Matemática para Economia Les 201

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1 Mtemátic pr Economi Les uls 8_9 Integris Márci znh Ferrz Dis de Mores _//6 Integris s operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição operção invers d dierencição é integrção integrção reverte o processo d dierencição Integrl deinid: clculr áres io d unção e o eio E: cálculo dos ecedentes consumidor e do produtor Integris O símolo pr indicr operção d integrção de um unção é Prtindose de um unção primitiv F: F Deriv ou Integr F df d d F C Integris Um míli inteir de unções primitivs pode gerr mesm derivd É necessário lgum inormção dicionl sore constnte C, pr se chegr à unção originl especíic. Eemplo: s seguintes unções primitivs têm mesm derivd: y y 6 y y 6 y y 6 Regrs Básics d Integrção. Regr de Potênci Qundo n n n d C n Pois derivd de n n C Regrs Básics d Integrção. Regr de Potênci Qundo n Eemplos d d d é : n n n n d 8

2 Regrs Básics d Integrção. Regr de Potênci Qundo n C d d ln Pois: derivd de ln C / Válido pr > unção logrítmic não é deinid pr números negtivos De orm gerl, podese escrever d ln C Regrs Básics d Integrção. Regr d eponencil. e d Pois derivd de e é o próprio e.. e C e d e C d ln C Regrs de Operção. integrl d som é som ds integris Eemplos: g] d d d g d Regrs de Operção. Integrl de um múltiplo integrl de um constnte k vezes um integrndo é k vezes integrl E: k d k d d e d Regrs de Operção. Integrl de um múltiplo e d c 8 d Regrs de Operção. Multiplicção Integrl d Multiplicção Multiplicção Integrl Não eiste regr gerl que dê integrl de um produto ou quociente de dus unções em termos de integris seprds dests unções integrção é mis diícil que dierencição Integrndos complicdos: procurr resposts em tels de órmuls de integris Eistem lgums regrs que permitem trnsormr s unções: regr sustituição regr d cdei integrçãopor prtes Ests regrs são úteis qundo é possível epressr o integrndo unção de como produto de u unção de u e du/d

3 Regrs de Operção. Multiplicção. Regr d Sustituição Simpliicção d integrl trvés d sustituição d vriável originl Contrprtid d Regr d Cdei du d u ] d u d u F u C. Regr d Sustituição Eemplos E : d modos de resolver: Multiplicndo o integrndo neste cso é possível d d C Por sustituição: Chmndo C Sustituir: por u d por du simpliicr epressão de modo ter udu Dic: olhr epressão e ver se o sustituir d por du cort termo d unção originl. Regr d Sustituição Eemplos 9 E : 6 d Dic: tentr ver se o chmr um memro de u, consegue cortr du/d com o outro OBS: neste cso não dá pr multiplicr os memros d equção Fzendo: E :. Regr d Sustituição Eemplos 8e d Sese que e d e. Integrção por prtes Regrs de Operção integrl de v com respeito u é igul uv menos integrl de u com respeito v Essênci d regr: sustituir vdu uv udv du por dv. Integrção por prtes Regrs de Operção uv' u' v uv' u' v uv' uv' u' v uv' u' v uv uv' vdu uv' uv udv

4 . Integrção por prtes Eemplos E : / d Não dá pr resolver por sustituição. Trnsormr:. Integrção por prtes Eemplos ln d d ln C E : OBS: NÃO DÁ PR USR REGR DO LN. Integrção por prtes Eemplos E : e d Integris Indeinids e Deinids Integrl Indeinid: d F C é Integrl Indeinid porque não possui um vlor numérico deinido Como F C é unção de, seu vlor se lter com vrição de mesmo qundo se conhece o vlor de C. Integris Indeinids e Deinids Integrl Deinid Se selecionmos dois vlores de no domínio d unção, e, > e os sustituímos n unção ormndo dierenç F F, otemse um vlor numérico, independente d constnte C, pois: F C] F C] F F O vlor ssim otido é Integrl Deinid de no intervlo de té é chmdo limite inerior de integrção e o limite superior de integrção. d F ] F F Teorem Fundmentl do Cálculo Se um unção é contínu em um intervlo, então el possui integris neste intervlo; lém disso, se F é um integrl de, então pr dois pontos quisquer e no intervlo temos: 5 d d F ] F F

5 E E d ke d Teorem Fundmentl do Cálculo Oservção importnte Os limites d integrção reeremse os vlores de Se usr técnic d sustituição ds vriáveis e introduzir vriável u, e não podem ser usdos como limites de u E: 6 d interpretção geométric d Integrl Deinid O vlor d Integrl Deinid é interpretdo geometricmente como um áre so um dd curv interpretção geométric d Integrl Deinid Limite d Som de Riemnn d lim i Δi Áre n interpretção geométric d Integrl Deinid Dd unção, contínu e não negtiv no intervlo,], integrl é áre d região so o gráico de, o eio e s verticis que pssm por e. y interpretção geométric d Integrl Deinid Se ssume vlores negtivos, então áre d região io do eio e cim d unção, delimitd no intervlo,] corresponde d d Se ssume vlores positivos e negtivos, então áre totl corresponde à som ds integris dos intervlos positivos com s integris dos intervlos negtivos que neste cso têm sinl negtivo. 5

6 6 y interpretção geométric d Integrl Deinid R R R d interpretção geométric d Integrl Deinid E: Dd unção y clcule áre so curv no intervlo,]. Pr o cálculo d áre totl dividemse os intervlos pr os quis unção é positiv e negtiv. prtir do gráico d unção, notse que no intervlo,], unção ssume vlores positivos nos intervlos,] e,], e vlores negtivos no intervlo,]., onde: áre totl é som ds três áres,,, ] ] ], ]] d, ]] d, d interpretção geométric d Integrl Deinid E: Clcule áre so curv y no intervlo, interpretção geométric d Integrl Deinid E: Clcule áre d região R so o gráico de : e ½ entre Proprieddes d Integrl Deinid ] ] < < < c d c d udv uv vdu d g d d g d k d k d d d d d d F F d d d VII VI V IV d c III II I Eemplos econômicos Função Mrginl FunçãoTotl prtir de um unção mrginl conhecid custo mrginl, receit mrginl, lucro mrginl, etc, clculr unção primitiv custo totl, receit totl, lucro totl. E: Clcule o Custo Totl de um irm cujo Custo Mrginl é dd pel epressão: CMg C Q Q Q. Sese tmém que o custo io d irm é de 9 uniddes monetáris

7 Eemplos econômicos E: O Custo Mrginl de um irm é CMg C Q e,q. Sese tmém que o custo io d irm é de 9 uniddes monetáris. Qul o custo totl? Eemplos econômicos chr Ecedente do Produtor e do Consumidor Ecedente do consumidor: é representdo pel áre entre unção demnd e linh prlel o eio ds scisss que pss pelo preço de mercdo Ecedente do produtor: é áre cim d curv de oert e delimitd pel linh prlel o eio ds scisss que pss pelo preço de mercdo P Ecedentes do Produtor e do Consumidor E Ecedente do Produtor e do Consumidor Suponh que s unções demnd e oert de certo produto sejm dds por : D P, 5 S P,6, Determine o ecedente do produtor e do consumidor chr equilírio de mercdo S P D Q Q Ecedentes do Produtor e do Consumidor Continução do eercício Ecedente do Consumidor Ecedente do Produtor 7