Propriedades Matemáticas

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1 Proprieddes Mtemátics Guilherme Ferreir Setembro, 2018 Sumário 1 Introdução 2 2 Potêncis 2 3 Rízes 3 4 Frções 4 5 Produtos Notáveis 4 6 Logritmos Consequêncis direts d definição (Corolários) Proprieddes dos logritmos Mudnç de bse Logritmos nturis Consequêncis d definição Proprieddes dos logritmos nturis Mudnç de bse de logritmos nturis

2 1 Introdução Est revisão vis presentr/relembrr os lunos dos cursos de Ciêncis Exts e Engenhris lgums entiddes, proprieddes e operções mtemátics fundmentis de form simples e diret. 2 Potêncis A potencição é operção mtemátic bsed em um produto, onde um número é multiplicdo por ele mesmo n vezes: () Expoente zero, com R e 0: n =... }{{} n (b) Expoente unitário, com R e 0: 0 = 1 1 = (c) Produto de potêncis de mesm bse, com R e m, n N: m n = m+n (d) Divisão de potêncis de mesm bse, com 0, R e m, n N: m n = m n (e) Potênci de potênci, com 0, R e m, n N: ( m ) n = mn (f) Potênci cuj bse é um divisão ou um produto, com, b 0,, b R e n N: Se bse for um produto: ( b) n = n b n Se bse for um divisão: ( ) n = n b b n (g) Expoentes negtivos, com R, n N e n 0: n = 1 n (h) Potêncis com expoente rcionl: m/n = m 2

3 3 Rízes A rdicição é o inverso d potencição, logo, vle seguinte equivlênci: bx b x n Perceb tmbém que: x = L O número L é obtido de cordo com o seguinte princípio: L é um número que, multiplicdo por si mesmo n vezes, tem x como resultdo, ou sej, L n = x. () A riz enésim de um número elevdo enésim potênci é módulo do próprio número: xn = x (b) O índice de um riz pode ser multiplicdo (ou dividido) por um número rel qulquer, desde que o expoente do rdicndo tmbém sej multiplicdo (ou dividido) pelo mesmo número: xm = np mp xm = n/p m p (c) A riz enésim do produto é igul o produto ds rízes enésims: b = n b (d) A riz enésim d rzão é igul à rzão entre s rízes enésims: n b = b (e) Um potênci de um riz pode ser reescrit trzendo o expoente pr o rdicndo: ( k) m = n km (f) Riz de riz: n m = nm (g) Todo rdicl pode ser escrito n form de potênci com expoente frcionário: m = m n 3

4 4 Frções As frções correspondem um representção ds prtes de um todo. El determin divisão de prtes iguis sendo que cd prte é um frção do inteiro. () Regr do cncelmento, com 0: x = x (b) Som de frções com mesmo denomindor: (c) Soms de frções em gerl: c + b c = + b c b + c d = d + bc bd (d) Subtrção de frções com mesmo denomindor: (e) Subtrção de frções em gerl: b c b = c b b c d = d bc bd (f) Multiplicção de frções: (g) Divisão de frções: b c d = c bd b c d = b d c 5 Produtos Notáveis Produtos notáveis são multiplicções em que os ftores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mis relevntes: qudrdo d som, qudrdo d diferenç, produto d som pel diferenç, cubo d som e cubo d diferenç. () O qudrdo d som de dois termos é igul o qudrdo do primeiro termo, mis dus vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mis o qudrdo do segundo termo: ( + b) 2 = ( + b)( + b) = 2 + 2b + b 2 (b) O qudrdo d diferenç de dois termos é igul o qudrdo do primeiro termo, menos dus vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mis o qudrdo do segundo termo: ( b) 2 = ( b)( b) = 2 2b + b 2 4

5 (c) O produto d som pel diferenç de dois termos é igul o qudrdo do primeiro termo, menos o qudrdo do segundo termo: 2 b 2 = ( + b)( b) (d) O cubo d som de dois termos é igul o cubo do primeiro termo, mis três vezes o produto do qudrdo do primeiro termo pelo segundo, mis três vezes o produto do primeiro termo pelo qudrdo do segundo, mis o cubo do segundo termo: ( + b) 3 = b + 3b 2 + b 3 (e) O cubo d diferenç de dois termos é igul o cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do qudrdo do primeiro termo pelo segundo, mis três vezes o produto do primeiro termo pelo qudrdo do segundo, menos o cubo do segundo termo: 6 Logritmos ( b) 3 = b + 3b 2 b 3 Ddos os números reis e b, positivos e com diferente de 1, existe um único número rel x que frá seguinte firmção ser verddeir: x = b O número x, nesse cso, é conhecido como logritmo de b n bse. Vej representção dess definição: log b = x Logo, podemos escrever seguinte equivlênci: x = b x = log b 6.1 Consequêncis direts d definição (Corolários) () O logritmo de 1, em qulquer bse, é sempre igul zero, pois todo número elevdo zero é igul 1: log 1 = 0 (b) Qundo o logritmo de b n bse for expoente do próprio, o resultdo será o próprio b: log b = b (c) O logritmo em que o logritmndo e bse são iguis result em 1, pois todo número elevdo 1 é igul ele mesmo: log = 1 (d) O logritmo cujo logritmndo é igul à bse, ms está elevdo um número qulquer, tem esse número como resultdo: log m = m (e) Se os logritmos de dois números n mesm bse são iguis, então, esses dois números tmbém são: log b = log c b = c 5

6 6.2 Proprieddes dos logritmos () Logritmo do produto, com: 0 < 1, b > 0 e c > 0: log bc = log b + log c (b) Logritmo do quociente, com: 0 < 1, b > 0 e c > 0: log b/c = log b log c (c) Logritmo d potênci, com 0 < 1, e b > 0: 6.3 Mudnç de bse log b n = n log b Em lgums situções podemos encontrr no cálculo vários logritmos em bses diferentes. Como s proprieddes logrítmics só vlem pr logritmos num mesm bse, é necessário fzer, ntes, conversão dos logritmos de bses diferentes pr um únic bse conveniente. Ess conversão chm-se mudnç de bse. Pr fzer mudnç de um bse pr um outr bse b usmos: 6.4 Logritmos nturis lo x = log b x log b O logritmo nturl de um número > 0, é o logritmo desse número, n bse e. Representmos o logritmo nturl por ln. Assim: ln() = log e O logritmo nturl pode ser definido d seguinte form: ln(x) = x 1 1 t dt O número e ou número de Euler equivle proximdmente 2, 718 e pode ser encontrdo trvés do seguinte limite: ( e = lim x 6.5 Consequêncis d definição 1. ln(e) = log e e = 1 2. ln(1) = log e 1 = 0 3. ln(e n ) = log e e n = n log e e = n ) n 6

7 6.6 Proprieddes dos logritmos nturis 1. Logritmo nturl do produto: ln(b) = ln() + ln(b) 2. Logritmo nturl do quociente: ( ) ln = ln() ln(b) b 3. Logritmo nturl de um potênci: ln( n ) = n ln() 6.7 Mudnç de bse de logritmos nturis Em um logritmo nturl, bse é e, podemos mudr d bse pr bse deciml (10) com o seguinte cálculo: ln() = 2, 3 log 7