1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.
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- João Vítor Castanho Ferrão
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1 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que stisfz f () = e que, pr todo x em seu domínio, f (x) = xf (x). (sug.: qul derivd d função g (x) = ln f (x)?) 6.3 Sejm f e g funções deriváveis em e suponh que f () = e g () =. Se f (x) = g (x) e g (x) = f (x) ; 8x, mostre que função h (x) = [f (x) sen x] + [g (x) cos x] tem derivd nul e, portnto, é constnte. A prtir dí deduz que f (x) = sen x e g (x) = cos x: 6.4 Pr cd um ds funções f (x) bixo, clcule f (x) : () f = x 3 5x f = x 3 + x + x f = + x (c) f = sen x x 5 (d) f = + x f = tg x x p + x (g) f = p x + sec x (h) f = x 3p x (i) f = x + e x+ (j) f = + x cos x 3 (k) f = sec (4x + ) (l) f = cos x (m) f = sin x + (n) f = sec (x) tg (x) (o) f = (x + ) x (p) f = x (x + ) (q) f = x x 3 5 (r) f = sen x + 3 sen x (s) f = ep x p x (t) f = sen x p + cos x 6.5 Clcule s integris: () x p p (sug.: fç substituição u = x= e recorde-se do rcsen x) 4 x 4 x 6.6 Determine função f que stisfz f (x) = x + e x ; f () = e f () = : 6.7 Se k é um número inteiro, clcule o vlor de: () sen (kt) dt cos (kt) sen (kt) dt (c) =4 [cos (kt) sen (kt)]dt:
2 CÁLCULO DE UMA VAIÁVEL MPMATOS Encontre equção d curv que pss no ponto A ( 3; ) e cuj inclinção d ret tngente, em cd um de seus pontos (x; y), é m (x) = x + : 6.9 Derivção sob o sinl de integrl. Considere f um função contínu em [; b] e suponh que (x) e (x) sejm funções deriváveis em (; b). Se ' (x) = (x) (x) f (t) dt; mostre que ' é derivável em (; b) e ' (x) = f ( (x)) (x) f ( (x)) (x) : 6. Usndo o resultdo do exercício precedente, clcule ' (x) em cd cso bixo. () ' (x) = x 3p + t 4 dt ' (x) = sen x cos x (ln t)5 dt (c) ' (x) = exp x x cos t dt 6. Em cd cso bixo, 8 clcule integrl de nid de f, no intervlo I indicdo. < x, se x < () I = [ ; ]; f (x) = I = [ ; ]; f (x) = jx j : x x +, se x (c) I = [ ; ]; f (x) = jsen xj (d) I = [ ; ]; f (x) = x + jcos xj I = [ 3; 5]; f (x) = x 3x + I = [ ; ]; f (x) = x jxj 6. Cálculo de Áres 6. Clcule áre delimitd () pels curvs y = x 4 e y = x, pr x ; pels curvs y = 3p x e y = x 3, pr x ; (c) pels curvs y = jxj e y = x, pr x ; (d) pels curvs y = x + 4 e y = x ; pelo eixo y e pels curvs y = sen x e y = cos x, pr x =4; pels rets x = ; x = ; y = e pel prábol y = x ; (g) pels curvs y = x e y = p x; (h) pel curv y = p x e pels rets y = x e y = ; (i) pel curv y = x 3 6x + 8x e o eixo x; (j) pels prábols y = x + 6x e y = x x; 6.3 Em cd cso, esboce o grá co d região e clcule su áre.
3 48 PIMITIVAS E INTEGAIS COMP. 6 () = f(x; y) = x e x y 4g; = f(x; y) =x e x x y x + 5xg; (c) = f(x; y) = x =y e y g; (d) = f(x; y) = x e x y p xg; = f(x; y) = x e y jxj 3 g: 6.4 Considere função f :!, de nid por: 8 + x >< 3 =4, pr x < f (x) = x x, pr x < 3 >: 6 4x, pr x 3: Clcule 5 f (x) e, tmbém, áre entre o grá co de f e o eixo x, de x = té x = 5: 6.5 Em cd cso identi que região do plno xy cuj áre é representd pel integrl e clcule o vlor d áre. () x (c) (4 + 3x) (d) 3 5 (x + 5) ( p x) 6.6 Suponh que f : [ ; ]! sej um função pr e que g : [ ; ]! sej um função ímpr. Mostre que f (x) = f (x) e que g (x) = : 6.7 Sej g(x) = x f(t)dt onde f é função cujo grá co encontr-se esboçdo o ldo. () Clcule g(); g(); g(); g(3) e g(6). Em que intervlo função g está crescendo? (c) Qundo g tinge seu vlor máximo? () 6.8 Anlise cd um ds integris bixo qunto à convergênci. p jxj x p x 5 (5 x) (c) + x (g) x = exp ( p x) (d) x exp x exp x (h) x 3 exp x x 4
4 CÁLCULO DE UMA VAIÁVEL MPMATOS Mudnç de Vriáveis 6.9 Clcule s seguintes integris usndo o Método de Substituição: f (g (x)) g (x) = f (u) du () x x + ln x x x 3p + x tn x rctn x (c) + x (d) (g) cotg x (h) sen x cos 3 x x p x Integrção por Prtes 5. Clcule s seguintes integris usndo o Método de Integrção por Prtes: udv = uv vdu () ln x x sen x (c) x sen x (d) x cos x rctg x x ln x (g) xe x (h) x e x
5 5 PIMITIVAS E INTEGAIS COMP. 6 esposts e Sugestões 6. ) F (x) = 4 5 x5= b) F (x) = 3 x3 x + 3 c) F (x) = ln (x + ) + 6. f (x) = exp( x ) 6.4 ) 4 x4 5 x + C b) x x + ln x + C c) cos x =4x4 + C d) x5 5 + x3 3 + x + C e) rctg x+c f) tg x x 3 + x 3= +C g) 3 x3= +tg x+c h) 9 x9= +C i) x ln +ex+ +C j) x + 6 sen x3 + C k) 4 tg (4x + ) + C l) sen x x + + C m) 5x sen x + C n) sec x + C o) x + ln jxj + C p) x + + ln jx + j + C q) 3 ln x C r) 3 ln + 3 sen x + C s) e px +C (t) p p + cos x 6.5 () 4 x +C rcsen (x=)+c 6.6 f (x) = x4 +ex sen k (). (c), se k = e, se k 6= : 6.8 y = x + x Se F (x) = k f (t) dt, então ' (x) = F ( (x)) F ( (x)) e, usndo egr d Cdei, obtemos o resultdo. 6. x () ' (x) = 3p + x 4 ' (x) = [ln (sen x)] 5 cos x+[ln (cos x)] 5 sen x (c) e x cos(e x ) x cos(x ) 6. () =3 5 (c) 4 (d) () =5 = (c) 5=3 (d) 6 p =3 p 5=3 (g) =3 (h) =3 (i) 8 (j) 64=3 6.3 () 6=3 9 (c) ln (d) =3 = f (x) = 3 ; A = 73=6. Por que o vlor d integrl não coincidiu com o vlor d áre? 6.5 () (c) 5= (d) 3=3 6.6 Com mudnç x = t e observndo que f é um função pr, encontrmos: f (x) = f (t) dt, e portnto: f (x) = f (x) + f (x) = f (x) 6.7 () g () = ; g () = ; g () = 5; g (3) = 7 e g (6) = 3 em (; 3) (c) em x = () 4 diverge (c) diverge (d) = diverge diverge (g) =4 6.9 () ln x + 5 x + 5= 3 x + 3= (c) (rctg x) (d) 4 cos4 x (ln x) ln jcos xj (g) ln jsen xj (h) 6p x 6. () x ln x x sen x x cos x (c) x cos x + x sen x (d) x sen x + x cos x x rctg x ln p + x (g) (h) : Alert! Nos exercícios 6.9 e 6. considermos, por simplicidde, constnte C de integrção igul zero.
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