Aplicações da Integral

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1 Módulo Aplicções d Integrl Nest seção vmos ordr um ds plicções mtemático determinção d áre de um região R do plno, que estudmos n Unidde 7. f () e g() sejm funções con-, e que f () g() pr todo em,. Então, áre d região limitd cim por f (), io por g(), à esquerd pel ret e à direit pel ret, confor- A f () g() d. A prtir deste momento pssremos eminr s plicções do conteúdo estuddo n Unidde nterior. 7

2 Curso de Grdução em Administrção Distânci f() A g() [ ] Figur 8. - de integrção. Segue io um procedimento sistemático que podemos seguir pr estelecer fórmul, utilizndo os seguintes pssos. Psso. cim e qul limit io. Psso. e serão s scisss dos dois pontos de interseção ds curvs f () e g(). Pr tnto igul-se f () eg(), ou sej, fz f () g() e resolve-se equção resultnte em relção. Psso. curvs. Oservção f (), pels rets e e o eio, onde f () é um função contínu sendo f (), pr todo em,, conforme 8

3 Módulo A f() Figur 8. O cálculo d áre A é ddo por: A f () d, Apresentremos lguns eemplos de cálculo de áre entre dus curvs: Eemplo 8. Determinr áre d região limitd entre s curvs: f () 6 e g(). Resolução: Utilizndo o procedimento sistemático presentdo cim, temos os seguintes pssos: Psso. Esoço d região 8 6 Figur 8. 9

4 Curso de Grdução em Administrção Distânci Psso. Pr encontrr os limites de integrção,fzemos f () g(), isto é, 6 ou 6, que fornece 6 d equção cim, e, que serão os limites de integrção. Oserve, pelo 6, pr todo em,. Psso. Clculndo áre d região limitd por: f () 6 e g() em, temos : A f () g() d = 6 d 6 d 6 6 = = () = = () () = 7 7 = u.. Portnto, áre limitd por f () 6 e g() em, é 5 6 uniddes de áre. Eemplo 8. Determinr áre d região limitd por f () e g().

5 Módulo Resolução: Utilizndo o procedimento sistemático presentdo cim, temos os seguintes pssos: Psso. Esoço d região: 5 Figur 8. Psso. Pr encontrr os limites de integrção fzendo f () g(),temos, e. Assim, e. ou =. Logo, =, ou sej, Psso. A áre d região limitd por f () e g(), em, será: A f () g() d = d = ( ) ( ) = = =6 8 = = u.. Portnto, áre limitd por f () e g() em, é uniddes de áre.

6 Curso de Grdução em Administrção Distânci Eemplo 8. Determinr áre d região limitd por f () 8 e g(). Resolução: Temos os seguintes pssos: Psso. Esoço d região: Figur 8.5 Psso. Pr encontrr os limites de integrção, fzemos f () g(), isto é, 8, que fornece 8 e e. Assim, e. Psso. A áre d região limitd por f () 8 e g() será: A f () g() d 8 d = 8 d 8 = 8 ( ) 8 ( ) =

7 Módulo = = 6 = 96 = 6 u.. Portnto, áre limitd por f () 8 e g() em, é 6 uniddes de áre. Eemplo 8. Determinr áre limitd pel curv f () 5, o eio e s rets e. Resolução: Temos os seguintes pssos: Psso. Esoço d região. 5 6,5,5 Figur 8.6 Psso. Os limites de integrção são e. Psso. A áre limitd pel curv f () 5 o eio e s rets e, será:

8 Curso de Grdução em Administrção Distânci A 5d = = = = = u.. Portnto, áre limitd pel curv f () 5, o eio e s rets e é uniddes de áre. Eemplo 8.5 Encontrr áre d região limitd pel curv f () sen e pelo eio de. Resolução: Psso. Esoço d região: Figur 8.7

9 Módulo Psso. Pr determinr os limites de integrção, temos, pelo,, f () sen e no intervlo,, f () sen. Psso. A áre d região limitd pel curv f () sen, e pelo eio de té será: A sen d sen d = cos ( cos ) cos cos + cos ( cos = ( ) ( ) + ( ) = ++ =+ =+= u.. Portnto, áre d região limitd pel curv f () sen e pelo eio de té é uniddes de áre. dúvids, usque orientção junto o Eercícios propostos ) 5 Figur 8.8 5

10 Curso de Grdução em Administrção Distânci Onde f (). ) Figur 8.9 Onde f (). ) Determinr áre d região limitd por: f () e g(). ) Determinr áre d região limitd por f (), o eio e s rets e. ) Determinr áre d região limitd por f () e g(). 5) Clculr áre d região limitd por f (), o eio e s rets e. Volume de sólido de revolução 6 - centro de mss e de momento de inérci. Como é difícil determinr o volume de um sólido de form irregulr, começremos com ojetos que presentm forms simples. Incluídos nest ctegori estão os sólidos de revolução.

11 Módulo Um sólido de revolução é gerdo pel rotção de um região do pl- eio de revolução, contid no plno. Sej S o sólido gerdo pel rotção d região do plno limitd por f (), o eio, e em torno do eio. Então o volume V deste sólido é ddo por: V f () d. tes os usdos pr clculr áre de um região pln e limitd, ms = f() Figur 8. 7

12 Curso de Grdução em Administrção Distânci Figur 8. Anlogmente, qundo o eio de revolução é o eio e fronteir d região pln é dd pel curv g() e o eio entre c e d, então o volume V do sólido de revolução é ddo por d V g d. d c = g() c Figur 8. 8

13 Módulo e g funções contínus no intervlo, Sejm f e sumos que f g pr todo,. Então o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eio, d região limitd pels curvs f e g e s rets e é ddo por: V f g d. = f() = g() Figur 8. Figur 8. 9

14 Curso de Grdução em Administrção Distânci Eemplo 8.6 A região limitd pel curv, o eio e s rets e, sofrem um rotção em torno do eio. Encontre o volume do sólido de revolução gerdo. Resolução: = f() Figur 8.5 Temos: V f d d, uniddes de volume (u.v.). 5 Eemplo 8.7 Clcule o volume do sólido que se otém por rotção d região limitd por, e em torno do eio.

15 Módulo Resolução: =,5,5,5,5,5,5 Figur 8.6 De temos /. Logo, o volume do sólido otido pel revolução em torno do eio é ddo por V c d g d / d 5 5/ 5 u.v. Eemplo 8.8 Clcule o volume do sólido que se otém por rotção d região limitd por,, e em torno do eio.

16 Curso de Grdução em Administrção Distânci Resolução: 5 ² = = Figur 8.7 () Volume do sólido em torno do eio. Neste cso, temos V f g d 5 d d u.v.

17 Módulo Eercícios propostos ) Determine o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eio, de região limitd por: ),, e. ),, e. ) Determine o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eio, de região limitd por: ln,, e. ) Clcule o volume do sólido otido girndo cd região limitd pels curvs e rets dds em torno do eio indicdo: ),,, 5 ; em torno do eio dos. ) 5 6, ; em torno do eio dos. c),, e ; em torno do eio dos. d),, e ; em torno do eio dos.

18 Curso de Grdução em Administrção Distânci Comprimento de rco A seguir, presentremos o comprimento de rco de um curv pln em coordends crtesins. Sej f um função contínu no in- [,] f (). = ƒ() B = (,ƒ()) A = (,ƒ()) Figur 8.8 Sejm A, f () e B(, f ()) dois pontos n curv f (). Sej s o comprimento d curv AB ª f (). Então, s é ddo por s f '() d. A seguir, presentremos lguns eemplos. Eemplo 8.9 Determinr o comprimento de rco d curv,. Resolução: Temos, '.

19 Módulo Logo, s f '() d d 5 d 5 5. Portnto, o comprimento de f (), pr é dd por s 5 u.c. Eemplo 8. Clcule o comprimento do rco d curv 8 de Resolução: Temos, 8 ' 6. 8 Agor, s ' d d 6 d d ( 6) ( 6) d ( ) d ( ) 6 8 d 6 8 d u.v. 5

20 Curso de Grdução em Administrção Distânci compreendeu ests importntes e pr isto tente resolver os eercícios propostos seguir. Se ls ntes de seguir dinte. Eercícios propostos Determine o comprimento ds curvs dds por: ) ln,. ) ln de. ) 8 de. ) lnsen de 6. 5) e e de. Si Mis... Pr profundr os conteúdos orddos neste cpítulo consulte: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivção, Integrção, 5ª ed. São Pulo: Mkron Books, 99. LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometri nlític.. ed. São Pulo: Hrr, 99. Vol.. 6

21 Módulo RESUMO do sólido de revolução, e no comprimento de rco de um curv utilizndo o sistem de coordends crtesins. 7

22 Curso de Grdução em Administrção Distânci RESPOSTAS Eercícios propostos ) ) uniddes de áre. ) 6 ) uniddes de áre. ) uniddes de áre. ) 8 uniddes de áre. 5) uniddes de áre. uniddes de áre. Eercícios propostos ) ) 57 u.v.; ) ) e6 e u.v.; 6 5 u.v. ) ) 5 u.v. ) u.v. c) u.v. d) u.v. Eercícios propostos ) 6+ ln 6,7u.c. ) ln 5 u.c. ) u.c. ) ln ln ln u.c. 5) e e u.c. 8