FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT

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1 FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos próximos de. Vmos dr um definição precis do significdo d plvr melhor nest frse e generlizr os conceitos e resultdos pr polinômios de gru rbitrário... Polinômio de Tylor de ordem. Sej f um função derivável em e suponh que P sej um polinômio de gru menor ou igul stisfzendo seguinte condição: f(x) P (x) () = x x Então, temos: () f(x) P (x)] = (x ) f(x) P ] (x) f(x) P (x) = (x ) = =. x x x x x x Como f e P são funções contínus em, temos f() = x f(x) = x P (x) = P (). Sendo P um polinômio de gru menor ou igul que vle f() em x =, ele pode ser escrito como P (x) = A(x ) + f(), pr lgum constnte A. Vmos gor determinr o vlor de A. Pr tnto, re-escrevemos o ite em () como ] f(x) P (x) f(x) f() A(x ) f(x) f() = = A = f () A. x x x x x x Logo, pr que () sej stisfeit, necessrimente A = f (). Vemos ssim que o único polinômio de gru menor ou igul que stisfz () é P (x) = f() + f ()(x ). Note que P () = f() e P () = f () e que y = P (x) é equção d ret tngente o gráfico de f no ponto (, f()). Dizemos que P é o polinômio de Tylor de ordem d função f em torno de. Um mneir de indicr que P depende de f e de seri denotr P por P f,. Embor mis precis, ess notção, de tão pesd, cbri dificultndo leitur. Vmos usr notção mis simples, indicndo no contexto qul é função que é proximd por P e em torno de qul ponto se dá ess proximção.

2 .. Polinômio de Tylor de ordem. Supondo que derivd de f estej definid em um intervlo contendo e que segund derivd de f exist em, vmos gor procurr um polinômio de gru menor ou igul que stisfç (3) x f(x) P (x) (x ) = Ou sej, queremos que, qundo x tende, diferenç f(x) P (x) tend zero tão rpidmente que continue indo zero mesmo se dividid por (x ). O polinômio P será chmdo de polinômio de Tylor de ordem d função f em torno de. Pode ser tentdor dr um nome pr prábol y = P (x) (lgo como prábol gruddíssim o gráfico de f no ponto (, f()) ), ms ninguém fz isso. Qulquer polinômio de gru menor ou igul, P (x) = αx + βx + γ, pode ser escrito como P (x) = A(x ) + B(x ) + C (A = α, B = α + β, C = α + β + γ). Vmos determinr os vlores de A, B e C que tornm firmção (3) verddeir. Se P stisfz (3), então P stisfz tmbém () (isso decorre de um cálculo semelhnte o que fizemos em () ). Dí, temos ] f(x) P (x) A(x ) f(x) B(x ) C f(x) B(x ) C = = + = + x x x x x x x logo, P (x) = B(x ) + C stisfz () e, portnto, P = P, ou sej, C = f() e B = f (). Dí, vem: f(x) P (x) f(x) f() f ] ()(x ) f (x) f () x (x ) = x (x ) A = A = f () A =, x (x ) ou sej, A = f ()/ (n segund pssgem, usmos regr de L Hôspitl). Vemos ssim que, pr um polinômio P stisfzer (3), é necessário que (4) P (x) = f() + f ()(x ) + f () (x ). Tmbém é verdde que este P de fto stisfz (3). Isso pode ser verificdo por meio de um cálculo direto. Alterntivmente, refletindo sobre os rgumentos que usmos pr mostrr que (3) implic (4), vemos que (4) tmbém implic (3). Em resumo, mostrmos que o polinômio P definido em (4) é o único polinômio de gru menor ou igul que stisfz (3). Note que P () = f(), P () = f () e P () = f ().3. Polinômio de Tylor de ordem 3. Vmos gor, supondo que segund derivd de f estej definid em um intervlo contendo e que terceir derivd de f exist em, procurr um polinômio de gru menor ou igul 3 que stisfç (5) x f(x) P 3 (x) (x ) 3 = Ou sej, queremos que, qundo x tende, diferenç f(x) P 3 (x) tend zero tão rpidmente que continue indo zero mesmo se dividid por (x ) 3. O polinômio P 3 será chmdo de polinômio de Tylor de ordem 3 d função f em torno de.

3 Qulquer polinômio de gru menor ou igul 3, P 3 (x) = αx 3 + βx + γx + δ, pode ser escrito como P 3 (x) = A(x ) 3 +B(x ) +C(x )+D (A = α, B = 3α+β, C = 3 α+β+γ, D = 3 α+ β+γ+δ). Vmos determinr os vlores de A, B, C e D que tornm firmção (5) verddeir. Se P 3 stisfz (5), então P 3 stisfz tmbém (3) (isso decorre de um cálculo semelhnte o que fizemos em () ). Dí, temos f(x) P 3 (x) A(x )3 x (x ) = x (x ) + f(x) B(x ] ) C(x ) D (x ) = f(x) B(x ) C(x ) D x (x ) = logo, P (x) = B(x ) + C(x ) + D stisfz (3) e, portnto, P = P, ou sej, D = f(), C = f () e B = f ()/. Dí, vem: ] f(x) P 3 (x) f(x) f() f ()(x ) f () (x ) x (x ) 3 = x (x ) 3 A = f (x) f () f ()(x ) f (x) f () x 3(x ) A = A = f () A =, x 6(x ) 6 ou sej, A = f ()/6 (em dus pssgens, usmos regr de L Hôspitl). Vemos ssim que, pr um polinômio P 3 stisfzer (5), é necessário que (6) P 3 (x) = f() + f ()(x ) + f () (x ) + f () (x ) 3. 6 Tmbém é verdde que este P 3 de fto stisfz (5). Isso pode ser verificdo por meio de um cálculo direto. Alterntivmente, refletindo sobre os rgumentos que usmos pr mostrr que (5) implic (6), vemos que (6) tmbém implic (5). Em resumo, mostrmos que o polinômio P 3 definido em (6) é o único polinômio de gru menor ou igul 3 que stisfz (5). Note que P 3 () = f(), P 3() = f (), P 3 () = f () e P 3 () = f ()..4. Polinômio de Tylor de ordem n. Queremos gor generlizr os três csos cim pr um inteiro rbitrário n. Relendo o que fizemos, dá pr notr que provmos um pouco mis do que firmmos explicitmente. Provmos, pr n 3: f(x) P n (x) f(x) P n (x) (7) x (x ) n = e x (x ) n = f (n) (). Teorem. Suponh que f é um função possuindo s derivds de ordem menor do que n definids em um intervlo I que contém o ponto e que n-ésim derivd f (n) () existe. Então P n (x) = f() + f ()(x ) + f ()! (x ) + f () 3! (x ) f (n) () (x ) n = (convencionmos que f () = f e! = ) é o único polinômio de gru menor ou igul n stisfzendo (8) x f(x) P n (x) (x ) n =. n k= f (k) () (x ) k k! O polinômio P n é chmdo de polinômio de Tylor de ordem n d função f em torno de. Note que P (k) n () = f (k) (), k n.

4 O Teorem se demonstr por indução sobre n, incluindo n hipótese de indução que tmbém segund ds dus equções em (7) é stisfeit pr cd n. Isso será usdo pr função f, no cálculo do coeficiente do termo de mior gru de P n (ssim, bst plicr um vez Regr de L Hôspitl; poderímos ter usdo esse rgumento já no cso n = 3, em vez de ter plicdo dus vezes Regr). Outro ingrediente importnte é que qulquer polinômio de gru menor ou igul n pode ser escrito, de mneir únic, como A n (x ) n + A n (x ) n + + A (x ) + A.. Estimtiv do erro Sbemos que P n, o polinômio de Tylor de ordem n de f em torno de, é o polinômio de gru menor ou igul n que melhor proxim f num vizinhnç de, no sentido de ser ele o único polinômio de gru menor ou igul n que stisfz (8), ou sej, que diferenç entre ele e f tende zero, qundo x tende, mis rápido do que (x ) n. Est é chmd form infinitesiml de estimr o erro f P n. Pr lgums plicções, est informção já é suficientemente útil. Ms às vezes é necessário obter mis preciss estimtivs globis, válids em todos os pontos de um intervlo que contenh. Os teorems dest seção exigem hipóteses mis fortes do que s do Teorem. Pedimos que (n + )-ésim derivd de f estej definid e sej contínu em todos os pontos de um intervlo I contendo o ponto. Diz-se de um tl função que el é de clsse C n+ em I. Teorem. Sej f um função de clsse C n+ em um intervlo I que contém o ponto. Suponh que f (n+) sej itd em I, isto é, suponh que existe um constnte M > tl que f (n+) (x) M pr todo x I. Sej P n o polinômio de Tylor de ordem n de f em torno de. Então estimtiv (9) f(x) P n (x) M x n+ (n + )! é stisfeit por todo x I. Usremos o Teorem em exemplos n próxim seção. Ele é consequênci do (mis preciso) teorem seguinte. Teorem 3. Sej f um função de clsse C n+ em um intervlo I que contém o ponto. Sej P n o polinômio de Tylor de ordem n de f em torno de. Então iguldde () f(x) P n (x) = é verddeir pr todo x I. (x s) n f (n+) (s) ds Demonstrç~o: Pr n =, fórmul () se reduz o Teorem Fundmentl do Cálculo: f(x) f() = f (x) dx. Pr provr () pr n = plicmos o ldo direito d iguldde fórmul de integrção por prtes x () u(s)v (s) ds = u(s)v(s) u (s)v(s) ds, fzendo u(s) = x s, v (s) = f (s), u (s) = e v(s) = f (s): x (x s)f (s) ds = (x s)f (s) + f (s) ds = f ()(x ) + f(x) f(). Isto prov () pr n =.

5 O cso gerl demonstr-se por indução sobre n. Suponhmos que () foi demonstrd pr n e pliquemos () o ldo direito de (), fzendo u(s) = (x s) n, v (s) = f (n+) (s), u (s) = n(x s) n e v(s) = f (n) (s). Isso e hipótese de indução fornecem: f (n) () (x ) n + (n )! como querímos demonstrr. (x s) n f (n+) (s) ds = x (x s)n f (n) (s) + n (x s) n f (n) (s) ds = f (n) () O Teorem segue do Teorem 3 e do seguinte lem, plicdo g = f (n+). (x s) n f (n) (s) ds = (x ) n + f(x) P n (x) = f(x) P n (x), Lem. Sej g um função contínu definid em um intervlo I stisfzendo g(x) M pr lgum constnte M e pr todo x I. Ddos e x em I e um inteiro n, temos (x s) n g(s) ds M n + x n+. Demonstrç~o: Suponhmos primeiro que x >. Então, pr todo s no domínio de integrção, (x s) n. Dí, vem: x (x s) n g(s) ds (x s) n g(s) ds M (x s) n (x s)n+ ds = M (x )n+ n + = M, n + como querímos. No cso em que > x, fzendo mudnç de vriável σ = x + s n integrl, vem: (x s) n g(s) ds = ( ) n+ ( σ) n g(x + σ) dσ. Agor podemos plicr o cso já demonstrdo do Lem à função g(σ) = g(x + σ), com no lugr de x e x no lugr de. Isso conclui demonstrção. x 3. Exemplos Todos os exemplos dest seção serão de polinômios de Tylor em torno de (ou sej, o ds dus seções nteriores será igul zero). Est escolh não se crcteriz como um perd grve de generlidde, pois um mudnç de vri veis trnsform o cso gerl no cso =. O exemplo mis cnônico é o d função g(x) = ln x, x >. É fácil determinr s derivds de tods s ordens de g em x = e ssim escrever os polinômios de Tylor de g em torno de. Em vez disso, encontrremos os polinômios de Tylor de f(x) = ln(x + ) em torno de x =. Exemplo. Sej f(x) = ln( + x), x >. Pr cd inteiro positivo n, temos f (x) = + x, f (x) = ( + x), f (x) = ( + x) 3, f (4) (x) =.3 ( + x) 4, f (n) (x) = ( )n+ (n )! ( + x) n e, dí, f (n) () = ( ) n+ (n )!. Assim, usndo que n de f em torno de é ddo por: (n )! P n (x) = x x + x3 xn + + ( )n+ 3 n. =, temos que o polinômio de Tylor de ordem n Pr todo x, f (n+) (x). Segue então do Teorem plicdo o ponto = e o intervlo I =, + ): ] () ln( + x) x x + x3 xn + + ( )n+ 3 n (n + )! x n+ = n + xn+, pr todo x >.

6 Fzendo, por exemplo, x = nest fórmul, vem (3) ln + 3 ] ( )n+ <, pr todo inteiro positivo n. n n + n ( ) k+ O ldo direito de (3) tende zero qundo n tende infinito. Logo, som fic tão próxim de k k= ln qunto se queir, desde que n sej suficientemente grnde. Isso se denot por n ( ) k+ ( ) k+ ln = =. n k k k= Est fórmul pode ser belíssim, ms estimtiv (3) não é um ferrment eficiente pr se proximr ln por números rcionis. Se gente quiser, por exemplo, três css decimis correts, é preciso clculr um som de mil prcels. Um mneir mis rápid de se obter proximções rcionis do logritmo de números positivos é sugerid bixo, em um exercício logo pós o Exemplo 7 k= Exemplo. Pr cd inteiro l, os polinômios de Tylor de ordem l + e de ordem l + d função f(x) =sen x, x R, em torno de são iguis: P l+ (x) = P l+ (x) = x x3 3! + x5 5! + + x l+ l ( )l (l + )! = ( ) k x k+ (k + )!. Usndo o Teorem com n = l +, e lembrndo que f (n) (x) pr todo n e pr todo x, vem: ] sen x x x3 3! + x5 xl+ + + ( )n x l+3, pr todo l N, pr todo x R. 5! (l + )! (l + 3)! Compre o que obtivemos qui com o Problem d d List d Poli ( k= Exemplo 3. Pr cd inteiro l, os polinômios de Tylor de ordem l e de ordem l + d função f(x) = cos x, x R, em torno de são iguis: P l (x) = P l+ (x) = x! + x4 xl + + ( )l 4! (l)! = l k= ( ) k xk (k)!. Seguindo um linh de rgumentos muito precid com do Exemplo, pode-se mostrr que ] cos x x! + x4 xl + + ( )l x l+, pr todo l N, pr todo x R. 4! (l)! (l + )! Exemplo 4. Sej f(x) = ( + x) /, x >. O polinômio de Tylor de ordem 4 de f em torno de é P 4 (x) = + x 8 x + 6 x3 5 8 x4. Mis gerlmente, pr cd inteiro n >, usndo que f (x) = ( + x), f (x) = ( ) ( + x) 3, f (3) (x) = ( ) ( ) ( + x) 5, (4), f (n) (x) = ( ) ( ) ( ) n + ( + x) n, vemos que o polinômio de Tylor de ordem n de f em torno de é ddo pel expressão P n (x) = + x + ( ) x! + ( ) ( ) ( x 3 ) 3! + + x n = n n k= ( ) x k, k

7 em que ( ) k, k n, denot o chmdo coefiiciente binomil ( ) = ( ) ( ) ( )] k k! k +. Exercício: () Encontre o polinômio de Tylor de ordem n de f(x) = ( + x) /4 em torno de x =. (b) Sem usr clculdor, encontre inteiros p e q tis que 4 8 p q < 3. Confir o resultdo com jud de um máquin de clculr. Exemplo 5. O polinômio de Tylor de ordem n d função f(x) = e x em torno de x = é P n (x) = + x + x! + x3 3! + xn. Usndo que < f(x) pr todo x e plicndo o Teorem pr o intervlo I = (, ], segue que ) ex ( + x + x! + x3 3! + + xn x n+, pr todo n N, pr todo x. (n + )! Usndo que < f(x) e M pr todo x M e M >, e plicndo o Teorem pr o intervlo I =, M], segue que ) ex ( + x + x! + x3 3! + + xn e M x n+, pr todo n N, pr todo x M. (n + )! Fzendo M = e x = nest desiguldde e usndo que e < 3, vem: ( e + +! + 3! ) < (n + )!. Est desiguldde permite proximr e por rcionis com precisão rbitrrimente pequen, por exemplo, ( e + + = 6) e 8 3 < 8. Exercício: Sem usr clculdor, encontre inteiros p e q tis que p q < e < p q + 5. Use máquin de clculr pr conferir o resultdo. Nos próximos exemplos, vmos usr s seguintes proprieddes d integrl (que, n verdde, já usmos n demonstrção do Lem ): Se f e g são funções contínus em, b] e f(x) g(x) pr todo x, b], então b b Se f é um função contínu em, b], então f(t) dt f(t) dt. b f(x) dx b g(x) dx. A motivção pr estudr o exemplo seguinte vem d teori ds probbiliddes. A densidde de probbilidde de um distribuição norml (pr certos vlores dos prmêtros que definem) é dd pel função f(x) = π e x, x R. Exemplo 6. Nosso objetivo gor é clculr vlores proximdos de que, pr todo inteiro postivo n e pr todo x <, e x = + x + x! + x3 3! + + xn + E n(x), e t dt, x R. Vimos no Exemplo 5

8 sendo que o erro E n (x) stisfz E n (x) x n+ x. Substituindo t = (n + )! nests firmções, vem: e t t = + t4! t6 tn ( )n 3! n + Ẽn(t), Ẽn(t) = E n ( t t n+ /) n+ (n + )!, dí ] e t t x t4 dt = +! t6 tn ( )n 3! n dt + Ẽ n (t) dt = 3 + 5! 7 3 3! + + ( ) n ] (n + ) n + ɛ n (x). x Supondo x > pr fcilitr (não se perde nd com ess restrição, pois e t dt = estimr o erro ɛ n (x) por ɛ n (x) = Ẽ n (t) dt Ẽn(t) dt Fzendo, por exemplo, x = e n =, vem: sendo e t t n+ n+ (n + )! dt = x n+3 (n + 3) n+ (n + )!. e t dt = 3 + 5! + δ = 3 + δ, (δ = ɛ ()), δ 7 3 3! = 336. Podemos conferir o resultdo usndo o WolfrmAlph, que dá vlor e 3 =, é menor do que, 7, que é menor do que 336 dt), podemos e x dx =, A diferenç entre este, o que confirm noss estimtiv. Exemplo 7. (Exemplo revisitdo.) Sej n um inteiro positivo. Substituindo = t n identidde n = n,, obtém-se: + t = t + t + + ( ) n t n + ( )n t n, pr todo t. + t Integrndo est identiddde de x, vem (5) ln( + x) = x x + x3 xn + + ( )n 3 n + ( )n t n dt, pr todo x >. + t Pr cd x >, o erro ln( + x) x x + x ( )n xn n ] é positivo se n é pr e negtivo se n é ímpr, seu vlor bsoluto stisfz e, portnto, (6) ln( + x) x x + x3 3 (re-obtivemos ssim ()). t n + t dt < ] xn + + ( )n+ n t n dx = xn+ n + Pr < x <, fzendo mudnç de vriável s = t n integrl, vem ( ) n t n + t dt = ( t) n + t dt = (n + )! x n+ = n + xn+, pr todo x >. x e, dí, o erro é negtivo pr todo n, seu vlor bsoluto stisfz t n ( )n + t dt x = s n s ds x e, dí, (7) ln( + x) x x + x3 3 ] xn + + ( )n+ n s n s ds = x s n ds = x s n s ds x n+ ( x )(n + ) x n+, se < x <. ( x )(n + )

9 Segue de (6) e de (7), por confronto,: ln( + x) x ] x x + x ( )n+ xn n x n =. Assim re-encontrmos, sem usr fórmul de Tylor, o único polinômio de gru menor ou igul n que stisfz (8) pr f(x) = ln( + x) e =. Exercício: () Usndo que t = + t + t + + t n + tn, pr todo t, mostre que t ln( x) = x + x + x xn n + t n+ t dt, pr todo x <. (b) Fzendo n = l, l inteiro positivo, e somndo equção (5) à equção obtid no item nterior, mostre que ln + x ) (x x + x xl t l+ = dt, < x <. l t (c) Fzendo x = 3, escolh l tl que t l+ t dt fique menor do que 3 (Dic: se t 3, então t 9 8 ). (d) Sem usr máquin, encontre inteiros p e q tis que p q < ln < p q + 3. Exemplo 8. Sej n um inteiro positivo. Substituindo = t n identidde n+ = n,, obtém-se: + t = t + t ( ) n t n + ( )n+ t n+ + t, pr todo t R. Integrndo est identiddde de x, vem Defin rctn x = x x3 3 + x5 xn+ + + ( )n 5 n + + ( )n+ Dí, pr cd x >, e, portnto, Segue que P n+ (x) = x x3 3 + x5 xn+ + + ( )n 5 n + f(x) P n+ (x) = t n+ + t dt < t n+ dt, pr todo x R. + t t n+ dx = xn+3 n + 3 f(x) P n+ (x) x n+3, pr todo x R. n + 3 (8) x rctn x P n+ (x) x n+ =. Pelo Teorem, existe um único polinômio de gru menor ou igul n+ stisfzendo (8). É ele o polinômio de Tylor de ordem n + de f(x) = rctn x em torno de (que, sendo ele um polinômio de gru n +, é igul tmbém o polinômio de Tylor de ordem n + de f em torno de ). Isto é, temos seguinte iguldde de polinômios: x x3 3 + x5 xn+ + + ( )n 5 n + = f() + f ()x + f ()! x + + f (n+) () (n + )! xn+ + f (n+) () (n + )! xn+. Decorre, então, que tods s derivds de ordem pr de f(x) = rctn x são nuls em x = (o que não é novidde, pois tod função ímpr tem est propriedde) e, pr todo inteiro positivo n, f (n+) () = ( ) n (n)!.