Inferência Estatística Aula 1

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1 Inferênci Esttístic Aul 1 Agosto de 2008 Mônic Brros mbrros.com 1 Conteúdo Revisão de Probbilidde Vriáveis Aletóris - Definições Vriáveis Discrets e Contínus Função de Probbilidde Vriável Aletóri Geométric Função Densidde de Probbilidde Distribuição Uniforme Função de Distribuição (ou Função de Distribuição Acumuld) Relção entre densidde e função de distribuição Densidde Exponencil mbrros.com 2 Vriáveis Aletóris Muits vezes o espço mostrl não é um conjunto de vlores numéricos. Por exemplo, se jogmos um moed 3 vezes, o espço mostrl é S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }, onde cd resultdo tem mesm probbilidde, e T indic coro, H indic cr. Sej S o espço mostrl e X um função que "peg" elementos deste espço (resultdos d experiênci) e os lev num subconjunto dos números reis. Est função X é chmd de vriável vel letóri ri. Atenção: usremos qui X (miúscul) pr denotr vriável vel letóri e x (minúscul) pr indicr um vlor específico d vriável vel,, isto é,, um número. n mbrros.com 3 Vriáveis Aletóris S espço mostrl X mbrros.com 4 χ espço d vriável letóri Sej X um vriável letóri definid num espço mostrl S e sej ℵ o espço de X. Sej A um subconjunto de ℵ e S um subconjunto de S (espço mostrl).

2 Vriáveis Aletóris Vriável Aletóri Discret Já definimos probbilidde de um evento S S (espço mostrl), e gor gostrímos de estender est definição e flr d probbilidde de um evento A ℵ. O nosso objetivo gor é definir probbiliddes prtir de vlores possíveis d vriável letóri, sem referênci explícit os pontos do espço mostrl que derm origem queles vlores d vriável letóri. Como definir Pr (X A)? A mneir mis nturl de fzer isso é ssocir probbilidde do evento X A à probbilidde do evento S no espço mostrl S. mbrros.com 5 Not: freqüentemente iremos brevir vriável letóri por v.. Vriável letóri discret pode ssumir pens vlores num conjunto finito ou contável, por exemplo, número inteiros ou inteiros positivos. s Número de expectdores em um sessão de cinem, Resultdo do lnçmento de um ddo, Número de ligções recebids por um centrl de telemrketing num intervlo de tempo especificdo, número de ssltos num esquin. mbrros.com 6 Função de Probbilidde É um função que ssoci cd possível vlor de um vriável letóri discret su probbilidde de ocorrênci. A função de probbilidde deve stisfzer: Pr( X = x) = 0 prtodo x Pr( X = x) = = 1 todo x todo x Tmbém, probbilidde de qulquer subconjunto A de vlores d v.. é pens o somtório de f(x) pr os vlores d v.. contidos em A. mbrros.com 7 Vriável Aletóri Discret - Sej X um vriável letóri discret com espço ℵ = {X: x = 0,1,2,3,4}. Sej 4 1 4! = Pr( X = x) =. = x 2 x! Note que f(x) é um função de probbilidde, pois: i) f (x) 0 pr todo x ℵ, isto é, x = 0, 1, 2, 3, 4 Tmbém: ii) f( x) 4 = 4 ℵ x= x( x) 4 4! 1 = = ! 4! 2 x= 0 2 x! ( 4 x)! 2 4! 3! 22!( )! 3! 4! = + + = = = 1 4 ( 4 x)! 1 16 x = 0,1,2,3,4 mbrros.com 8

3 Vriável Aletóri Discret - Sej A = {0,1}. Então: Pr (X A) = f (0) + f (1) = Pr(X=0) + Pr(X=1)= 4 4 4! 1 = + 4! = 5!!!! 16 Veremos depois que este é um cso prticulr d função de probbilidde Binomil, com prâmetros n = 4 e p = 1/2. Vriável Aletóri Discret- Um fábric produz fusíveis. A probbilidde de um fusível produzido ser defeituoso é 10%. Testse fusíveis encerrndo o teste ssim que o primeiro fusível defeituoso é encontrdo. Sej X o número de testes relizdos té encontrr o primeiro fusível defeituoso. Ache função de probbilidde de X. mbrros.com 9 mbrros.com 10 Vriável Aletóri Discret - Solução O espço mostrl é constituído por seqüêncis como: D BD BBD BBBD BBBBD... Onde B indic que o fusível está perfeito, e D indic que o fusível tem defeito. mbrros.com 11 Vriável Aletóri Discret - Logo, os vlores possíveis de X são: 1, 2,..., n,... (não há um vlor máximo). Ms, X = n se, e somente se, os (n-1) primeiros fusíveis testdos estão OK e o n-ésimo tem defeito. Isto é, X = n corresponde à seqüênci: BBBBB...BD, que tem n-1 fusíveis OK e 1 com defeito. Se o estdo de um fusível não fetr condição do próximo podemos supor que: f(n) = Pr(X = n) = (0.9) n-1.(0.1) pr n = 1, 2,... mbrros.com 12

4 Vriável Aletóri Discret - Note que f(n) > 0 pr todo n e tmbém: n 1 n 1 f( n) (0.9).(0.1) 0.1 (0.9) 0.1 ( 0.9) = = = = n= 1 n= 1 n= 1 k= = 0.1{ (0.9) +...} = 0.1 = Logo, f(n) = Pr(X = n) ssim definid é um função de probbilidde válid. Veremos mis trde que vriável X que surge neste exemplo é chmd de v.. Geométric. mbrros.com 13 k Vriável Aletóri Discret - Not: Neste exemplo empregmos série geométric pr demonstrr que o somtório ds probbiliddes pr todos os vlores de X er um. A série geométric é: k = = desde que < 1 k = 0 1 Alterntivmente, se começrmos série em k=1: k = = k= 1 k= 0 1 = 1 = -1= desde que < k mbrros.com 14 Vriável Aletóri Geométric O exemplo nterior é típico d experiênci que cri um vriável Geométric. Suponh gor, pr generlizr, que p (entre 0 e 1) é probbilidde de um item defeituoso. A experiênci é repetid um número indefinido de vezes (X), té que o 1o. Sucesso (1. Peç defeituos) sej observd. Então função de probbilidde de X é: Vriável Aletóri Geométric A função de probbilidde de X é f(n) = Pr(X = n) dd por: n ( ) = ( = ) = ( ) 1 f n Pr X n 1 p p onde n = 1, 2, 3,... X mede o número de tenttivs (repetições) necessáris té obter o 1o. sucesso. mbrros.com 15 mbrros.com 16

5 Vriável Aletóri Contínu nu Se um vriável puder ssumir qulquer vlor num intervlo rel, é um vriável letóri contínu. s Tempo de tendimento em um cix de bnco, Peso rel de um pcote de 1 Kg de çúcr, Custo de construção de um fábric, Custo de lnçmento de um cmpnh publicitári, Altur dos homens brsileiros com iddes entre 18 e 30 nos, Retorno diário de um ção, Proporção de eleitores fvor d reeleição do prefeito. mbrros.com 17 Vriável Aletóri Contínu nu Como já foi dito, vriáveis letóris contínus são quels que podem ssumir quisquer vlores dentro de um intervlo. Pr vriáveis letóris discrets, nós podímos tribuir um probbilidde um determindo vlor d vriável. Pr vriáveis letóris contínus situção é bem diferente. Como um vriável contínu pode ssumir qulquer vlor em um intervlo, n relidde el pode ssumir infinitos vlores. mbrros.com 18 Vriável Aletóri Contínu nu Portnto, não podemos flr d probbilidde de ocorrênci de um vlor em prticulr. Ao invés disso, devemos pensr n probbilidde de ocorrênci ssocid um intervlo. N discussão nterior sobre distribuições discrets de probbiliddes introduzimos o conceito de função de probbilidde (f(x)). No cso contínuo, nuo, utilizremos função densidde de probbilidde, tmbém m representd por f(x). Vriável Aletóri Contínu nu Nesse cso, função densidde de probbilidde fornece um vlor pr cd possível vlor (infinitos) d vriável X. No entnto, os vlores de f(x) não representm s probbiliddes ssocids x. Ao invés disso, áre (isto é, integrl!) sob função de densidde de probbilidde em um determindo intervlo fornece probbilidde de ocorrênci de um vlor dentro desse intervlo. mbrros.com 19 mbrros.com 20

6 Função Densidde de Probbilidde É um função que stisfz: 0 pr todo x P dx = 1 ( < X < b) = P( X b) = D definição de densidde, segue que, pr um v.. contínu, probbilidde de um único ponto é zero, isto é: P(X = ) = 0 pr qulquer número. b dx mbrros.com 21 Distribuições contínus nus de probbilidde - exemplo Sej X um vriável letóri contínu com espço ℵ = {x: 0 < x < 1}. Sej f(x) = cx 2 pr todo x ℵ, onde c é um constnte determinr. Qul o vlor de c? Solução cx cx dx = c = = 1 c = Logo c = 3 é constnte necessári pr fzer de f(x) um densidde em ℵ, isto é, pr fzer com que densidde integre um no intervlo (0,1). mbrros.com 22 Distribuição Uniforme A probbilidde de ocorrênci em dois intervlos quisquer de mesmo tmnho é mesm função de densidde de probbilidde é um ret prlel o eixo horizontl. Se considerrmos os limites de ocorrênci de x como sendo e b ( < b) devemos ter necessrimente f(x) = 1/(b ) pr que integrl d densidde sej 1. Distribuição Uniforme Um vôo d ponte ére RJ-SP lev entre 40 e 50 minutos, com igul probbilidde de ocorrênci dentro desse intervlo A distribuição é Uniforme no intervlo (40, 50) f(x) = 1/(50 40) pr x no intervlo (40,50) e zero for desse intervlo 0,1 f(x) x mbrros.com 23 mbrros.com 24

7 Distribuição Uniforme Qul probbilidde de um vôo durr mis de 48 minutos? Pr( X > 48) = dx = Qul probbilidde de um vôo durr entre 43 e 45 minutos? Pr( 43 < X < 45) = dx = Um crcterístic importnte d densidde Uniforme é: dois subintervlos de comprimento l que estão totlmente dentro de (, b) têm mesm probbilidde. Isso não ocorre em gerl, no cso de outrs densiddes. Distribuição Uniforme (pr cs) O retorno de um plicção finnceir de risco num intervlo de um semn é um vriável com distribuição Uniforme no intervlo 2% 1.8%. Clcule: A probbilidde do retorno do investimento nest semn ser positivo. A probbilidde do retorno estr entre 1% e +1%. A probbilidde do retorno exceder 0.5%. mbrros.com 25 mbrros.com 26 Distribuição Uniforme Gerção de v.. Uniformes no Excel (É necessári instlção prévi do suplemento Análise de Ddos ) Distribuição Uniforme Gerção de v.. Uniformes no Excel Número de vriáveis gerds (um, neste cso) Intervlo de definição, neste cso, densidde Unif(0,2) mbrros.com 27 Número de vlores gerdos (1000 neste cso) Célul inicil de rmzenmento dos ddos neste cso os números gerdos irão preencher colun A, prtir d célul A1 mbrros.com 28

8 Função de Distribuição Pr cd vlor x 0 d vriável letóri, Função de Distribuição (ou Função de Distribuição Acumuld, ou Função de Distribuição Cumultiv) é probbilidde de estr nquele vlor, ou bixo dele, isto é: F(x 0 ) = Pr( X x 0 ) pr todo x 0 Note que, como F(x 0 ) é um probbilidde, el está limitd o intervlo (0,1). Um ponto importnte qui é: definição de Função de Distribuição é mesm pr vriáveis veis contínus nus ou discrets. mbrros.com 29 Função de Distribuição Algums funções de distribuição são tbelds, por exemplo, d distribuição Norml (0,1). O Excel normlmente fornece opção de clculr função de probbilidde (ou densidde) ou função de distribuição cumuld, trvés de um rgumento lógico ns sus diverss funções esttístics por exemplo, vide o help d função dist.binom. mbrros.com 30 Função de Distribuição Proprieddes d Função de Distribuição i) 0 F (x) 1 pois 0 Pr (X x) 1 ii) F(x) é um função não decrescente lim F(x) iii) = 1 x + lim F(x) iv) = 0 x Função de Distribuição Proprieddes d Função de Distribuição v) Se X é um vriável letóri contínu, su função de distribuição é contínu. Se X é discret, F(x) é um função contínu à direit, isto é, função de distribuição present "pulos" (descontinuiddes) que só são "sentidos" qundo nos proximmos do ponto onde existe o "pulo" pel esquerd. mbrros.com 31 mbrros.com 32

9 Função de Distribuição - Sej X um vriável letóri com função de distribuição definid por: 0 se x 0 F( x) = x 1- e se x > 0 O gráfico dest função de distribuição é mostrdo seguir. F( x) 0 0 x mbrros.com 33 5 Função de Distribuição 2 Considere um vriável discret com seguinte função de probbilidde: 4! 1 = Pr( X = x) = pr x = 0,1,2,3,4 x! ( 4 x)! 2 A função de distribuição é: F( x) = Pr 3 = 2 x k = 0 ( X x) x! 1 ( 4 x)! = x k = 0 4! x! 4 1 = ( ) 4 x! 2 2 x! ( 4 x)! pr x = 0,1,2,3,4 4 x k = 0 3 mbrros.com 34 1 Função de Distribuição 2 Assim: F (0) = 1/16 = = Pr (X 0) = Pr (X = 0) F (1) = 5/16 = = Pr (X 1) = Pr (X = 0) + Pr (X = 1) F (2) = 11/16 = = Pr (X 2) = Pr (X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) F (3) = 15/16 = F (4) = 1 Tmbém F(x) = 0 se x < 0 e F(x) = 1 se x > 4 mbrros.com 35 Relção entre densidde e função de distribuição Sej X um v.. contínu com densidde f(x) e função de distribuição cumuld F(x). Então: Ms: Pr( < X < b) = dx F( ) = Pr( X ) = F( b) = Pr( X b) = b b dx dx mbrros.com 36 e

10 Relção entre densidde e função de distribuição Então: b Pr( X b) = dx = F( b) F( ) Pelo teorem fundmentl do cálculo: df( x) = dx Logo, densidde é derivd d função de distribuição ão. Distribuição Uniforme (pr cs) Se X tem densidde Unif(,b), mostre que su função de distribuição cumuld é: F 0 se x < x b 1 se x > b ( x) = se x [, b] mbrros.com 37 mbrros.com 38 Densidde Exponencil Serve pr: Modelr tempos de durção de equipmentos; Modelr tempos entre chegds de crros num pedágio, entre chegd de pessos num cix de bnco, ou sej, tempo entre ocorrêncis. Outros exemplos de vriáveis Exponenciis Tempo entre beeps num contdor Geiger Distânci entre mutãções num pedço de DNA Tempo que um cix demor pr tender um cliente num bnco, loj ou cll center Densidde Exponencil Densidde Função de Distribuição ( λ. x) onde λ > 0 e 0 = λ.exp x F( x) = Pr x ( X x) = λ.exp( λ. u) 0 du = e λ. u x = 1 e 0 Dí segue que Pr(X > x) = 1-F(x) = exp(-λ.x) λ. x mbrros.com 39 mbrros.com 40

11 Densidde Exponencil Gráfico densidde Exponencil com λ = ( 2. x) onde 0 = 2.exp x Densidde f(x) = 2.exp(-2.x) Densidde Exponencil O gráfico seguir present função de distribuição de um v.. Exponencil com prâmetro λ = 2, isto é, função de distribuição ssocid à densidde d págin nterior. F(x) 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0, mbrros.com 41 0,30 0,20 0,10 0,00 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 mbrros.com 42 Densidde Exponencil O tempo entre s chegds de táxi num cruzmento é um vriável Exponencil com λ = 1/10 chegds por minutos. Clcule: ) A probbilidde de lguém ter que esperr mis de 60 minutos por um táxi. b) A probbilidde de um táxi demorr menos de 10 minutos pr pssr. Densidde Exponencil Solução Sej T o tempo entre chegds de um táxi, isto é, o tempo que você terá que esperr por um táxi nest esquin. T é um vriável Exponencil com λ = 1/10. Pr um vriável Exponencil, função de distribuição é F(t) = Pr(T t) = 1 exp(- λ.t) e tmbém Pr(T > t) = 1 F(t) = exp(- λ.t). Logo: ) Pr(T > 60) = exp(-60/10) = exp(-6) = b) Pr(T < 10) = 1 exp(-10/10) = 1 exp(-1) = mbrros.com 43 mbrros.com 44

12 Densidde Exponencil (pr cs) O tempo té ocorrênci de um defeito (isto é, o tempo de durção) num TV é um vriável Exponencil com prâmetro λ = 1/3 nos. Clcule probbilidde de um TV pifr nos primeiros 2 nos de uso. Clcule probbilidde de um TV durr mis de 5 nos. Clcule probbilidde de um TV durr entre 3 e 5 nos. Vriável Exponencil - simulção O próximo exemplo present gerção de vriáveis Exponenciis com prâmetro 1 prtir de um mostr do mesmo tmnho d Uniforme(0,1). Neste exemplo usmos o suplemento Análise de ddos do Excel, que permite gerção de v.. e construção dos histogrms indicdos. mbrros.com 45 mbrros.com 46 Vriável Exponencil - simulção - Simulção A miori ds lingugens de progrmção tem um gerdor de vriáveis Uniforme (0,1) embutido. Vriável Exponencil - simulção Suponh que germos um mostr letóri de observções d densidde Unif(0,1) no Excel, como mostrdo ns próxims figurs. Ms, é conveniente ser cpz de gerr vriáveis com outrs densiddes. Pode-se mostrr (e fremos isso eventulmente) que, se U ~ Unif(0,1) então: 1 Y =. log( U ) λ tem densidde Exponencil com prâmetro λ. mbrros.com 47 mbrros.com 48

13 Vriável Exponencil - simulção Vriável Exponencil - simulção O histogrm ds observções gerds é: Histogrm observções d Unif(0,1) Freqüênci mbrros.com More mbrros.com 50 Vriável Exponencil - simulção Vriável Exponencil - simulção Agor crimos um nov colun de observções usndo trnsformção Y = - log (U) onde U é um vlor gerdo d distribuição Unif(0,1) Histogrm (Vriável Exponencil) O histogrm d nov mostr deve ter um comportmento decrescente, que se preç com um densidde Exponencil com médi 1. Este histogrm é mostrdo n próxim figur. mbrros.com 51 Freqüênci More mbrros.com 52

14 Vriável Exponencil - simulção Not: O Excel não tem um gerdor de vriáveis Exponenciis. O procedimento que você deve usr pr simulá-ls é pens um extensão do método mostrdo neste exemplo. Pr gerr um vriável X com densidde: = λ.exp( λ. x) onde λ > 0 e x 0 Fç X = (-1/λ). Log(U) onde U é um v.. Uniforme(0,1). mbrros.com 53