Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

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1 MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função não-negtiv, sobre um certo intervlo, é áre d região limitd pelo gráfico d função e pelo eio O. y A f b f() d = A. b Vmos considerr um eemplo específico. O gráfico d função f() =, definid no intervlo [, ], é o semicírculo centrdo n origem. Além disso, áre do círculo de rio r é r. Portnto, podemos concluir que y y = d =. Muito bem! Agor, questão é: como efetur este cálculo, confirmndo iguldde cim? 63 CEDERJ

2 Este problem será resolvido usndo técnic de integrção chmd de substituição trigonométric. Esse nome se deve usrmos identiddes trigonométrics, como cos θ + sen θ =, pr colocr sen θ no lugr d vriável, tornndo o rdicl em cos θ : = sen θ = cos θ. A idéi é substituir um epressão complicd por um simples. Vmos um eemplo. Eemplo. Clcule d. Fzendo = sen θ, temos = cos θ e d = cos θ dθ. Assim, d = cos θ cos θ dθ = cos θ dθ = = θ + sen θ cos θ + C. Lembre-se de que função f : [, ] [ /, /], definid por f() = rcsen, é função invers de g : [ /, /] [, ], definid por g() = sen. Est função é diferenciável no intervlo (, ) e (rcsen ) =. No entnto, respost deve ser dd em termos d vriável originl. Lembrmos que, se = sen θ, então θ = rcsen. Assim, d = rcsen + + C. Eercício. Clcule derivd d função Lembre-se de que { = se e = F () = rcsen +, confirmndo que el é um primitiv d função f() =. Ótimo! Você viu como técnic funcion e como função y = rcsen foi útil. No entnto, há dus coiss no eemplo. que precismos esclrecer. se <.. Pr substituirmos sen θ = cos θ por cos θ, precismos estr certos de que cos θ não ssume vlores negtivos.. A respost finl deve ser dd em termos d vriável originl. CEDERJ 64 Qunto o primeiro item, devido os domínios ds funções usds, cos θ. Relmente, o domínio d função y = é o intervlo [, ]. Assim, escolh = sen θ é perfeitmente dequd se tomrmos θ [, ]. Nesse cso, cos θ. Vej os gráficos ns figurs seguir.

3 MÓDULO - AULA y y = sen θ y y = cos θ - - Qunto escrever respost em termos d vriável originl, usmos função invers de = sen θ, θ [, ] e [, ], dd por θ = rcsen, lém do seguinte digrm, que torn mis fácil escrever s outrs epressões usds. = sen θ ) θ cos θ = Como hipotenus do triângulo retângulo é igul, o cteto oposto o ângulo θ é = sen θ e o cteto djcente é cos θ =. A iguldde d = Vmos gor confirmr iguldde n introdução d ul. Relmente, se θ [, ], d =, observd função y = sen θ é estritmente crescente, portnto, bijetor sobre o intervlo [, ]. Logo, podemos usr mudnç de vriável com os seguintes limites de integrção: d = = / / cos θ dθ = ( θ sen θ cos θ ) / / =. 65 CEDERJ

4 Os três csos típicos Agor que você tem um idéi gerl d técnic, presentremos os csos mis comuns, eemplificndo cd um deles. Cso Cso o integrndo tenh o rdicl, com >, e substituição { simples u = não resolver, podemos usr substituição = sen θ d = cos θ dθ, onde θ [, ] e [, ]. Nesss condições, θ = rcsen = sen θ, ) θ = cos θ. Eemplo. Clcule d. 4 Nesse cso, fzemos = sen θ, d = cos θ dθ e 4 = cos θ. Assim, ( sen θ) d = cos θ dθ = 4 cos θ ( = 4 sen θ dθ = 4 ) cos θ dθ = = θ sen θ + C = θ sen θ cos θ + C ( ) = rcsen 4 + C. Observe que precismos reescrever função y = sen θ como y = sen θ cos θ pr dr respost em termos de, um vez que = sen θ e 4 = cos θ. Eercício. Clcule integrl definid 3/ (9 ) 3 d. CEDERJ 66

5 MÓDULO - AULA Cso + Cso o integrndo tenh o rdicl +, com >, e substituição simples u = + { não resolver, você pode fzer seguinte substituição = tg θ trigonométric: d = sec θ dθ, onde < θ < e R. Observe que gor usmos identidde trigonométric sec θ = + tg θ pr obter sec θ no lugr do rdicl +. Relmente, + = + ( tg θ) = + tg θ = sec θ. Note tmbém que o domínio d função y = + é todo o conjunto dos números reis, e função = tg θ, restrit o intervlo berto (, ), é um função bijetor sobre todo o conjunto dos números reis. Su função invers, função θ = rctg, está definid pr todo rel. Ness condições, + θ = rctg = tg θ, )θ + = sec θ. Eemplo.3 Clcule + 6 d. Primeiro clculremos integrl indefinid + 6 d. + 6 d = Fzendo substituição trigonométric = 4 tg θ, d = 4 sec θ dθ e + 6 = 4 sec θ, temos: (4 sec θ)(4 sec θ) dθ = 6 sec 3 θ dθ = = 8 sec θ tg θ + 8 ln sec θ + tg θ + C = ln + + C = = ln C. Lembre-se que pr quisquer e b positivos, ln b = ln ln b. Ess 67 CEDERJ

6 propriedde d função logritmo permite escrever + 6 ln = ln = ln ln 4 e, portnto, C = C + ln 4. Podemos, gor, clculr integrl definid: + 6 d = ln = + 8 ln( + ) 8 ln 4 = = ( + 5 ) ln. Tente usr est técnic no seguinte eercício. Eercício 3. Clcule + 9 d. = Cso Agor cuidremos do último cso. Se o integrndo tiver o rdicl, com >, e substituição simples u = não puder ser usd, podemos utilizr, novmente, identidde trigonométric sec θ = +tg θ, usd no cso nterior, pr trnsformr o integrndo em lgo mis simples No entnto, qui precisremos ter um cuiddo especil, pois o domínio d função y =, determindo pel condição, é união disjunt de dus semi-rets disjunts: (, ] [, ). Assim, se colocrmos = sec θ, = sec θ = (sec θ ) = tg θ. Vej bem, função y = tg θ ssume vlores negtivos, por eemplo, se < θ. Vmos considerr, então,. Assim, podemos colocr = sec θ, d = sec θ tg θ e obter = sec θ = tg θ. CEDERJ 68

7 MÓDULO - AULA Pr epressr respost em termos d vriável, em lgums situções poderá ser necessário usr função invers d função y = sec θ. Lembre-se de que função θ = rcsec está definid pr (, ] [, ), tendo como imgem união disjunt [ ) (,, ]. Aqui estão os gráficos ds funções = sec θ, restrit o domínio [ ) (,, ], e su invers: = sec θ θ θ = rcsec θ Vej, tmbém, o resumo ds informções necessáris pr este tipo de substituição: θ = rcsec = sec θ, )θ = tg θ. Vmos usr esss informções pr resolver o eemplo seguinte. Eemplo.4 Clcule d, onde > 4. 6 Fremos substituição = 4 sec θ, que crret em 6 = 4 tg θ e d = 4 sec θ tg θ dθ. Portnto, 6 sec 6 d = θ 4 sec θ tg θ dθ = 6 sec 3 θ dθ = 4 tg θ ( ) = 6 sec θ tg θ + ln sec θ + tg θ + C. Agor, precismos escrever respost usndo vriável. Vej que 6 sec θ tg θ = 4 sec θ 4 tg θ = 6. Pr o restnte d respost, 69 CEDERJ

8 usmos o seguinte: reescrevendo C como 8 ln 4 + C, podemos fzer: 8 ln sec θ + tg θ + C = 8 ln sec θ + tg θ + 8 ln 4 + C = = 8 ln 4 sec θ + 4 tg θ + C. Com isso, fic mis fácil escrever respost finl: 6 d = (4 sec θ 4 tg θ) + 8 ln sec θ + tg θ + C = = (4 sec θ 4 tg θ) + 8 ln 4 sec θ + 4 tg θ + C = = ln( + 6 ) + C. Você deve ter notdo que substituição trigonométric resultou num integrl do tipo secnte o cubo, que demnd um fórmul de redução, prendid n ul nteiror. Isso signific que, pós substituição trigonométric, nos livrmos dos eventuis rdicis, ms gnhmos, no lugr deles, integris que envolvem funções trigonométrics. Um técnic serviço d outr. Resumo Mis um vez, muits fórmuls são necessáris. Aqui está um resumo ds informções necessáris pr plicr técnic de substituição trigonométric. Você poderá usá-l pr resolver os eercícios que serão presentdos posteriormente. () (b) (c) Substituição Rdicl Domínio = sen θ = cos θ d = cos θ dθ / θ / = tg θ + = sec θ R d = sec θ dθ / < θ < / = sec θ = tg θ d = cos θ dθ θ < / CEDERJ 7

9 MÓDULO - AULA + ) θ θ ) () = sen θ (b) = tg θ ) θ (c) = sec θ Eercícios Vmos começr presentndo s soluções dos eercícios deidos o longo d ul. Eercício. Clcule derivd d função F () = rcsen +, confirmndo que el é um primitiv d função f() =. Solução: Lembre-se de que (rcsen ) =. Assim, F () = + = ( = ( + ( ) ) ( + + ) = = ( ) = ) ( ) = =. Eercício. Clcule integrl definid 3 (9 ) 3 d. 7 CEDERJ

10 Solução: Note que (9 ) 3 = (9 ) 9. Vmos, portnto, fzer substituição = 3 sen θ, que crret 9 = 3 cos θ, 9 = 9 cos θ e d = 3 cos θ dθ. Além disso, como sen ( ) =, 6 3/ θ 6. Portnto, 3 (9 ) 3 d = 6 7 cos 3 θ 3 cos θ dθ = 8 6 cos 4 θ dθ Pr clculr est últim integrl, vmos usr identidde trigonométric cos θ = + cos θ. Então, ( cos 4 θ = + ) cos θ = 4 + cos θ + 4 cos θ = = 4 + cos θ + ( 4 + ) cos 4θ = = 4 + cos θ cos 4θ = = cos θ + 8 cos 4θ. Podemos, gor, prosseguir com integrção: 8 6 cos 4 θ dθ = 8 = 8 6 [ cos θ + 8 [ 3 8 θ + 4 = sen θ = cos 4θ sen 4θ = ] ] 6 dθ = = Eercício 3. Clcule + 9 d. CEDERJ 7

11 MÓDULO - AULA Solução: Nesse cso, fzemos = 3 tg θ, que implic d = 3 sec θ dθ e + 9 = 3 sec θ. Assim, + 9 d = = 9 3 sec θ 9 tg θ 3 sec θ dθ = 9 cos θ cos θ sen θ dθ = 9 sec θ tg θ dθ = cos θ sen θ dθ = = 9 sen θ + C. Agor, precismos escrever respost em termos de tngentes e secntes e, ssim, escrever respost em termos d vriável. Pr isso, usremos seguinte estrtégi: 9 sen θ + C = 9 cos θ sen θ cos θ + C = = 9 = 9 sec θ tg θ + C = 3 sec θ 3 tg θ + C. Finlmente, + 9 d = 9 + C. 9 Agor, você pode colocr em prátic o que prendeu. Clcule s seguintes integris: 4. 4 d d. 7. t dt t d. 9 4 d. d. 73 CEDERJ

12 . 3 d.. ( + 6) 3/ d. (9 ) 3/. 3 4 d d t t + 9 dt d. 4 dt. (9t + 4) 3/ Auto-vlição Use os eercícios resolvidos, bem como os eemplos d ul, como modelos pr fzer os eercícios deidos o seu encrgo. Lembre-se de que epressr respost em termos d vriável originl pode eigir um certo mlbrismo com s funções trigonométrics. Isso lhe drá um treinmento etr sobre esse tem. Finlmente, qunto o eercício 7, fç = 3 sen θ e lembre-se de que, portnto, d = 3 cos θ dθ. Até próim ul! CEDERJ 74