Apostila de Cálculo II

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2 Antiderivd e Integrl Indefinid Um ntiderivd ou primitiv d função f no intervlo [,b] que:, é um função F, tl df d ( ) f( ) pr todo [,b] Notção de Leibniz: Outr notção empregd pr designr operção de primitivção de um função f, no intervlo [ b], é, notção de Leibniz. O símbolo ( esse longdo de som ), é o sinl d integrl. d d ( f() d) f ( ) Eemplo: Se derivd em relção d função f () 4 é df d f '( ) D f ( ), então: Um primitiv de df é f() d ; outr primitiv é f(), outr primitiv é f(),

3 Assim, função f ( ) C é primitiv de f () 4, onde C é um constnte rbitrári, chmd constnte de integrção. Vrindo o vlor de C, obtém-se um infinidde de primitivs. A integrl f '()d f() C, é chmd integrl indefinid e represent um fmíli de primitivs. No cso, f() C é um fmíli de prábols. Num fmíli de curvs, os seus gráficos diferem entre si pens por um trnslção verticl. Significdo geométrico d constnte de integrção C : y y f ( ) C y f ( ) C C y f ( ) C C y f ( ) C 4 C C 4 Geometricmente: constnte de integrção C, represent ordend do ponto onde curv cort o eio y.

4 Proprieddes d integrl indefinid: C f()d C f()d, onde C R ; [ f() g() ] d f() d ± ± g() d Tbel ds integris indefinids fundmentis: Definição: Sej I R; função G é um primitiv de ƒ em I, se e somente se: ( ) d G d n n u. u du C n pr n du u du ln u u C u u ln du C u u e du e C 4 cos u du senu C 5 senu du cosu C f ( ) pr I 6 sec u du tg u C 7 cosec u du cot g u C 8 sec u. tgu du sec u C 9 cos sec u. cot gu du cos sec u C du rc senu C rc cosu C u du sen u C cos u C u du rc tg u C rc cot gu C u du tg u C cot g u C u ou ou 4

5 Obs: f - () indic função invers de f (). MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO: ) Integrção por Mudnç de Diferencil As fórmuls pr integris indefinids tem objetivo limitdo, pois não se pode usá-ls diretmente pr clculr integris como por eemplo d. Pode-se usr o seguinte rtifício pr resolvê-l: Sej u. Logo dud e com mudnç de vriável fic-se com d ( ) C. u u C. Voltndo vriável inicil Após fzer substituição u g () pode ser necessário inserir um ftor constnte k no integrndo pr se obter um form dequd f(u) du. Deve-se multiplicr por k pr mnter iguldde. Eercício Resolvido: Clculr 5 7 d Sej u 5 7 e du 5 d. Como du contém o ftor 5, integrl resolver não está n form f(u) du. Pode-se fzer então 5 7 d d d. Agor tem se 5 5 u u du. Voltndo vriável originl 5 7 d ( 5 7) C

6 Eercícios: Clculr s integris: ) cos 4 d ) ( ) d 7 ) ( ) 6 d 4). 7-6 d cos 5) d 6) cos 5. sen 5 d 7) d 8) sen ( 6) d sen 4 9) d cos ) d tg 4. sen 4 ) Integrção por Substituição Algébric Este método consiste em substituir um epressão por um vriável, com finlidde de eliminr um rdicl, eliminr dições e subtrções do denomindor, etc. O problem é resolvido n nov vriável. Eercício Resolvido: 6

7 Clculr integrl I 9 d Fzendo t t d dt t 9 dt t dt I dt t lnt c t t t Voltndo pr vriável : I 9 d ln ( ) c ) Método d Integrção por Prtes Sejm u e v dus funções de. D fórmul d derivd do produto, tem-se que: d(u.v) u dv v du u dv d ( u.v) - v du u dv d (u.v) - v du Est técnic de integrção consiste em substituir integrl que se desej clculr por outr integrl, de preferênci mis simples do que integrl originl. A primeir cois ser feit n plicção dest fórmul é escolh pr os termos u e dv, que deve seguir os seguintes critérios. ) Você deve ser cpz de clculr integrl dv pr encontrr epressão de v. Se não conseguir clculr est integrl, fç outr escolh pr u e dv. 7

8 b) Você deverá obter um integrl v duque sej mis simples ou pelo menos semelhnte à integrl originl; finl de conts, est é integrl que você efetivmente clculrá. Em gerl, integrl v duserá mis simples qundo epressão u é simplificd pel diferencição. Eemplos: ) Clculr integrl e d. Não use s epressões ue e dvd, pois nov integrl torn-se mis comple do que originl; use s epressões u e dve d e o problem se resolve fcilmente. Então: u dv e d du d v e d e. e d. e - e d.e e C e ( ) C ) Clculr integrl sen d Bst usr s epressões u e dv sen d u dv sen d du d v cos. sen d -.cos - cos d -.cos sen C ) Clculr integrl e d 8

9 Use s epressões u e dv e d ; neste cso integrl subsequente deverá ser clculd plicndo-se novmente fórmul de integrção por prtes. u dv e d du d v e d e.e d. e e d. e e d Replic-se o método n integrl do último termo e d : u dv e d du d v e d e.e d. e e e 9. d. e A integrl inicil fic:.e d. e 9 e 7 e C Eercícios: Clculr s integris: ). cos d ). e d 9

10 ) ln d 4). sec d - 5). e d - 6). e d 7) e. sen d ) Método d Integrção por Substituições Trigonométrics Se o integrndo contém epressões ds forms n n ( ) ( ) ou ( ) n, tente fzer substituições imedits (do tipo u -, u - ou u ), que serão úteis desde que hjm outros termos no integrndo que simplifiquem nov integrl. Se não for este o cso, proced d seguinte form pr relizr um substituição trigonométric: ) Desenhe um triângulo retângulo. b) Identifique hipotenus e os dois ctetos do triângulo retângulo; lembrese de que um dos ldos do triângulo deverá representr um ds epressões ( ), ( ) ou ( ) que precem n su integrl. c) Use s definições ds funções trigonométrics e obtenh substituição correspondente. Temos os seguintes tipos de substituições:

11 () Se no integrndo prece epressão ( ) n, use substituição: senθ, d cosθ dθ e ( ) cosθ. Substituição trigonométric: senθ, d cosθ dθ e ( ) cosθ. (b) Se no integrndo prece epressão ( ) n e ( ) tgθ sec θ, d sec θ tgθ dθ., use substituição Substituição trigonométric: e ( ) tgθ sec θ, d sec θ tgθ dθ (c) Se no integrndo prece epressão ( ) n, use substituição e ( ) sec θ tgθ, d sec θ dθ. Substituição trigonométric: e ( ) sec θ tgθ, d sec θ dθ

12 Não há necessidde de memorizr tods ests substituições; bst desenhr o triângulo proprido e ler s epressões correspondentes n figur. Resolvidos ) Clculr integrl ( ) d 6 Fz-se substituição 4 senθ, com d 4 cosθdθ e 6-4 cosθ d. ( ) ( 6. 6 sen θ).4 cosθdθ 4 cosθ dθ 6 sen θ cossec 6 θ - 6 cotgθ Voltndo vriável originl ( 6 ) d - 6 ( 6 ) C ) Clculr integrl d 4 Fz- se substituição tgθ, com d sec θ dθ e 4 sec θ. 4 d sec sec θ θ dθ sec θ dθ ln secθ tgθ C. Voltndo vriável originl 4 d ln 4 C 9 ) Clculr integrl d Fz-se substituição sec θ, com d sec θ tgθ dθ e 9 tgθ.

13 9 d tgθ sec θ secθ tgθ dθ tg θ dθ ( sec θ ) dθ sec θ dθ dθ tgθ θ Voltndo vriável originl 9 d 9 rcsen C Eercícios: Clculr s integris: ) d 6 - ) d 5 ) d ( 6 ) 4) d 8 5) d 6 6) d

14 4) Método de Integrção: Decomposição em Frções Prciis Apresent-se um seqüênci de pssos que se usm pr clculr integris de funções rcionis d form p()/q() onde p e q são polinômios em e o gru de p é estritmente menor do que o gru de q (funções rcionis própris). A técnic de integrção de funções rcionis por ftorção em frções prciis é dividid em dois csos: liner e qudrático. Cso liner Trt-se do cso em que o denomindor é ftorável em diferentes ftores lineres (repetidos ou não) Consideremos integrl d ) Reduz s funções rcionis imprópris frções própris trvés de divisão. Por eemplo, função rcionl é imprópri, pois o gru do numerdor é igul o gru do denomindor. Fzemos então divisão e obtemos A integrl trnsform-se em d d - - 8, cuj primeir prcel é trivil. 5 Concentrmo-nos gor n frção própri, que está preprd pr ser ftord em frções prciis. ) Ftore o denomindor. No cso presente, o denomindor ftor-se como - - 8(-4)(). ) Decomponh função rcionl em um som de funções rcionis básics trvés de frções prciis. No cso d função rcionl escrever bst A B C. Usndo lgum método pr resolver - 4 est equção (por eemplo, clculndo som ds prcels do ldo direito e 4

15 resolvendo o sistem de equções lineres que se obtém igulndo termos de mesmo gru), obtemos A, B-8/ e C4/. 4) Se o denomindor de um função rcionl básic é d form (b), use substituição u(b). Neste eemplo, temos d 5 d d e est últim integrl se - 4 resolve fcilmente usndo s substituições indicds pr cd prcel. 5) Se o denomindor possui ftores lineres repetidos d form (b) k, use k frções prciis correspondentes. Por eemplo, pr clculr integrl 4 d usmos decomposição em frções prciis, que tem form ( ) 4 A B ( ) ( ) B. Resolvendo est equção, obtemos A, B, B -. Portnto, temos 4 d ( ) d ( ) e est últim integrl se resolve fcilmente trvés de substituições indicds (ub) pr cd prcel. Cso qudrático Trt-se do cso em que o denomindor não é ftorável pens em ftores lineres; o denomindor presentrá, portnto, termos qudráticos (repetidos ou não). Consideremos integrl. ) Reduz s funções rcionis imprópris frções própris trvés de divisão. Neste eemplo, já prtimos de um função própri e est etp já está feit. 5

16 ) Ftore o denomindor. No cso presente, o denomindor se ftor como 44 ()4()()( 4). Observe que o ftor 4 é irredutível (isto é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de gru com coeficientes reis). ) Decomponh função rcionl em um som de funções rcionis básics. Devemos escrever função rcionl dd n form 8 A B C. Resolvendo est equção, encontrmos A, B e C5. Dess form ) Finlmente podemos clculr integrl d d fzendo substituições imedits. 5) Se o denomindor possui ftores qudráticos repetidos d form ( bc) k, use k frções prciis correspondentes. Por eemplo, pr clculr integrl ( ) ( ) d A usmos decomposição em frções prciis, que tem form B C B C. Resolvendo est equção, obtemos A, ( ) B -, C, B - e C. Portnto, temos ( ) - d. Observe que primeir e terceir prcels podem ( ) ser feits por substituições óbvis; porém segund prcel prece diferente. Reescrevendo tudo dest form: problem se resolve fcilmente. d ( ) d, o Eercícios: 6

17 Clculr s integris: ) d 4 9 ) d ) - 8 ( )( ) 9-4 d - - 4) d ) d 4 A Integrl Definid Sej f um função contínu num intervlo [,b] e tl que f () pr todo [,b]. 7

18 Vmos clculr áre d região compreendid entre o gráfico de f e o eio, pr vrindo em [, b]. Pr tnto, vmos considerr um prtição do intervlo [,b], constituíd pelo conjunto de pontos P {,,..., b}., n Dess mneir, ficm determindos n sub-intervlos, cd um deles d form [, ], sendo que o índice i vri de té n, isto é, i n. No cso de tomrmos i- i s n divisões de [,b] tods do mesmo tmnho, temos que cd um dos subintervlos terá comprimento i i-, pr i n. Vmos considerr um ponto i * em cd um dos sub-intervlos [, ] vlor proimdo pr áre d região, que é ddo por: i- i, obtendo um Qulquer um ds soms n f ( ). é denomind som de Riemnn pr função i * i i f, reltiv à prtição P e os números i, pr - Qundo fzemos crescer indefinidmente o número de pontos d prtição, isto é, fzemos n, obtemos: n lim f ( ). n i * i i [ s (P,f)] A lim n 8

19 Definição: integrl definid d função f, sendo f () no intervlo [,b], é igul o limite d som ds áres dos n retângulos, qundo o número desses retângulos tende infinito. Nesse cso integrl fornece áre d região compreendid entre o eio horizontl e o gráfico d função f, pr percorrendo o intervlo [,b]. A integrl definid verific lgums proprieddes: Propriedde : Se f e g são funções integráveis no intervlo [,b], então função f ± g é integrável em [,b] e: b b b [ () g ()] d f () d ± f ± g () d. Propriedde : Se k é um constnte e f é um função integrável no intervlo [,b], então função k.f é integrável em [,b] e :. Propriedde : Se f é um função integrável no intervlo [,b] e f () em [,b] então. Propriedde 4: Se f é um função integrável no intervlo [,b] e c é um ponto qulquer do intervlo [,b], então :. 9

20 Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo estbelece importnte coneão entre o Cálculo Diferencil e o Cálculo Integrl. O primeiro surgiu prtir do problem de se determinr ret tngente um curv em um ponto, enqunto o segundo surgiu prtir do problem de se encontrr áre de um figur pln Teorem : Sej f um função contínu no intervlo [,b]. A função F, dd por F () f (t) dt, é derivável em todos os pontos interiores o intervlo ],b[ e su derivd é dd por F'()f (). O Teorem Fundmentl do Cálculo nos permite fcilmente clculr áres pois, prtir dele, podemos mostrr que: Se f é um função contínu no intervlo [,b], então f ( t) dt G (b) - G (), onde G é um qulquer primitiv de f, isto é, tl que G'f. b Resolvidos Clculr s integris definids: ) d d 8 π ) sen d π sen d cos π - cos π - (- cos ) -(-) - (-)

21 ) ( ) d 4 ( ) d ( ) 5 d ) 5 - d d 5-5 d Eercícios: Clculr s integris definids: 4 ) ( - 4 )d ) ( 8 z z - )dz ) dz 7 9 t - 4) dt 4 t 8 5) ( s )ds 6) ( ) d 4 7) d 9

22 π 8) sen d π 4 9) ( sen ). cos d 4 ) d 7 5 Aplicções d Integrl Definid Cálculo de Áres Se f () é contínu e positiv no intervlo [,b], então áre limitd por f (), o eio e s rets e b é dd por: A b f () d y f () Se f () e g( ) são contínus em [,b] com f () g (), [,b] limitd por f (), g (), rets e b é dd por: b, então áre A b ( f () - g ()) d f () g () b

23 No cso de no intervlo [,b] função f () nem sempre for mior que g(), então: f () c A b ( f () - g ()) d ( g () - f ()) c d g () c b Podemos ind isolr em cd um ds funções obtendo f (y) e g (y). Se f (y) g (y) no intervlo [ c,d ], então áre entre os gráficos de f (y), g (y) e s rets y c e y d será: A d c [ f (y) - g (y)] dy Resolvidos ) Obter áre limitd pels curvs y e y. ) esboçr região, designndo por y f () fronteir superior e por y g () fronteir inferior. Achr o vlor e o vlor b dos pontos de intersecção ds regiões. Ness cso e b. y

24 4 b) esboçr um retângulo verticl típico e designr por d lrgur. ) Epressr áre do retângulo como [ f ()- g ()]. d. Nesse cso áre vle ( ).d ) Obter o vlor d áre trvés do cálculo d integrl: ( ) d d A ) Achr áre limitd pels curvs - y e 6 y y pontos de intersecção b 6 - ( ) ( ) [ ] ( ) d - d 6 - A - - ) Obter áre limitd pels curvs y e 4 y. pontos de intersecção d y - c y y 4 y

25 y A [ y ( y 4) ] dy [ y y 4] dy [ y 4] y dy - 4 y Eercícios: ) Clculr áre limitd pelos gráficos ds funções y e - y e s rets - e. ) Clculr áre limitd pelo gráfico ds funções f() e g ( ) - 4. ) Encontre áre d região limitd pel curv y 5 6, o eio e s rets - e. Cálculo de Volumes de Rotção Um áre o girr em torno de um eio ger um sólido de revolução de volume V. ) Giro em torno do eio Sej f () contínu em [,b ]. O volume V do sólido de revolução gerdo pel rotção d região delimitd pelos gráficos de f, de, de b e do eio dos é ddo por: 5

26 b V π [ f ()] d b) Giro em torno do eio y Sej f (y) contínu em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerdo pel rotção d região delimitd pelos gráficos de f, de y c, de yd e do eio dos y é ddo por d V π c [ f (y)] dy c) Giro em torno do eio, com áre não poid no eio. Sej um região limitd pelos gráficos de, b e pelos gráficos de dus funções contínus f e g, com f () g () pr todo em [,b ]. Fzendo-se ess áre girr em torno do eio, obtém-se um sólido cujo volume é ddo por: b π [ f ()] d - [ g ()] d π { [ f ()] - [ g ()] }d V π b b d) Giro em torno do eio y, com áre não poid no eio y. Sej um região limitd pelos gráficos de yc, yd e pelos gráficos de dus funções contínus f e g, com f (y) g (y) pr todo y em [ c,d ]. Fzendo-se ess áre girr em torno do eio y, obtém-se um sólido cujo volume é ddo por: d π [ f (y)] dy - [ g (y)] dy π { [ f (y)] - [ g (y)] }dy V π c d c d c Eemplos: ) A áre limitd pelo gráfico de y, rets - e e o eio, ger um volume V. Determinr o vlor de V. 6

27 V - 4 ( ) d π ( ) 5 56 π d π π ) A região limitd pelo eio y e os gráficos de eio y. determine o volume do sólido resultnte. y, y e y 8 gir em torno do ( ) y dy dy y 8 π π 5 5 V π y π Eercícios: ) A áre limitd pelos gráficos de y, y, e gir em torno do eio. Determinr o volume do sólido resultnte. ) A áre do eercício nterior gir em torno d ret y. Determine o volume gerdo. ) Esboce região R e determine o volume do sólido gerdo pel rotção de R em torno do eio indicdo pr: ) y 4, y ; em torno do eio dos. b) y, y 4, ; em torno do eio dos. 7