Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

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1 Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção 1 Introdução O conceito de integrl está ligdo o problem de determinr áre de um figur pln qulquer. A definição d áre de um figur pln é feit proximndo figur por polígonos cujs áres podem ser clculdos pelos métodos de Geometri Elementr. Considerndo definição d áre d figur delimitd por um função f(x), pelo eixo ds bscisss x e por dus rets x = e x = b, como ilustrdo pel figur 1. f(x) b x Figur 1: Definição d áre delimitd por um função f(x), por um intervlo [, b] e pelo eixo dos x. Dividindo este intervlo [, b] em n subintervlos iguis de comprimento x = b n onde = < x 1 < x <... < x n = b são os pontos dess divisão. Em cd um desses intervlos, definem-se os pontos ξ 1 no primeiro, ξ no segundo intervlo, e ssim sucessivmente té ξ n, no último intervlo. Dess form, é possível definir um série de retângulos de bse x e ltur f(ξ 1 ), f(ξ ),..., f(ξ n ) (ver figur ). A som ds áres dos retângulos é: S n = n f(ξ i ) x i=1

2 Métodos Computcionis em Engenhri (DCA00) f(x) x 1 x x x n 1 x n x Figur : Retângulos definidos nos subintervlos de [ =, x n = b]. Not-se que este vlor S n é, proximdmente, o vlor d áre delimitd por f(x) e x, no intervlo [, b]. Se quntidde de subintervlos cresce tendendo o infinito, então obtém-se o conceito d integrl: S n = lim n n f(ξ i ) x = i=1 f(x) dx que é chmd de Integrl de Riemnn. O seu resultdo é um vlor numérico. Embor hj um conjunto de regrs pr clculr chmd função primitiv F (x), ou sej: F (x) = f(x) dx em determindos csos, est função primitiv não é conhecid, ou su obtenção não é trivil. Além disso, em situções prátics nem sempre se tem form nlític d função ser integrd, f(x), ms é disponibilizd um tbel de pontos que descreve o comportmento d função. Assim, pr clculr o vlor d integrl de f(x) considerndo estes csos prticulres, torn-se necessário utilizção de métodos numéricos. A solução numéric de um integrl é chmd de qudrtur. Há dois métodos bstnte empregdos pr clculr qudrtur de um função: 1. As fórmuls de Newton-Cotes, que empregm vlores de f(x), onde os vlores de x são igulmente espçdos; Regr dos Trpézios; Regrs de Simpson.. A fórmul d qudrtur gussin que utiliz pontos diferentemente espçdos. Este curso bordrá principlmente s fórmuls de Newton-Cotes. Fórmuls de Newton-Cotes Ns fórmuls de Newton-Cotes idéi básic é substituição d função f(x) por um polinômio que proxime rzovelmente no intervlo [, b] em pontos igulmente

3 Métodos Computcionis em Engenhri (DCA00) espçdos. Assim, o problem fic resolvido pel integrção de um polinômio, o que é mis simples de fzer. Considerndo prtição do intervlo [, b] em subintervlos de comprimento h = (b )/n, obtém-se n bscisss x i, i = 0, 1,,..., n, sendo =, x n = b e x i+1 = x i + h. As fórmuls fechds de Newton-Cotes são do tipo: xn f(x) dx = f(x) dx n = A 0 f( )+A 1 f(x 1 )+A f(x )+...+A n f(x n ) = A i f(x i ) onde A i são coeficientes determindos de cordo com o gru do polinômio interpoldor..1 Regr dos Trpézios N Regr dos Trpézios utilizm-se pens dus bscisss seprds por um distânci h. Assim, utiliz-se um polinômio interpoldor de primeiro gru. Utilizndo fórmul de Lgrnge pr expressr o polinômio P 1 (x) que interpol f(x) em e x 1 tem-se: onde: f(x) = b 0 p 0 (x) + b 1 p 1 (x) p 0 (x) = x x 1 p 1 (x) = x b 0 = f() x 1 b 1 = f(x 1) x 1 Como tem-se pens dois pontos, = e x 1 = b. Então x 1 = h. Assim: f(x) = f() h (x x 1) + x 1 h (x ) Integrndo, no intervlo [, x 1 ], mbos os ldos dest proximção então obtém-se fórmul gerl pr Regr dos Trpézios: f(x) dx = h [f() + f(x 1 )] Esse resultdo corresponde à áre do trpézio de ltur h = x 1 e bses f( ) e f(x 1 ), como ilustrdo n figur. É possível notr que, se o intervlo de integrção é grnde, fórmul dos Trpézios fornece resultdos que pouco tem ver com o vlor d integrl ext. Pr diminuir este erro é preciso subdividir o intervlo de integrção e plicr regr dos Trpézios repetids vezes, pr cd pr subseqüente de pontos. Chmndo x i os pontos de divisão de [, b], tl que x i+1 x i = h, sendo i = 0, 1,,..., n 1, tem-se: n 1 f(x) dx = i=0 ou, de um form mis simplificd: xn xi+1 x 1 f(x) dx = n 1 i=0 h [f(x i) + f(x i+1 )] f(x) dx = h [f() + f(x 1 ) + f(x ) f(x n 1 ) + f(x n )] cuj interpretção geométric está ilustrd n figur 4. i=0

4 Métodos Computcionis em Engenhri (DCA00) 4 f(x) x 1 x Figur : Interpretção gráfic d Regr dos Trpézios. f(x) x 1 x x x n 1 x n x Figur 4: Interpretção gráfic d Regr dos Trpézios repetid. Exemplo 1 Sej I = 1 0 ex dx, clculr um proximção pr I utilizndo 10 subintervlos e regr dos Trpézios repetid. Pr 10 subintervlos tem-se um psso h igul : h = b n Dess form, como x i+1 = x i + h, então: = = 0.1 = 0.0 x 1 = 0.1 x = 0.. x 9 = 0.9 x 10 = 1.0 Assim: I = 0.1 [ e 0 + e e e e 1] =

5 Métodos Computcionis em Engenhri (DCA00) 5. Primeir Regr de Simpson Est primeir regr é obtid proximndo-se função f(x) por um polinômio interpoldor de segundo gru. Pr isto, serão necessário pontos ( =, x 1 e x = b) igulmente espçdos. onde os termos p i (x) são: e os termos b i são: f(x) = b 0 p 0 (x) + b 1 p 1 (x) + b p (x) p 0 (x) = (x x 1 )(x x ) p 1 (x) = (x )(x x ) p (x) = (x )(x x 1 ) f( ) b 0 = ( x 1 )( x ) f(x 1 ) b 1 = (x 1 )(x 1 x ) f(x ) b = (x )(x x 1 ) Dess form, tem-se que fórmul gerl pr Primeir Regr de Simpson é obtid trvés de: x f(x) dx = b 0 x p 0 (x) dx + b 1 x p 1 (x) dx + b x p (x) dx Resolvendo ests integris e, depois, substituindo x 1 = +h e x = +h, fórmul gerl fic igul : f(x) dx = h [f() + 4f(x 1 ) + f(x )] cuj interpretção signific que os pontos, x 1 e x são interpoldos pelo polinômio de Lgrnge de segundo gru. Exemplo Sej f(x) um função conhecid pens nos pontos tbeldos seguir. Utilizndo primeir regr de Simpson, encontrr um proximção pr 4 f(x) dx. i x i f(x i ) Como, neste cso, o espçmento h é igul 1, então: 4 f(x) dx = 1 [f(.0) + 4f(.0) + f(4.0)] 1 = [ ] = 86 D mesm form como foi relizdo com Regr dos Trpézios, deve-se subdividir o intervlo de integrção [, b] em n subintervlos iguis de mplitude h e, cd pr de

6 Métodos Computcionis em Engenhri (DCA00) 6 subintervlos, plicr Primeir Regr de Simpson. Um observção importnte é que o número de subintervlos deverá ser sempre pr. Assim, sendo h = (b )/n, os pontos serão =, x 1, x, x,..., x n = b. A proximção d integrl de um função ficrá: f(x) dx = h [f() + 4f(x 1 ) + f(x )] + h [f(x ) + 4f(x ) + f(x 4 )] h [f(x n ) + 4f(x n 1 ) + f(x n )] que de um mneir mis simplificd será: f(x) dx = h [f() + f(x n ) + (f(x ) + f(x 4 ) f(x n )) (f(x 1 ) + f(x ) f(x n 1 ))] Exemplo Adicionndo lguns pontos n tbel do exemplo, tem-se: Reclculr integrl 4 i x i f(x i ) Neste cso, o espçmento é h = 0.5. Assim: 4 f(x) dx utilizndo Primeir Regr de Simpson repetid. f(x) dx = 0.5 [f() + f(x 4 ) + f(x ) + 4 (f(x 1 ) + f(x ))] 0.5 = [ ( )] = 86. Segund Regr de Simpson De mneir nálog às nteriores, Segund Regr de Simpson é obtid proximndose função f(x) pelo polinômio interpoldor de terceiro gru. Dess form, trvés d metodologi de Lgrnge: onde os termos p i (x) são: f(x) = b 0 p 0 (x) + b 1 p 1 (x) + b p (x) + b p (x) p 0 (x) = (x x 1 )(x x )(x x ) p 1 (x) = (x )(x x )(x x ) p (x) = (x )(x x 1 )(x x ) p (x) = (x )(x x 1 )(x x )

7 Métodos Computcionis em Engenhri (DCA00) 7 e os termos b i são: Assim: f( ) b 0 = ( x 1 )( x )( x ) f(x 1 ) b 1 = (x 1 )(x 1 x )(x 1 x ) f(x ) b = (x )(x x 1 )(x x ) f(x ) b = (x )(x x 1 )(x x ) f(x) dx b = b 0 p 0 (x) dx + b 1 p 1 (x) dx + b p (x) dx + b p (x) dx (1) Como utiliz-se um polinômio de terceiro gru, então são necessários qutro pontos serem interpoldos: = x 1 = + h x = + h x = + h = b Fzendo integrção indicd pel proximção 1 e substituindo os termos ddos pels equções, então fic-se com seguinte fórmul gerl pr Segund Regr de Simpson: x =b = f(x) dx = h 8 [f() + f(x 1 ) + f(x ) + f(x )] Est segund regr tmbém é conhecid como Regr dos /8. Subdividindo o intervlo [, b] em n subintervlos, onde n deverá ser múltiplo de, tem-se seguinte fórmul pr plicção repetid: xn f(x) dx = h 8 [f() + f(x 1 ) + f(x ) + f(x )+ Exemplo 4 Clculr o vlor d integrl I = + f(x 4 ) + f(x 5 ) + f(x 6 ) f(x n ) + f(x n 1 ) + f(x n )] 4 1 ( ln x + ) e x + 1 dx plicndo regr dos /8 com e 9 subintervlos. Pr subintervlos, tem-se que h = 4 1 = 1. Assim: = 1 f(1) = x 1 = = f() =.884 x = + 1 = f() =.459 x = + 1 = 4 f(4) = ()

8 Métodos Computcionis em Engenhri (DCA00) 8 Portnto: I = 1 8 Pr 9 subintervlos, tem-se que: [ ] = h = = 9 = 1 Pode-se construir um tbel utilizndo este h e = = 1, resultndo em: i x i f(x i ) / / / / / / Aplicndo fórmul d segund regr de Simpson repetid, tem-se: I = h 8 [f() + f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + f(x 4 ) + f(x 5 ) + f(x 6 )+ + f(x 7 ) + f(x 8 ) + f(x 9 )] Por fim, substituindo os vlores correspondentes, o resultdo é I = Exercícios 1. Clculr os vlores ds integris seguir utilizndo Regr dos Trpézios. () 1 0 (b) cos x dx; x+1 1 dx; e x (c) 6 (x + ) dx.. Dd função y = f(x) trvés d tbel seguir, clculr o vlor de I = 0 f(x) dx utilizndo Regr dos Trpézios. i x i y i

9 Métodos Computcionis em Engenhri (DCA00) 9. Resolver s integris seguir utilizndo Primeir Regr de Simpson, com n = 4. () π/ 0 sin (x + 1) cos(x ) dx; e (b) 1 ex dx. 4. Resolver s integris seguir utilizndo Primeir Regr de Simpson, com n = 6. () 1 x (x 1) dx; e (b). (x + x + x + 1) dx. 5. Dd função y = f(x), definid trvés d tbel seguir, clculr f(x) dx plicndo: () A primeir Regr de Simpson; e (b) A segund Regr de Simpson. i x i y i Determinr o vlor I pr n =, plicndo Regr dos Trpézios e segund Regr de Simpson. 1. ( I = x + x + x ) dx Referêncis 1 [1] Cálculo 1 Funções de um Vriável; Gerldo Ávil; Qurt edição; Livros Técnicos e Científicos Editor S.A.; [] Cálculo Numérico (com plicções); Leônids C. Brroso, Mgli M. A. Brroso, Frederico F. Cmpos, Márcio L. B. Crvlho, Mirim L. Mi; Editor Hrbr; Segund edição; [] Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computcionis; Márci A. G. Ruggiero, Ver L. R. Lopes; Mkron Books; Segund edição; 1996.