Resumo com exercícios resolvidos do assunto:

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1 Resumo com eercícios resolvidos do ssunto: (I) (II) Teorem Fundmentl do Cálculo Integris Indefinids (I) Teorem Fundmentl do Cálculo Ness postil vmos ordr o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) com introdução às integris definids. O Teorem Fundmentl do Cálculo é um teorem que fz um relção entre s dus principis operções do Cálculo, s derivds e s integris.n verdde, tem-se como relção entre s dus operções que, integrl,tmém chmd de nti-derivd é o processo inverso d derivd, ou sej, O que que qundo derivo encontro função que está sendo integrd. D relção citd cim, temos: Se f for contínu em [,],g é contínu e derivável em [,], temos: G = f t dt, G = f Eemplo : Sendo = sen t dt, encontre h (). Como sen(t) é sempre contínu, podemos utilizr o TFC, logo temos: = sen

2 t Eemplo : Sendo w t = sec 3, encontre lim π t w (t). Anlisdo função, temos que el é contínu entre [, π ], logo podemos utilizr o TFC. Temos: + w t = t sec³(), w t = sec³(t) lim t π w (t) = lim t π sec 3 t = lim t π cos³(t) = Eemplo 3: (Stewrt) Ache d sec t dt. Os:Este é o cso mis comum e mis provável de cir em provs. Ele envolve TFC e regr d cdei. Chmndo u =, temos du = ³ Pel Regr d cdei, temos: dg = dg du du u d sec t dt =. du du = sec u. ³ = ³. sec ( ) Um outr visão do TFC é o que se é denomindo de integrl definid. Temos: Sendo f contínu em [,] e F ()=f(): f = F F() Temos como conceito de integrl definid áre io do gráfico de um função contínu entre dois intervlos. Aio temos um eemplo de como proceder no cálculo de um integrl definid que tem em seu intervlo y<.

3 Temos seguinte relção: f = f + f Positivo Negtivo Neste cso procedemos: f = A A Eemplo : Clcule áre io do gráfico d função: Como ²+ ² + é contínu no intervlo [,],pensemos d seguinte mneir: Qul função F que o derivál encontro? ²+ A respost é F= rctg() Temos: Eemplo : Clcule: = rctg ² + = rctg rctg = π = π 7 9 Como é contínu no intervlo [9,7], pensemos novmente d seguinte mneir: Qul função F que o derivál encontro? A respost é ln, logo: 7 9 = (ln ) 9 7 = ln 7 ln 9 = ln 3

4 Os: Neste cso, se o intervlo d integrl fosse [-,], por eemplo, seri impossível clculá-l pois el não é contínu no ponto =. Eemplo 3: Clcule: + 5 Como polinômios são contínuos em qulquer intervlo: Qul função F que o derivál encontro (+5)? A respost é + 5, logo: + 5 = + 5 = + 5 = 3 (II) Integris Indefinids Integrl indefinid é um notção utilizd qundo não se é ddo intervlos, de form que sej mis fácil trlhr com s integris, sem ficr clculndo-s sempre entre dois pontos. Sendo F() primitiv d função f(),temos: f = F + C Ms por que o + C? Como integrl é o processo inverso d derivd (TFC), o derivr primitiv somdo um constnte C qulquer, encontrmos função que está sendo integrd, pois derivd de um constnte C é nul. Logo vemos que eistem diverss integris pr um mesm função. A figur io mostr tel de integris Indefinids, é om decorr tods ests integris, que chmremos mis frente de integris triviis.

5 Vmos os eemplos: Eemplo : n + Como vimos n tel de integris nteriormente que n =, temos: n+ Eemplo : = C = C sen cos D relção trigonométric Sen()=sen()cos(), temos: sen cos = sen, logo: sen cos = sen = sen = cos + C Eemplo 3: (Stewrt) ( )

6 Temos que : = Logo, temos: = rctg + C Pr treinr... Eercícios: Clcule: ) t + t dt ) 3) e cosh +sen ) π (cos +cos cotg ²()) cossec ²() 6 ) 8 3 5) ( 5 6) 7) ( + 8) w³ dw w sen t dt + + 3) 9) cos (t) ) ( e /π ) ) cos + + w ) Se w () é t de crescimento d populção de um cidde, o que seri w? 3) (UFRJ-3.) Sejm f e g funções contínus tis que: f = 3, g = ) Clcule f + 3g e f ) Clcule G() e G (), sendo G definid por ² f t dt e f = 5 ) (UFRJ-3.) Dê o domínio e clcule derivd d função f, onde f = e t t² + dt

7 Gritos: ) ) rctg()+c 3) +C ) 5)86 6) ) w 3 + w + w + C 9) -cost+c ) π 3 e π + C ) ln ) A populção d cidde 3 ) ) 9 e - ).f(²) ) Bons Estudos!! 7)rccos() +rctg() +3 +C e (+) sen () + + w+ + C Dúvids? Acesse o Soluciondor n págin ou mnde emil pr [email protected].