MAT-140 Integrais. Walter T. Huaraca Vargas. 1 de Agosto de 2016

Transcrição

1 MAT-140 Integris Wlter T. Hurc Vrgs 1 de Agosto de 2016

2 Integrl Indefinid Definição Sej I um intervlo e F : I Ñ R. Um função F : I Ñ R tl que F 1 pxq f pxq, pr todo x P I, é chmd de primitiv ou ntiderivd de f em I o que denotremos por: F pxq Antpf P I

3 Integrl Indefinid Definição Sej I um intervlo e F : I Ñ R. Um função F : I Ñ R tl que F 1 pxq f pxq, pr todo x P I, é chmd de primitiv ou ntiderivd de f em I o que denotremos por: F pxq Antpf P I Exemplo Achr ntiderivds pr s seguintes funções: 1 f pxq 4x 3 2 gpxq e x

4 Proposição Sej F : I Ñ R um função denid no intervlo berto I e F : I Ñ R um ntiderivd ou primitiv de f. Se F 1 : I Ñ R é um outr primitiv de f, então: F 1 pxq F pxq ` C Pr lgum constnte C P R.

5 Proposição Sej F : I Ñ R um função denid no intervlo berto I e F : I Ñ R um ntiderivd ou primitiv de f. Se F 1 : I Ñ R é um outr primitiv de f, então: F 1 pxq F pxq ` C Pr lgum constnte C P R. Definição Sej F pxq um primitiv de f pxq denid no intervlo I. A integrl indenid de f pxq é o conjunto de tods s primitivs de f pxq denids no intervlo I e denotremos por: ż f pxqdx F pxq ` C Onde C é um constnte, chmd de constnte de integrção, f pxq é chmdo de integrndo, f px qdx é chmdo de elemento de integrção, ş f pxqdx é chmd d integrl indenid de f pxq em relção à x

6 Observção D denição nterior deduzimos: 1 ż d dx p ż f pxqdxq p f pxqdxq 1 pf pxq ` Cq 1 f pxq

7 Observção D denição nterior deduzimos: 1 ż d dx p ż f pxqdxq p f pxqdxq 1 pf pxq ` Cq 1 f pxq 2 Se f é um função derivável em I, então um primitiv de f 1 é f, ssim: ż f 1 pxqdx f pxq ` C

8 Observção D denição nterior deduzimos: 1 ż d dx p ż f pxqdxq p f pxqdxq 1 pf pxq ` Cq 1 f pxq 2 Se f é um função derivável em I, então um primitiv de f 1 é f, ssim: ż f 1 pxqdx f pxq ` C Exemplo Clculr s integris indenids: ş 1 4x 3 dx ş e x dx ş 1 lnpxqdx, clcule pxlnpxq xq ş dx 1`x 2

9 Proprieddes Proposição Se f e g são funções que dmitem ntiderivds no intervlo I e k P R um constnte qulquer, então s funções f g e kf dmitem ntiderivds em I e tems: 1 ż ż rf pxq gpxqsdx ż f pxqdx gpxqdx

10 Proprieddes Proposição Se f e g são funções que dmitem ntiderivds no intervlo I e k P R um constnte qulquer, então s funções f g e kf dmitem ntiderivds em I e tems: 1 ż ż rf pxq gpxqsdx ż f pxqdx gpxqdx 2 ż ż rkf pxqsdx k f pxqdx

11 Proprieddes Proposição Se f e g são funções que dmitem ntiderivds no intervlo I e k P R um constnte qulquer, então s funções f g e kf dmitem ntiderivds em I e tems: 1 ż ż rf pxq gpxqsdx ż f pxqdx gpxqdx 2 ż rkf pxqsdx k ż f pxqdx Exemplo Clculr ż re x 4x 3 ` Lnpxqsdx

12 Integris Imedits Se conhecemos f 1 pxq, pel observção nterior, deduzimos que: ż f 1 pxqdx f pxq ` C

13 Integris Imedits Se conhecemos f 1 pxq, pel observção nterior, deduzimos que: ż f 1 pxqdx f pxq ` C ş dx x ` c ş x n dx x n`1 ` c, n 1 n`1 ş u n du un`1 ` c, n 1 n`1 ş u du u Lnpq ` c, ą 0, 1 ş e u du e u ` c ş senpuqdu cospuq ` c ş cospuqdu senpuq ` c ş tgpuqdu Lnp secpuq q ` c ş ctgpuqdu Lnp senpuq q ` c ş secpuqdu Ln secpuq ` tgpuq ` c ş cscpuqdu Ln cscpuq ctgpuq ` c ş sec 2 puqdu tgpuq ` c ş csc 2 puqdu ctgpuq ` c

14 Integris Imedits ş secpuqtgpuqdu secpuq ` c ş cscpuqctgpuqdu cscpuq ` c ş du u ş du u 2`2 ş ş ş ş du Lnp u q ` c du u 2 2 du 2 u 2 1 rctgpu q ` c 1 u Ln ` 2 u` c 1 `u Ln ` 2 u c du? 2 u 2 rcsenp u q ` c du?u 2 2 Ln u `?u 2 2 ` c ş du?u 2` 2 Ln u `?u 2 ` 2 `c ş du u?u 1 rcsecp u q ` 2 2 c ş du? 1 2`u2 ş du? 1 2 u2 ş? 2 u 2 du 1 `? 2`u2 Lnp q`c u `? 2 u2 Lnp q`c u u? 2 2 u 2 ` 2 rcsenp u q ` 2 ş? c u2 2 du 1 u? u 2 2? Ln u ` u2 2 ` c

15 Integris Imedits Exemplo Clcule s seguintes integris: ş?? 1 p 2 xq 2 dx ş 2`?x 3x5 6x x 3 dx ş ş x 2`2 x 2 dx px2`4q dx x ş 4 9 x2`13 dx?x2`9 ş sen 2 pxqdx 7 ş p1 ` x 3 q 665 x 2 dx

16 métodos de integrção: Mudnç de Vriável Proposição Se y f puq é um função derivável em u, u gpxq função derivável em x e F é um ntiderivd de f, então: ż f pgpxqqg 1 pxqdx F pgpxqq ` C Se fzemos u gpxq, então du g 1 pxqdx, então: ż ż f pgpxqqg 1 pxqdx f puqdu F puq ` C

17 Exemplo Clculr s seguintes integris: ż 1 x 4 7? x 5 ` 1 dx ż rcsenpxqdx? x x 2 ż xdx e 3x p1 xq 4 ş c b 2 ` 2 ` 2 ` 2cosp5? x ` 4qx 1 2 dx 2 Aul

18 métodos de integrção: por prtes Sejm u e v funções denids e deriváveis no intervlo I, temos dpuvq vdu ` udv de onde temos: udv dpuvq vdu integrndo obtemos: ż ż udv uv vdu

19 Exemplo Clculr: ş 1 Lnpxqdx ş px 2 ` 3x 1qe 2x dx cospxq`xsenpxq 1 psenpxq xq 2 dx ż e senpxq pxcos 3 pxq senpxqq cos 2 dx pxq 3 Aul

20 métodos de integrção: frções prciis simples Diremos que um frção é simples se tem lgum ds forms bixo: 1 f pxq x r 2 f pxq px rq n com integrl ż com integrl ż dx Ln x r ` C x r px rq n dx p1 nqpx rq n 1 ` C 3 f pxq x`b dx pr clculr est integrl, devemos fzer: px 2`qx`r x ` b q p2px ` qq 2p 2p ` b

21 métodos de integrção: frções prciis 1 Sej função rcionl f pxq Ppxq Qpxq, onde Ppxq e Qpxq são polinômios de gru m e n respetivmente. Se m ă n diremos que função rcionl é própri e se m ě n, diremos que el é imprópri. 2 Se pxq Ppxq Qpxq é um função rcionl imprópri, pelo lgoritmo de divisão, existem polinômios Cpxq e Rpxq únicos tis que Ppxq Rpxq Cpxq ` Qpxq Qpxq Onde o gru de Rpxq é menor que o gru de Qpxq, Cpxq e Rpxq são, respetivmente, o quociente e o resto d divisão entre Ppxq e Qpxq. 3 Do item nterior, temos que: ż ż ż Ppxq f pxqdx Qpxq dx Cpxqdx ` ż Rpxq Qpxq

22 Teorem Se Ppxq e Qpxq são polinômios de gru n e m respetivmente com n ě 1 e m ă n, então: Qpxq px r 1 q n 1px r 2 q n 2 px r k q n k px 2`p 1 x`q 1 q m 1px 2`p 2 x`q 2 q m 2 px 2`p s x`q sq ms Onde todos os ftores são polinômios irredutíveis e n n 1 ` n 2 ` n k ` m 1 ` m 2 ` m s

23 Teorem (continco do teorem nterior) e temos que: Ppxq Qpxq A 11 x r 1 ` A12 px r 1 ` q 2 ` A21 x r 2 ` A22 px r 2 ` q 2 ` ` Ak1 x r k ` Ak2 ` px r k q 2 A 1n1 px r 1 q n 1 A 2n2 px r 1 q n 2 A knk px r 1 q n k ` B11x`C 11 x 2`p 1 x`q 1 ` B12x`C 12 px 2`p 1 x`q 1 q 2 ` ` B21x`C 21 x 2`p 1 x`q 1 ` B22x`C 22 px 2`p 1 x`q 1 ` q 2 ` ` Bs1x`C s1 x 2`p 1 x`q 1 ` Bs2x`C s2 px 2`p 1 x`q 1 ` q 2 B 1m1 x`c 1m1 px 2`p 1 x`q 1 q m 1 B 2m2 x`c 2m2 px 2`p 1 x`q 1 q m 2 B sms x`c sms px 2`p 1 x`q 1 q ms

24 Exemplo 1 Clculr ş x 3 3x`3 dx x2 x 2 2 Clculr ş x 2 6x`8 dx x2`x`5 3 Clculr ş 1 dx x3`1 4 Clculr ş tnpxqdx 3 e 4 Aul

25 métodos de integrção:substitução Trigonomêtric ż Rpx, px 2 ` qx ` rqdx Completndo qudrdos, podemos mudr expressão num ds forms: " u 1 senpθq, ą 0 2 u 2, fzemos substituição du cospθqdθ " u 2 tnpθq, ą 0 2 ` u 2, fzemos substituição du sec 2 pθqdθ " u 3 secpθq, ą 0 u 2 2, fzemos substituição du secpθqtnpθqd θ

26 Exemplo Clculr s seguintes integris: ş? 1 9 x 2 dx ş ş dx x 2? 16`9x 2 dx p1`x q??1`x4 x ş 4 2 e x dx p9e 2x `1q 3 2 ş? x? 1 xdx 2 x

27 Integrl Definid: Somtorios Definição Sejm m, n P Z tl que m ď n e f piq um função denid pr todo i P Z. Denotremos nÿ f piq f pmq ` f pm ` 1q ` f pnq i m i é chmdo de indice, m é chmdo de limite inferior e n é chmdo de limite superior.

28 Integrl Definid: Somtorios Definição Sejm m, n P Z tl que m ď n e f piq um função denid pr todo i P Z. Denotremos nÿ f piq f pmq ` f pm ` 1q ` f pnq i m i é chmdo de indice, m é chmdo de limite inferior e n é chmdo de limite superior. Exemplo 6ÿ 1 Se f piq i 2, clculr f piq i 2 2 Se f piq senpixq, clculr nÿ f piq i 1

29 proprieddes dos sumtorios Sej f e g funções denids pr todo inteiro e k um constnte, então: nÿ 1 pn m ` 1qk i m

30 proprieddes dos sumtorios Sej f e g funções denids pr todo inteiro e k um constnte, então: nÿ 1 pn m ` 1qk 2 i m nÿ kf piq k i m i m nÿ f piq

31 proprieddes dos sumtorios Sej f e g funções denids pr todo inteiro e k um constnte, então: nÿ 1 pn m ` 1qk 2 3 i m nÿ kf piq k i m nÿ f piq i m nÿ pf piq gpiqq nÿ nÿ f piq gpiq i m i m i m

32 proprieddes dos sumtorios Sej f e g funções denids pr todo inteiro e k um constnte, então: nÿ 1 pn m ` 1qk i m nÿ kf piq k i m nÿ f piq i m nÿ pf piq gpiqq i m nÿ nÿ f piq gpiq i m i m nÿ rf piq f pi 1qs f pnq f pm 1q i m

33 proprieddes dos sumtorios Sej f e g funções denids pr todo inteiro e k um constnte, então: nÿ 1 pn m ` 1qk i m nÿ kf piq k i m nÿ f piq i m nÿ pf piq gpiqq i m nÿ nÿ f piq gpiq i m i m nÿ rf piq f pi 1qs f pnq f pm 1q i m nÿ rf pi ` 1q f pi 1qs f pn ` 1q ` f pnq f pmq f pm 1q i m

34 Exemplo 400 ÿ 1 Clculr p? i?i 1 ` 4q i 5 2 Prove que 3 Prove que nÿ npn ` 1q i 2 nÿ i 2 npn ` 1qp2n ` 1q 6 i 1 i 1

35 Integrl definid Definição Sej r; bs um intervlo fechdo. Um prticão do intervlo r; bs é o conjunto P de pontos x 0, x 1, x n com x 0 ă x 1 ă ă x n b e será denotdo por P tx 0, x 1, x n u.

36 Integrl definid Definição Sej r; bs um intervlo fechdo. Um prticão do intervlo r; bs é o conjunto P de pontos x 0, x 1, x n com x 0 ă x 1 ă ă x n b e será denotdo por P tx 0, x 1, x n u. Observção 1 A prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs divide r; bs em n subintervlos.

37 Integrl definid Definição Sej r; bs um intervlo fechdo. Um prticão do intervlo r; bs é o conjunto P de pontos x 0, x 1, x n com x 0 ă x 1 ă ă x n b e será denotdo por P tx 0, x 1, x n u. Observção 1 A prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs divide r; bs em n subintervlos. 2 O comprimento do subintervlo rx i 1 ; x i s, pr i 1, 2,, n, é denotdo por i x x i x i 1 e temos nÿ i x b i 1

38 Observção 1 Denominremos norm d prtição P ou diámetro d prtição P o número denido por: }P} máxt i x; i 1, 2,, nu

39 Observção 1 Denominremos norm d prtição P ou diámetro d prtição P o número denido por: }P} máxt i x; i 1, 2,, nu 2 Se o intervlo r; bs for dividivo em n subintervlos de mesmo comprimento, então temos e i x b n x 0, x 1 ` b n, x 2 ` 2 b n, x n ` n b b n

40 Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e não negtiv (f pxq ě 0) em r; bs. Sej R região pln limitd pels grács de y f pxq, s rets x, x b e o eixo X (chmd região embixo d grác de f de té b). Como clculr áreprq? 1 Denmos um prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs.

41 Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e não negtiv (f pxq ě 0) em r; bs. Sej R região pln limitd pels grács de y f pxq, s rets x, x b e o eixo X (chmd região embixo d grác de f de té b). Como clculr áreprq? 1 Denmos um prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs. 2 Pel continuidde de f, pr cd i 1, 2, n podemos escolher pontos u i P rx i 1, x i s de form tl que f pu i q sej o vlor mínimo de f em rx i 1, x i s.

42 Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e não negtiv (f pxq ě 0) em r; bs. Sej R região pln limitd pels grács de y f pxq, s rets x, x b e o eixo X (chmd região embixo d grác de f de té b). Como clculr áreprq? 1 Denmos um prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs. 2 Pel continuidde de f, pr cd i 1, 2, n podemos escolher pontos u i P rx i 1, x i s de form tl que f pu i q sej o vlor mínimo de f em rx i 1, x i s. 3 Construimos n retângulos que tem como bse os subintervlos denidos por P e de lturs f pu i q, estes retângulos tem áre igul f pu i q i x.

43 Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e não negtiv (f pxq ě 0) em r; bs. Sej R região pln limitd pels grács de y f pxq, s rets x, x b e o eixo X (chmd região embixo d grác de f de té b). Como clculr áreprq? 1 Denmos um prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs. 2 Pel continuidde de f, pr cd i 1, 2, n podemos escolher pontos u i P rx i 1, x i s de form tl que f pu i q sej o vlor mínimo de f em rx i 1, x i s. 3 Construimos n retângulos que tem como bse os subintervlos denidos por P e de lturs f pu i q, estes retângulos tem áre igul f pu i q i x. 4 Os n retângulos considerdos denem o polígono retngulr inscrito em R, áre deste poligono será denotdo por I ppq e temos I ppq nÿ f pu i q i x i 1

44 Outr form de clculr áreprq? 1 Denmos um prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs.

45 Outr form de clculr áreprq? 1 Denmos um prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs. 2 Pel continuidde de f, pr cd i 1, 2, n podemos escolher pontos v i P rx i 1, x i s de form tl que f pv i q sej o vlor máximo de f em rx i 1, x i s.

46 Outr form de clculr áreprq? 1 Denmos um prtição P tx 0, x 1, x n u de r; bs. 2 Pel continuidde de f, pr cd i 1, 2, n podemos escolher pontos v i P rx i 1, x i s de form tl que f pv i q sej o vlor máximo de f em rx i 1, x i s. 3 Construimos n retângulos que tem como bse os subintervlos denidos por P e de lturs f pv i q, estes retângulos tem áre igul f pv i q i x. 4 Os n retângulos considerdos denem o polígono retngulr circunscrito em R, áre deste poligono será denotdo por CpPq e temos nÿ CpPq f pv i q i x i 1

47 Observção 1 Sejm P 1 e P 2 prtições de r; bs, então I pp 1 q ď ApRq ď CpP 2 q

48 Observção 1 Sejm P 1 e P 2 prtições de r; bs, então I pp 1 q ď ApRq ď CpP 2 q 2 Se L ti ppq; P é um prtição de r; bsu e U tcppq; P é um prtição de r; bsu, podemos denir, como isso temos A i supplq e A s inf puq I ppq ď A i ď A ď A s ď CpPq

49 Observção 1 Sejm P 1 e P 2 prtições de r; bs, então I pp 1 q ď ApRq ď CpP 2 q 2 Se L ti ppq; P é um prtição de r; bsu e U tcppq; P é um prtição de r; bsu, podemos denir, como isso temos A i supplq e A s inf puq I ppq ď A i ď A ď A s ď CpPq 3 Podemos provr que A i A s ApRq

50 Observção 1 Sejm P 1 e P 2 prtições de r; bs, então I pp 1 q ď ApRq ď CpP 2 q 2 Se L ti ppq; P é um prtição de r; bsu e U tcppq; P é um prtição de r; bsu, podemos denir, como isso temos A i supplq e A s inf puq I ppq ď A i ď A ď A s ď CpPq 3 Podemos provr que A i A s ApRq 4 Podemos provr que se t 1, t 2, t n são pontos escolhidos nos n subintervlos, então:

51 6 Aul Exemplo 1 Clculr áre d região limitd pelo gráco de y x ` 1, x 0, x 3 e o eixo X. 2 Clculr áre d região limitd pelo gráco de y x 2, x 3 e o eixo X.

52 Integrl Definição 1 Sej f : r; bs Ñ R um função limitd, e P tx 0, x 1, x n u um prtição de r; bs denmos som superior de f em relção P por Spf, Pq nÿ sup xprxi 1 ;x i spf pxqq i x i 1

53 Integrl Definição 1 Sej f : r; bs Ñ R um função limitd, e P tx 0, x 1, x n u um prtição de r; bs denmos som superior de f em relção P por Spf, Pq nÿ sup xprxi 1 ;x i spf pxqq i x i 1 2 Sej f : r; bs Ñ R um função limitd, e P tx 0, x 1, x n u um prtição de r; bs denmos som inferior de f em relção P por I pf, Pq nÿ inf xprxi 1 ;x i spf pxqq i x i 1

54 Definição Considere um função limitd f : r; bs Ñ R. Se lim Spf, Pq lim I pf, Pq }P}Ñ0 }P}Ñ0 Diremos que integrl de Riemnn de ş f existe ou que função f é b Riemnn integrável e denotremos por f pxqdx, ssim temos: ż b f pxqdx lim Spf, Pq lim I pf, Pq }P}Ñ0 }P}Ñ0

55 Definição Considere um função limitd f : r; bs Ñ R. Se lim Spf, Pq lim I pf, Pq }P}Ñ0 }P}Ñ0 Diremos que integrl de Riemnn de ş f existe ou que função f é b Riemnn integrável e denotremos por f pxqdx, ssim temos: ż b f pxqdx lim Spf, Pq lim I pf, Pq }P}Ñ0 }P}Ñ0 Exemplo Considere função de Dirichlet f : r0; 1s Ñ R denid por: " 0 se x P I f pxq 1 se x P Q Verique que el não é integrável.

56 Definição 1 Se ă b, deniremos ż 2 Se f est denid em, então b ż b f pxqdx f pxqdx ż f pxqdx 0

57 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é um função contínu no intervlo r; bs então el é integrável.

58 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é um função contínu no intervlo r; bs então el é integrável. 2 Se f é um função integrável em r; bs então el é integrável em qulquer subintervlo rc; ds Ă r; bs.

59 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é um função contínu no intervlo r; bs então el é integrável. 2 Se f é um função integrável em r; bs então el é integrável em qulquer subintervlo rc; ds Ă r; bs. 3 Se f é integrável em r; bs, e k é qulquer constnte, então kf é integrável e temos: ż b pkf qpxqdx k ż b f pxqdx

60 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é um função contínu no intervlo r; bs então el é integrável. 2 Se f é um função integrável em r; bs então el é integrável em qulquer subintervlo rc; ds Ă r; bs. 3 Se f é integrável em r; bs, e k é qulquer constnte, então kf é integrável e temos: ż b pkf qpxqdx k ż b f pxqdx 4 Se f e g são integráveis em r; bs, então f g é integrável e temos: ż b pf gqpxqdx ż b f pxqdx ż b gpxqdx

61 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é um função contínu no intervlo r; bs então el é integrável. 2 Se f é um função integrável em r; bs então el é integrável em qulquer subintervlo rc; ds Ă r; bs. 3 Se f é integrável em r; bs, e k é qulquer constnte, então kf é integrável e temos: ż b pkf qpxqdx k ż b f pxqdx 4 Se f e g são integráveis em r; bs, então f g é integrável e temos: ż b pf gqpxqdx ż b f pxqdx ż b gpxqdx 5 Se f é integrável em r; cs e em rc; bs, então f é integrável em r; bs e temos: ż b f pxqdx ż c ż b f pxqdx ` f px qdx (c qulquer) c

62 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é integrável em r; bs e f pxq ě 0 pr todo x P r; bs então: ż b f pxqdx ě 0

63 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é integrável em r; bs e f pxq ě 0 pr todo x P r; bs então: ż b f pxqdx ě 0 2 Se f e g são integráveis em r; bs e f pxq ď gpxq pr todo x P r; bs então: ż b f pxqdx ď ż b gpxq

64 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é integrável em r; bs e f pxq ě 0 pr todo x P r; bs então: ż b f pxqdx ě 0 2 Se f e g são integráveis em r; bs e f pxq ď gpxq pr todo x P r; bs então: ż b f pxqdx ď ż b gpxq 3 Se f é integrável em r; bs e m ď f pxq ď M pr todo x P r; bs então: ż b mpb q ď f pxqdx ď Mpb q

65 Proprieddes d Integrl Definid 1 Se f é integrável em r; bs e f pxq ě 0 pr todo x P r; bs então: ż b f pxqdx ě 0 2 Se f e g são integráveis em r; bs e f pxq ď gpxq pr todo x P r; bs então: ż b f pxqdx ď ż b gpxq 3 Se f é integrável em r; bs e m ď f pxq ď M pr todo x P r; bs então: ż b mpb q ď f pxqdx ď Mpb q 4 Se f é integrável em r; bs então: ż b f pxqdx ď ż b f pxq dx

66 Teorems Fundmentis do Cálculo 7 Aul Teorem (vlor intermedirio pr integris) Se f é um função contínu em I r; bs então existe c P I tl que ż b f pxqdx f pcqpb q

67 Teorems Fundmentis do Cálculo Teorem (Primeiro teorem Fundmentl do Cálculo) Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e F : r; bs Ñ R função denid por: Então: ż x F pxq f ptqdt ˆż F 1 pxq d x f ptqdt f pxq dx

68 Teorems Fundmentis do Cálculo Teorem (Primeiro teorem Fundmentl do Cálculo) Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e F : r; bs Ñ R função denid por: Então: ż x F pxq f ptqdt ˆż F 1 pxq d x f ptqdt f pxq dx Observção 1 Este teorem é um ponte entre s integris indenids e integris denids: Pois prov que pr um função contínu em r; bs dmite um ntiderivd F pxq ş x f ptqdt pois F 1 pxq f pxq

69 Teorems Fundmentis do Cálculo Teorem (Primeiro teorem Fundmentl do Cálculo) Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e F : r; bs Ñ R função denid por: Então: ż x F pxq f ptqdt ˆż F 1 pxq d x f ptqdt f pxq dx Observção 1 Este teorem é um ponte entre s integris indenids e integris denids: Pois prov que pr um função contínu em r; bs dmite um ntiderivd F pxq ş x f ptqdt pois F 1 pxq f pxq 2 Este é um teorem de existênci: Pr f existe F tl que F 1 pxq f pxq pr todo x P r; bs. Como F pq 0, F é um ntiderivd de f pssndo pelo ponto p; 0q.

70 Teorems Fundmentis do Cálculo Teorem (Segundo teorem Fundmentl do Cálculo) Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e F : r; bs Ñ R um ntiderivd de f, Então: ż b f ptqdt F pbq F pq rf pxqs b

71 Teorems Fundmentis do Cálculo Teorem (Segundo teorem Fundmentl do Cálculo) Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e F : r; bs Ñ R um ntiderivd de f, Então: ż b f ptqdt F pbq F pq rf pxqs b Observção 1 A diferenç F pbq F pq independe l eleção d ntiderivd de f, pois tods s ntiderivds deferem prens num constnte. 8 Aul

72 Exemplo 1 Se F pxq ş x 0 1 1`t 2 dt clculr F 1 pxq. 2 Clculr ş 1 0 ex dx 3 Sej Gpxq ş u f ptqdt, onde f : r; b Ñ Rs e u : rc; ds Ñ r; bs é um função diferenciável, então: G 1 pxq f puqu 1 f puq d dx pupxqq 4 Sej Hpxq ş f ptqdt, onde f : r; b Ñ Rs e u : rc; ds Ñ r; bs é um u função diferenciável, então: 5 Se Gpxq ş x 4 6 Clculr ş H 1 pxq f puqu 1 f puq d dx pupxqq 1 1`9sen e ptq dt, clculr G 1 pxq. x 1`x 2 dx

73 cálculo de áres de regiões plns Cso I: Sej f : r; bs Ñ R um função contínu e f pxq ě 0 pr todo x P r; bs, áre d região R limitd pelo gráco de f, o eixo X, s rets x e x b é ddo por: ż b ApRq p f pxqdxqu 2

74 cálculo de áres de regiões plns Cso II: Sejm f, g : r; bs Ñ R funções contínus e gpxq ď f pxq pr todo x P r; bs, áre d região Ω limitd pelos grácos de f e de g, e s rets x e x b é ddo por: ApRq p ż b rf pxq gpxqsdxqu 2

75 Exemplo 1 Clculr áre d região limitd por: y senpxq, x 0, x π 2, y 0 2 Clculr áre d região limitd pel prábol y x 2 ` 4x, o eixo X e s rets x 2 e x 2. 3 Clculr áre d região limitd por: y x 3 4x 2 ` x ` 6, 3y ` x 2 0, x 0x 4 9 Aul