 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,476 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,482 0,487 2, 0,482 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,486 0,4864 0,4868 0,487 0,4875 0,4878 0,488 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,490 0,4904 0,4906 0,4909 0,49 0,493 0,496 2,4 0,498 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,493 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,494 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,495 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,496 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,497 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,498 2,9 0,498 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3, 0,4990 0,499 0,499 0,499 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 9