Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 2.

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1 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic eprtmento de Mtemátic Aplicd Cálculo A List Eercício :Usemudnçu + ev eclculeintegrldef,) +) sen ) sobre região : + π. Solução: O esboço d região está representdo n figur que se segue. π + π π + π e u + e v temos u+v e u v. Portnto, o jcobino d mudnç é ddo por: J,) u,v) u v 4 4. u v Comodd J dudv entãodd dudv. Afunçãof,) +) sen )trnsform-se em u sen v. Como é limitd pels rets + π, +, π e, então uv é limitd pels rets u π, u, v π e v.

2 Cálculo A List 4 v π uv π u Assim, pel fórmul d mudnç de vriáveis temos: f,)dd +) sen )dd u sen v) dudv uv π [ sen u v [ v senv ] π ] π dv π π4. sen v u dudv sen vdv Eercício : Use mudnç de vriáveis u e v /, e clcule integrl dupl + )da, sendo região do plno no primeiro qudrnte, delimitd pels curvs,, e. Solução: Se u e v / vemos que uv e u v. Assim, + u v outro ldo u u J J u,v),) v v + v. u +uv. Por Logo, J. Como da J dudv, então da v v dudv. Como está limitd por,, ou / ) e ou / ) então uv está limitd por u, u, v e v.

3 Cálculo A List 5 v uv u Logo, pel fórmul de mudnç de vriáveis, temos: ) + u )da v +uv v dudv 4 uv uv u v +u )dudv )[ v + u ] [ ] v +v 4 dv 4 [ ) ] +4 +) v + ) ududv v + ) dv 5 8. Eercício : Clcule e 4. da d região do primeiro qudrnte, limitd por,, Solução: O esboço d região está representdo n figur que se segue. v 4 uv 4 u Com trnsformção u /, v, região trnsform-se n região uv limitd pels rets

4 Cálculo A List 6 u, u, v e v 4. Temos: u J u,v),) v u v u. Logo:, ) u,v) J u u. e u / e v temos que uv. Portnto, o integrndo trnsform-se em v uv uv. Assim, d fórmul d mudnç de vriáveis temos: da uv,) u, v) dudv uv dudv u uv uv 4 v dudv v dvdu [ v ] 4 du uv 6 64 ) du 6 [ ] u ). Eercício 4: Use coordends polres pr clculr s seguintes integris dupls: ) b) c) + dd, sendo o disco de centro n origem e rio. + ) da, onde é região dd por + 4, com. ln + ) + dd, sendo : + e, com. d) e) f) e dd. da, sendo : e. + +)da, sendo : +. Solução: ) O esboço d região está representdo n figur que se segue.

5 Cálculo A List 7 si em r entr em r Em coordends polres temos + r r e dd rdrdθ. escrição de em coordends polres Efetundo um vrredur em, no sentido nti-horário, prtir do eio positivo, vemos que θ π. Considerndo um ponto P qulquer no interior de, vemos que semirret entr em n origem onde r e si de em um ponto d circunferênci{ onde r. Então, r. Assim, r região é trnsformd n região rθ dd por rθ : θ π. θ π rθ r Logo: + dd r rdrdθ r drdθ rθ rθ r dθdr π [ r r dr π ] 6π. Observção: Notem que em coordends polres qulquer disco de centro n origem trnsform-se em um retângulo com os ldos prlelos os eios coordendos. b) O esboço d região está representdo n figur que se segue.

6 Cálculo A List 8 escrição de em coordends polres Efetundo um vrredur em, no sentido nti-horário, prtir do eio negtivo, onde θ / té o eio positivo onde θ π/, vemos que / θ π/. Considerndo um ponto P qulquer no interior de, vemos que semirret OP entr em n origem onde r e si de em um ponto d circunferênci { onde r. Logo, r. Assim, r região é trnsformd n região rθ dd por rθ : / θ π/. θ π rθ r π Logo: + ) da r 4 rdrdθ r 5 drdθ rθ rθ / r 5 dθdr π / [ r 5 r 6 dr π 6 c) O esboço d região está representdo n figur que se segue. ] π.

7 Cálculo A List 9 e P si em r e e e entr em r Em coordends polres temos ln + ) lnr ) + r lnr r escrição de em coordends polres e dd rdrdθ. Efetundo um vrredur em, no sentido nti-horário, vemos que θ π. Considerndo um ponto P qulquer no interior de, vemos que semirret OP entr em em um ponto d circunferênci + onde r e si de em um ponto d circunferênci + { e onde r e. Então, r e. Assim, região é trnsformd n região rθ dd r e por rθ : θ π. θ π rθ e r Logo: ln + ) dd + e lnr r rθ e lnr dθdr π r dr. lnr r drdθ r rθ lnr r drdθ Fzendo u lnr temos du dr. Por outro ldo, pr r temos u ln r e pr r e temos u lne. Então: Substituindo cim temos: e lnr [ r dr u udu ]. ln + ) + dd π π.

8 Cálculo A List d) Temos I e dd e dd { onde é dd por : + cujo esboço está representdo n figur que se segue., Pssndoprcoordendspolrestemose + { ) e r edd rdrdθ eregião trnsformse em rθ : r θ π. Logo: I π rθ e r rdrdθ e r r)dr π e r r dθdr π [e r] π e ). e r rdr e) O esboço d região está representdo n figur que se segue. Por coordends polres temos escrição de em coordends polres da rdrdθ drdθ. + r Efetundo um vrredur em, no sentido nti-horário, prtir do eio positivo onde θ té ret onde θ π/4, vemos que θ π/4. Considerndo um ponto P qulquer no interior de, vemos que semirret OP entr em n ret verticl ou rcosθ donde r secθ e si de n ret verticl ou cosθ

9 Cálculo A List rcosθ donde r secθ. Então, secθ r secθ. Assim, região é trnsformd cosθ { secθ r secθ n região rθ dd por rθ :. Logo: θ π/4 /4 da + [ ln rθ drdθ secθ secθ)dθ /4 secθ /4 sec π 4 +tg π ) lnsec+tg) 4 secθ drdθ secθdθ [ lnsecθ+tgθ) ] π/4 ] [ ln +) ln+) ] ln +). f) e + temos + ). Assim, o esboço d região está representdo n figur seguir. P si em r senθ entr em r Temos: +)da da+ da. Como f,) é um função ímpr n vriável e região tem simetri em relção o eio, então: f,)da da. Assim: +)da da. Em coordends polres temos da rsenθ)rdrdθ r senθdrdθ. escrição de em coordends polres Efetundo um vrredur em, no sentido nti-horário, prtir do eio positivo onde θ té o eio negtivo onde θ π, vemos que θ π.

10 Cálculo A List Considerndo um ponto P qulquer no interior de, não situdo no eio, vemos que semirret OP entr em n origem onde r e si de em um ponto d circunferênci + ou r rsenθ donde r senθ, pr r{. Então, r senθ. Assim, região é r senθ trnsformd n região rθ dd por rθ :. Logo: θ π +)da senθ senθ da r drdθ rθ r senθdrdθ cosθ [ r senθ 8 sen 4 θdθ 8 8 π cosθ+cos θ ) dθ [ θ senθ+ ] senθ ) dθ cosθ+cos θ ) dθ) θ+ sen4θ )] π dθ π +π) π. Eercício 5: Clcule áre d região no primeiro qudrnte, for d circunferênci + 4 e dentro d circunferênci + 4. Solução: O esboço d região está representdo n figur que se segue., ) si em r 4cosθ P θ θ 4 teori, temos que: entr em r A) dd rdrdθ. rθ escrição de em coordends polres e + 4 e + 4 temos 4 4 donde e, portnto,. Assim, interseção

11 Cálculo A List é o ponto, ). No triângulo retângulo cim, temos que tgθ donde θ π/. Assim, efetundo um vrredur em, no sentido nti-horário prtir do eio positivo, vemos que θ π/. Considerndo um ponto P qulquer no interior de vemos que semirrret OP entr em n circunferênci + 4 donde r e si de n circunferênci { + 4 donde r 4rcosθ r 4cosθ ou r 4cosθ, se r. Assim, r 4cosθ. Logo temos rθ :. Então: θ π/ A) / 4cosθ rdrdθ [ 6 θ + senθ ) 4π + 4 ) π + u.. / [ r ] 4cosθ ] π/ 4θ dθ / 8 π +4sen π 4 π 6cos θ 4)dθ ) Eercício 6: Sej dd integrl dupl f,)dd f,)dd+ f,)dd. ) Esboce região. b) Epresse som ds integris do segundo membro como um só integrl n qul ordem de integrção estej invertid. c) Clcule integrl dupl pr função f,) ln+ + ). Solução: ) Temos I f,)dd com, onde {,);, } e {,);, }. Os esboços de e são:,),) Logo, o esboço de está representdo n figur que se segue.

12 Cálculo A List 4,) b) Enqudrndo como tipo II, temos : I {. Então: f,)dd. c) Epressndo como coordends polres, temos : I ln ) +r rdrdθ rθ π 4 ln +r ) rdr. /4 { θ π/4 r. Então: ln +r ) rdθdr Fzendo +r, temos d rdr, donde rdr d. Pr r, temos e pr r temos. Então: I π 4 Aplicndo integrção por prtes, temos: ln d π 8 lnd. Como ou u ln, dv d du d, v. udv uv vdu, então: [ I π ln 8 ) π ln 8 ] d π ln ln 8 I π 8 ln ). ) d Eercício 7: Psse pr coordends polres e clcule:

13 Cálculo A List 5 ) I b) I + dd dd, > Solução: ) { A integrl I está definid sobre região descrit pels desigulddes : +. Observe que está descrit como um região do tipo II. Eminemos fronteir d esquerd de :,, ). Elevndo o qudrdo, tem-se: o que implic ), e ) +, e. Então fronteir d esquerd é prte d circunferênci ) + com e. Eminndo fronteir d direit, temos que consiste d prte d mesm circunferênci com e. Assim, o esboço de está representdo n figur que se segue.,) r cosθ r Portnto se trnsform em: rθ { r,θ); r cosθ, θ π/ }. Temos: I rcosθrsenθr drdθ r cosθsenθ drdθ rθ rθ 4 / cosθ / r cosθsenθ drdθ cos 5 θsenθ dθ 4 cos6 θ 6 / π/ [ r 4 cosθsenθ 4. ] cosθ dθ

14 Cálculo A List 6 b) { A integrl I está definid sobre região descrit pels desigulddes : que é do tipo I. A fronteir superior de é curv com e que corresponde à prte d circunferênci + com e. A fronteir inferior de é o segmento de ret com. Assim, o esboço de está representdo n figur que se segue.,) r r O ponto, ) r cos θ, r sen θ) é tl que θ vri segundo θ π/ e r vri segundo r. Portnto se trnsform em: rθ { r,θ); r, θ π/ }. Então: I rθ r rdrdθ / r rdθdr π π 4 r ) / rdr π r ) / π 6 ) π 6. r ) / d r ) Eercício 8: A bse de um sólido é região do plno delimitd pelo disco +, com >. e prte superior é superfície do prbolóide z +. Clcule o volume do sólido. Solução: Sej o disco + e sej z f,) +, que é contínu em. Então o volume do sólido W de bse e teto z f,) + é ddo por: VW) f,)dd + dd + )dd.

15 Cálculo A List 7 Pssndo pr coordends { polres, temos + )dd r rdrdθ r drdθ e o disco r trnsform-se em rθ : θ π/. Logo: VW) r drdθ rθ π [ r 4] 4 π u.v. r dθdr π r dr Eercício 9: Achr o volume do sólido limitdo superiormente pel esfer + + z 4, inferiormente pelo plno e lterlmente pelo cilindro +. Solução: O esboço de W está representdo n figur que se segue. z teto W piso ) Observemos que o teto do sólido W é um porção d esfer + +z 4, donde z 4 f,). O piso de W é o disco : +. Então VW) f,)dd 4 dd. Pssndo pr coordends polres, temos rcosθ rsenθ dd rdrdθ + r

16 Cálculo A List 8 O conjunto rθ é ddo por: r e θ π. Então: VW) 4 r rdrdθ ) π 4 r r / rθ dθdr π 4 r ) / rdr. Temos d4 r ) rdr, donde rdr d4 r ). Logo: VW) π ) [4 r ) /] π 4 r ) / d4 r ) / 4 /) π 8 ) u.v. Eercício : etermine o volume do sólido W limitdo pelo prbolóide z 4 e pelo plno. Solução: O esboço de W está representdo n figur que se segue. z 4 W piso : + 4 Temos: VW) f,) dd 4 ) dd. Pssndo pr coordends polres temos rcosθ rsenθ dd r drdθ + r

17 Cálculo A List 9 e rθ : { θ π r. Então: VW) π rθ 4 r ) r drdθ ) 4r r dθdr ) ] 4r r dr π[r r4 π8 4) 8π u.v. 4