Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Transcrição

1 Integrl Definid

2 Interpretção Geométric Áre de um figur pln

3 Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S.

4 Interpretção Geométric Dividimos o intervlo [,] em n su-intervlos tl que =x0<x1<x2<...<xn=. Sej xj=xj-xj-1 o comprimento do intervlo [xj-1,xj]. Sej cj [xj-1,xj].

5 Interpretção Geométric n=4 n=8

6 Interpretção Geométric A áre de cd retângulo é: Aj=f(cj) xj. A som ds áres dos n retângulos é: n Sn = Aj j =1 n Sn = f (c j ) x j j =1 Est som é chmd som de Riemnn d função f(x).

7 Interpretção Geométric A medid que n cresce muito e cd xj, j=1,2,3,...,n torn-se pequeno, som ds áres retngulres proxim-se do que intuitivmente entendemos como áre de S.

8 Definição Definição: Sej y=f(x) um função contínu não negtiv em [,]. A áre so curv y=f(x), de té, é definid por: n A = lim mx x j 0 f (c ) x j j j =1 onde cj [xj-1,xj]. OBS: É possível mostrr que este limite existe e é um número não negtivo.

9 Definição Definição: Sej f(x) um função definid em um intervlo [,]. Suponh que este intervlo estej dividido em n prtes de lrgur xj e sej xj-1 cj xj pr j=1,2,...,n. A integrl definid de f em [,] é dd por: n f ( x)dx = lim mx x j 0 f (c ) x j j j =1 se este limite existir. Se f ( x)dx existe, dizemos que f é integrável em [,].

10 Teorem Teorem: Se f(x) é contínu em [,] então el é integrável em [,]

11 Oservções 1- N notção f ( x)dx os número e são chmdos limites de integrção ( é o limite inferior e é o limite superior) 2- Se f(x) é contínu e não negtiv em [,], integrl definid f ( x)dx é áre d região so o gráfico de f de té.

12 Teorem Fundmentl do Cálculo O cálculo de um integrl definid trvés d su definição pode ser complexo e inviável em lgums situções. Portnto não utilizmos pr clculr integris, e sim um teorem que é considerdo um dos mis importntes do cálculo: Teorem: Se f(x) é um função contínu no intervlo [,] e F (x)=f(x) então: f ( x)dx = F ( x) xx == = F () F ( )

13 Exemplos 3 1) x 2 dx 1 2 2) 2 x 2 0 3) x + 1dx x dx 2 x +1 4) e x xdx 0 3

14 Proprieddes d Integrl Definid Sej f(x) e g(x) funções integráveis em [,] então: ) kf ( x)dx =k f ( x)dx, k constnte ) [ f ( x) ± g ( x)] dx = f ( x)dx ± g ( x)dx c c c) f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx, < c < d ) f ( x) 0 pr todo x [, ] f ( x)dx 0 e) f ( x) g ( x) pr todo x [, ] f ( x)dx g ( x)dx f ) f ( x)dx = f ( x)dx, > g )Se f ( ) existe ento f ( x)dx = 0

15 Cálculo de áres Cso 1: Cálculo d áre d figur pln limitd pelo gráfico de f, pels rets x= e x= e o eixo dos x, onde f é contínu e f(x) 0, pr x [,]. A = f ( x)dx

16 Cálculo de áres Cso 2: Cálculo d áre d figur pln limitd pelo gráfico de f, pels rets x= e x= e o eixo dos x, onde f é contínu e f(x) 0, pr x [,]. A= f ( x)dx = f ( x)dx

17 Exemplos 1) Clcule áre d região delimitd pelo eixo x e pel função f(x)=2x+1, no intervlo [1,3]. 2) Clcule áre d região delimitd pelo eixo x e pel função f(x)=x²-4x, no intervlo [1,3]. 3) Clcule áre d região delimitd por f(x)=x³-2x²-5x+6 pr x [-2,3]. E clcule 3 2 f ( x)dx

18 Cálculo de áres Cso 3: Áre de regiões entre curvs Cálculo d áre d figur pln limitd pelos gráficos de f e g, pels rets x= e x=, onde f e g são funções contínus em [,] e f(x) g(x), pr x [,]. ) f ( x) 0, g ( x) 0 e f ( x) g ( x), x [, ] A = f ( x)dx g ( x)dx = [ f ( x) g ( x)] dx

19 Cálculo de áres ) f ( x) 0, g ( x) 0 e f ( x) g ( x), x [, ] A = f ( x)dx + g ( x)dx = [ f ( x) g ( x)] dx

20 Cálculo de áres c) f ( x) 0, g ( x) 0 e f ( x) g ( x), x [, ] A = g ( x)dx f ( x)dx = f ( x)dx g ( x)dx = [ f ( x) g ( x) ] dx

21 Exemplos Encontre áre d região limitd pels curvs dds: 1) f(x)=-x²+4x e g(x)=x² 2) y²=2x-2 e y=x-5 3) f(x)=x³ e g(x)=x 4) f(x)=senx e g(x)=cosx, π 4 x 9π 4

22 Teorem do Vlor Médio pr Integris Teorem: Se f é um função contínu em [,], então existe z (,) tl que 1 f ( z) = f ( x)dx ou sej, existe z (,) tl que f ( x)dx = f ( z )( ) OBS: O vlor médio de f em [,] é ddo por: 1 VM = f ( x)dx

23 Teorem do Vlor Médio pr Integris Interpretção Geométric Se f(x) 0, pr x [,], então áre so o gráfico de f é igul áre do retângulo de ldos - e f(z)

24 Exemplos 1) Um pesquisdor estim que t hors depois d mei noite, em um período típico de 24 hors, tempertur em cert cidde é dd por: T(t)=3-2/3(t-13)², 0 t 24 grus Celsius. Qul é tempertur médi n cidde entre 6 d mnhã e 4 d trde? 2) Encontre o vlor médio de f ( x) = 3 x + 1 no intervlo [-1,8] e determine o vlor de x que corresponde o vlor médio de f.