Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

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1 Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento de um curv. Áre de um superfície de revolução N ul nterior, você prendeu clculr o volume do sólido obtido d revolução de um dd região R em torno do eixo Ox. Em prticulr, você viu como clculr o volume de um esfer de rio r. Agor você verá como obter s áres ds superfícies que recobrem tis sólidos. N ul nterior, usmos os volumes dos cilindros como ponto de prtid no processo de proximção que culminou n integrl. Aqui, esse ppel será desempenhdo pel áre de um tronco de cone. A áre de um tronco de cone reto, de gertriz g, com rio d bse mior R e rio d bse menor r é igul à áre de um trpézio de ltur g, com bse mior πr e bse menor πr. Isso é A π (R + r) g. Sej S superfície obtid d rotção do gráfico d função contínu f : [, b] R cuj restrição o intervlo berto (, b) é de clsse C (dizemos que um função é de clsse C qundo, lém de ser diferenciável, função derivd f é contínu). Queremos tribuir um áre à S. Usremos o seguinte processo de proximção: pr cd prtição x 0 < x < x < < x n b do intervlo [, b], considerremos os troncos de cone obtidos pel revolução dos segmentos de ret que unem os pontos sucessivos (x i, f(x i )) e (x i, f(x i )). Vej n figur seguir. Lembre-se: áre de um trpézio é o produto de su ltur pel médi ritimétic de sus bses. A união desses troncos de cone proximm superfície de revolução, n medid em que tommos prtições mis fins. 43 CEDERJ

2 Aplicções de integris Áres e comprimentos cones: onde l i A áre d superfície obtid pel união dos cones é som ds áres dos A i π ( f(x i ) + f(x i ) ) l i, (x i x i ) + ( f(x i ) f(x i ) ), o comprimento do segmento de ret unindo os pontos (x i, f(x i )) e (x i, f(x i )) é gertriz do tronco que tem como rios ds bses f(x i ) e f(x i ). Usremos gor o fto de f ser um função diferenciável. Pelo Teorem do Vlor Médio, existe um número ξ i [x i, x i ] tl que pr cd i,, 3,..., n. f (ξ i ) f(x i) f(x i ) x i x i, Assim, podemos trocr f(x i ) f(x i ) por f (ξ i ) (x i x i ) n fórmul que determin l i, obtendo: l i (x i x i ) + ( f (ξ i ) (x i x i ) ) x i + ( f (ξ i ) ) x i + ( f (ξ i ) ) xi. Isso decorre do Teorem do Vlor Intermediário. Vej o Teorem 7., d ul 7 de Cálculo I. Além disso, como f é contínu, sbemos que o intervlo limitdo pelos números f(x i ) e f(x i ) está contido n imgem de f. Isto é, equção f(x) M tem solução no intervlo [x i, x i ], pr todos os vlores de M entre os números f(x i ) e f(x i ). Em prticulr, existe ζ i [x i, x i ], tl que f(ζ i ) f(x i ) + f(x i ), pr cd i,,..., n. Isso signific que ζ i é solução d equção f(x) M, onde M é o ponto médio entre f(x i ) e f(x i ). f(ζ i ) f(x i ) + f(x i ). Ou sej, CEDERJ 44

3 Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 seguir. Com mis ess lterção, noss fórmul pr A i π A i ficou ssim: f(ζ i ) + ( f (ξ i ) ) xi. Tomndo o limite desss soms de Riemnn, chegmos à definição Definição 9. Sej f : [, b] R um função contínu e positiv, cuj restrição o intervlo (, b) é de clsse C. A áre d superfície gerd pel rotção do gráfico de f em torno do eixo Ox é definid pel integrl A π f(x) + ( f (x) ) Note que usmos o fto de f ser de clsse C. Assim, usmos o fto de f ser um função contínu, pois então função y f(x) + ( f (x) ) é contínu, grntindo que s soms de Riemnn convergem e integrl d definição está bem definid. Exemplo 9. Áre d esfer de rio r. A esfer de rio r pode ser gerd pel revolução do gráfico d função f(x) r x precismos d derivd de f: em torno do eixo Ox. Pr plicrmos fórmul d áre, f (x) (r x ) / ( x) x r x. Então, + ( f (x) ) + x r x r x + x r x r r x. Assim, f(x) + ( f (x) ) dx r x r r x dx r 45 CEDERJ

4 Aplicções de integris Áres e comprimentos Portnto, áre d esfer de rio r é A π r dx π r x r r r r 4π r. Exercício. Clcule áre do cone de rio d bse r e de ltur h. Exemplo 9. A trombet do njo Gbriel. O exemplo que você verá seguir é bem conhecido devido o seu resultdo surpreendente. Considere superfície obtid pel rotção do gráfico d função f(x), com x [, ), em torno do eixo Ox. O objeto lembr um x trombet, porém de comprimento infinito. Por isso é chmd de trombet do njo Gbriel. Vmos clculr o volume d região limitd pel trombet. Pr isso, usremos fórmul do volume, ms com integrl imprópri, pr incluir tod trombet: ( ) V π f(x) dx π x dx r π lim dx π lim r x r r x π lim r r π. Ótimo! Como integrl imprópri converge, dizemos que trombet, pesr de comprimento infinito, tem π uniddes cúbics de volume. Agor, usndo mesm bordgem, vmos clculr áre d superfíce que recobre. A π x + ( ) x4 + dx π x x 3 CEDERJ 46

5 Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Ms, x4 + lim x x 3 x lim x x6 + x x 3. Como dx diverge, pelo teste do limite do quociente, sbemos que x x4 + integrl imprópri dx diverge. x 3 Ou sej, áre que recobre trombet é infinit. Aqui reside tod incongruênci do exemplo: o njo pode encher trombet com um pouco mis do que 3 uniddes cúbics de tint, ms, mesmo que use tod tint do universo, não poderi pintá-l. Bem, qundo lidmos com trombets de comprimento infinito, devemos esperr coiss surpreendentes. Comprimento de curv Vmos proveitr os rgumentos desenvolvidos n dedução d fórmul d áre pr definir o comprimento de um curv que é o gráfico de um função f, de clsse C. Sej f : [, b] R um função contínu e positiv, diferenciável em (, b), cuj derivd é um função contínu. Como ntes, sej x 0 < x < x < < x n b um prtição do intervlo [, b]. Associd ess prtição, temos um linh poligonl formd pel união dos segmentos de ret que unem os pontos (x i, f(x i )) e (x i, f(x i )), sucessivmente. Ess linh é um proximção pr o gráfico d função f. O comprimento dess linh poligonl é l i (x i x i ) + ( f(x i ) f(x i ) ). 47 CEDERJ

6 Aplicções de integris Áres e comprimentos Como ntes, temos ξ i [x i, x i ], tl que f(x i ) f(x i f (ξ i ) x i e, portnto, l i + ( f (ξ i ) ) xi. Assim podemos definir o comprimento do gráfico d função f, sobre o intervlo [, b], pelo limite desss soms de Riemnn: L + ( f (x) ) Exemplo 9.3 Cálculo do comprimento de um rco de setor de circunferênci. Vmos clculr o comprimento de um rco de circunferênci de rio r, correspondente um ângulo α < π. Vmos posicionr tl setor de tl form que ele estej n prte superior de x + y r, e sejm x e x os pontos correspondentes à projeção do setor no eixo Ox. θ θ θ θ x x θ + θ α Então, o comprimento desse rco é x + ( f (x) ) dx x r r x x x Pr resolver ess integrl, fzemos substituição trigonométric x r sen θ, onde θ e θ são os ângulos que correspondem os vlores x e x, respectivmente: x r sen θ e x r sen θ. Temos dx r cos θ dθ e r x r cos θ. CEDERJ 48

7 Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Assim, x x r r x dx θ θ θ r cos θ r cos θ dθ θ r dθ r (θ θ ) r α. Exercício. Clcule o comprimento do segmento de prábol y f(x) x sobre o intervlo [0, ]. Um not sobre os métodos numéricos As integris d fórmul d áre de um superfície de rotção e do comprimento do gráfico de um função envolvem o rdicl + ( f (x) ). Esse tipo de fórmul costum gerr integris que, do ponto de vist teórico, são integráveis, pois estmos lidndo com funções contínus e o Teorem Fundmentl do Cálculo nos grnte existênci ds primitivs ms, n prátic, são difíceis de se lidr. Isto é, pesr de já termos sob nosso domínio um rzoável rsenl de técnics de integrção, s primitivs ds funções com que estmos lidndo não se expressm como combinções de funções fmilires, como polinomiis, trigonométrics, exponenciis e logritmos. Só pr citrmos um exemplo, pr clculrmos o comprimento d curv y, digmos x x4 + de x té x, terímos de lidr com integrl dx, que não é, extmente, muito migável. Pr lidr, n prátic, com tis situções, podemos lnçr mão dos chmdos métodos numéricos de integrção ou, se dispusermos de um computdor com lgum progrm mtemático, que frá tref de vlir o resultdo. Por exemplo, x4 + dx, x Aqui está um pequeno resumo dos principis métodos numéricos de integrção. O objetivo é de informr s lterntivs no cso de cirmos num integrl pr qul não conhecemos um técnic de integrção dequd. Sej f : [, b] R um função contínu. Vmos subdividir o intervlo [, b] em n subintervlos de mesmo comprimento ( ) h b n. Assim, x0, x x 0 + h, x x + h, e ssim por dinte, té x n b. Vmos denotr y i f(x i ). x 49 CEDERJ

8 Aplicções de integris Áres e comprimentos. Regr Retngulr ou f(x) dx h(y 0 + y + y + + y n ) f(x) dx h(y + y + y y n ). Usmos, então, um prtição homogêne e um ds soms de Riemnn pr proximr o vlor d integrl.. Regr do Trpézio f(x) dx h (y 0 + y + y + + y n + y n ). A idéi motriz desse método é proximr curv y f(x) por segmentos de rets. 3. Regr de Simpson f(x) dx h 3 (y 0 + 4y + y + 4y 3 + y 4 + 4y y n + 4y n + y n ). Ess fórmul funcion pr n pr. A idéi que fz o método funcionr é de que estmos proximndo curv y f(x) por um união de segmentos de prábols. Esse não é o lugr dequdo pr nos profundrmos nesse ssunto, ms é importnte que você sib d existênci de tis métodos. Cso você tenh tempo e pciênci, um máquin de clculr científic lid esss fórmuls pode lhe dr um mneir de, por exemplo, clculr um proximção pr o número e ou o número π. Pr terminrmos, vmos fzer um resumo com s dus principis fórmuls d ul. Fórmul d áre d superfície de revolução do gráfico d função de clsse C sobre o intervlo [, b]: A π f(x) + ( f (x) ) Fórmul do comprimento do gráfico de f: L + ( f (x) ) CEDERJ 50

9 Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Exercícios d ul. Agor, os exercícios, começndo com os que form sugeridos o longo Exercício. Clcule áre do cone de rio d bse r e de ltur h. Solução: Queremos áre d superfície que recobre o cone, sem contr áre d bse. Pr isso, vmos usr o gráfico d função liner que contém os pontos (0, 0) e (h, r) sobre o intervlo [0, h]. O cone será obtido girndo tl gráfico em torno do eixo Ox. Est função é definid por f(x) r h x. Então, f (x) r h A π h r x + r dx π r 0 h h h r + h x πr r + h πrg, h 0 e onde g r + h é gertriz do cone. Exercício. Clcule o comprimento do segmento de prábol y f(x) x sobre o intervlo [0, ]. Solução: Usmos f(x) x, f (x) x e obtemos: L 0 + 4x x Pr clculrmos ess integrl, fremos substituição trigonométric tg θ. Assim, + 4x dx Portnto, sec 3 θ dθ tg θ sec θ + ln sec θ + tg θ + C. L 0 + 4x dx ln ( ). Por exemplo, se, L, CEDERJ

10 Aplicções de integris Áres e comprimentos Ess é um mneir divertid de crir números pr senhs... Agor, lguns exercícios pr você prticr. Exercício 3. Em cd um dos csos seguir, clcule áre d superfície obtid pel revolução do gráfico d função dd, sobre o intervlo indicdo. () f(x) x, [0, ]; (b) f(x) e x, [0, ]; (c) f(x) x, [, 4]; (d) f(x) sen x, Exercício 4. [0, π/]. Ao girrmos circunferênci x +(y ) em torno do eixo Ox, obtemos um superfície que chmmos de toro. Clcule áre dess superfície. Vej o exemplo 8.3. Exercício 5. Determine o comprimento d curv f(x) x 3/ sobre o intervlo [0, 7]. Exercício 6. Determine o comprimento do gráfico de f(x) x3 6 + sobre o intervlo x [, 4]. Exercício 7. Clcule o volume limitdo pel superfície gerd pel revolução do gráfico d função f(x) x /3 em torno do eixo x, pr x, e áre que recobre, se possível. CEDERJ 5