Como calcular a área e o perímetro de uma elipse?

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1 Como clculr áre e o perímetro de um elipse? Josiel Pereir d Silv 8 de gosto de 14 Resumo Muitos professores de Mtemátic reltm que miori dos livros didáticos de Mtemátic utilizdos no Ensino Médio não bordm o conceito de áre e perímetro d elipse. Neste trblho, bordremos esse tem, que tem como objetivos deduzir, s fórmuls que permitem clculr áre e o perímetro de um elipse, utilizndo um lingugem simples e de fácil compreensão, ms sem perder o rigor mtemático. Pr isso, utilizmos s noções de derivd e integrl, tópicos que gerlmente são borddos em um primeiro curso de Cálculo e que podem ser encontrdos em [1] e [3]. Utilizndo s noções de derivd e integrl, concluímos que áre e o perímetro, que denotremos por S e C, respectivmente, de um elipse de focos F 1 ( c, e F (c,, centro O(, e vértices A 1 (,, A (,, B 1 (, b e B (, b, onde A 1 A é o eixo mior de comprimento e B 1 B é o eixo menor de comprimento b, ( podem ser obtidos trvés ds fórmuls S = π b e C π Plvrs Chve: Elipse, Áre, Perímetro. 1 Introdução e + 3e4 O cálculo de áre e perímetro são tividdes indispensáveis pr o ser humno. Desde ntiguidde, o homem sempre foi desfido em diverss situções clculr áres e perímetros de figurs plns. Hoje não é diferente, dirimente resolvemos problems que gerlmente utilizmos Mtemátic n su resolução. Foi devido esse pensmento e lguns nos lecionndo Mtemátic em turms do Ensino Médio, que surgiu idei de produzir esse rtigo. Percebemos que não é dd importânci merecid em sl de ul o estudo ds cônics. Isso ficou evidente pós nlisr o mteril didático e livros utilizdos tulmente, nos quis o cálculo d áre e do perímetro ds cônics são gerlmente omitidos nos textos de Geometri Anlític pr o Ensino Médio. Dinte desse cenário, o objetivo deste trblho é deduzir tis fómuls que permitem clculr áre e o perímetro d elipse. A elipse nos livros didáticos É comum, em livros de Mtemátic, encontrrmos fórmuls que podem ser usds pr clculr áre e perímetro de figurs plns, por exemplo, qudrdo, retângulo, círculo, etc. Porém, qundo estudmos elipse no Ensino Médio, dificilmente é presentdo nos livros didáticos, s fórmuls que fornecem áre e o perímetro de um elipse. Mestre em Mtemátic pel Universidde Federl de Cmpin Grnde (UFCG. 1

2 b x x + y x dx, = S1 ou y = b + x x + C, Consultndo [1] encontrmos, de form bem detlhd, o cálculo d integ trigonométric indefinid f 1(x dx (3 A áre d semi-elipse, que denotremos por S1, correspondente região delim td pelo eixo Ox e pel função f1 : R R dd por f1(x = b x é d x. b = 1, onde = b + c. (3 Isolndo vriável y n equção (3.1 obtemos, 3 A áre de um elipse Chm-se elipse, o conjunto de pontos de um plno cuj soms ds distâncis dois pontos fixos desse plno é um constnte. Considere um elipse de focos F 1 ( c, e F (c,, centro O(, e vértices A 1 (,, A (,, B 1 (, b e B (, b, onde A 1 A é o eixo mior de comprimento e B 1 B é o eixo menor de comprimento b, como ilustr figur seguir. rcsen ( x x dx = que tem como resultdo = S1 x dx = b x dx. Assim, pel integrl y = b A equção reduzid dess elipse é dd por Figur 1: Elipse centrd n origem.

3 onde segue S 1 = b x dx = b [ ( x rcsen + x ] x = b π = πb. Denotndo por S áre d semi-elipse correspondente região delimitd pelo eixo Ox e pel função f : R R dd por f (x = b x, S é dd pel integrl Assim, S = b x dx, que clculndo de modo nálogo o cso nterior, encontrmos S = πb. A áre totl, que denotremos por S é dd por S = S 1 + S. S = π b. Observe que se = b, elipse se torn um círculo cujo rio é r = e áre d elipse é dd por S = π = π. 4 O perímetro de um elipse A equção reduzid d elipse como vimos nteriormente é x + y b = 1, onde = b + c. Derivndo implicitmente mbos os membros d iguldde em relção x, obtemos Logo, x + y b = 1 (4.1 y = b x y. 1 + (y = 1 + b4 x 4 y. (4. Isolndo y n equção (4.1, encontrmos ( y = b 1 x. (4.3 Substituindo equção (4.3 n equção (4., obtemos 1 + (y = 1 + b 4 x c x ( = 4 b 1 x x. 3

4 Como excentricidde d elipse, que denotmos por e, é dd por e = c, temos, O perímetro procurdo, é ddo pel fórmul que pode ser encontrd em [1]. Logo, 1 + (y = e x x. ( (y dx, e x x dx. Pr chegr um expressão mis simples devemos fzer um substituição trigonométric. Pr isso, tome x = sen(α e terá dx = cos(α. Observe que pr x =, teremos α =. Já pr x = teremos α = π. Dess form, [ ] π e sen (α sen (α cos(α Portnto, π d(α = 4 1 e sen (α d(α. π 1 e sen (α d(α. (4.5 Resolver integrl d iguldde (4.5 não é um tref fácil. Por isso, únic lterntiv é obter um bo proximção pr tl integrl. Pr isso, iremos usr série binomil, que permite expndir potêncis do tipo (1+x n, pr todo x, n R tl que x < 1. Assim, como usremos iguldde (1 + x n = 1 + nx + e sen (α = e sen (α < 1, n(n 1x! + n(n 1(n x3 3! +, (4.6 pr obter tl proximção. Fzendo n = 1 e x = e sen (α n iguldde (4.6 e resolvendo integrl encontrd pós s devids substituições, teremos, C π ( e + 3e4. (4.7 Qundo e =, elipse torn-se um círculo de rio r = = b, cujo perímetro é π. 5 Conclusão O cálculo integrl é ums ds prtes d Mtemátic mis fscinnte. É um ferrment que permite resolver problems considerdos elementres, ms que exigem do resolvedor um conhecimento mtemático mis curdo. Isso se torn visível qundo temos missão de clculr áre e o perímetro de um elipse, um cônic bem conhecid dos mntes d Mtemátic. 4

5 Diferente de outrs curvs, o cálculo d áre de um elipse é um tref teoricmente fácil, ms, clculr o seu perímetro não é um tividde trivil. Portnto, com um pouco de esforço poderemos exibir um expressão que poderá ser usd pr clculr áre de um elipse qulquer. Tl fórmul é S = πb. Já expressão que fornece um bo proximção pr o perímetro de um elipse é C π ( e + 3e4. O ensino médio é um fse d educção básic onde o luno tem oportunidde de não só obter o mdurecimento dos conhecimentos obtidos no ensino fundmentl, como tmbém, dquirir o przer e utonomi com relção prendizgem Mtemátic. Dinte disso, é importnte que os professores prensentem, de form grdável, s cônics, elementos d geometri muito presente no cotidino de cd um, bst observr bol de futebol mericno, um melnci, etc. Espermos que este trblho sej o início de um cminhd, onde tems que professores, por inúmeros motivos deixm de presentr os seus lunos, exemplo ds cônics, possm ser exibidos de mneir clr, grdável e cim de tudo, objetiv. Referêncis [1] FLEMMING, Div Mríli; GONÇALVES, Mírin Bus. Cálculo A: funções, limite, derivção, integrção. São Pulo, Person Prentice Hll, (1997. [] LIMA, Elon Lges. Curso de Análise. Vol. 1. (11 edição. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Jneiro, 6. [3] SWOKOWSKI, Erl Willim. Cálculo com geometri nlític. São Pulo, Mkron Books, (