(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo.

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1 Cálculo Univrido List numero integrl T. Prcino-Pereir Sorl Mtemátic 7 de setemro de 7 Cálculo Produzido com L A TEX sis. op. Dein/GNU/Linux Os itens, em cd questão, estão numerdos usndo os cinco primeiros números primos,,,,7,. Ao inl de cd questão, o ldo d etiquet você encontr o produto dos números primos que correspondem às opções verddeirs. Entretnto é possivel que grito estej omitido pr que preç pens qundo or pulicd correção d list. Os itens podem ser todos verddeiros ou pens lguns verddeiros. Ms hvendo lgum lso, hverá tmém o correspondente verddeiro. Exercícios integrl ojetivo: integrl e su interpretção plvrs chve: integrção, primitiv, condição inicil.. (A) Interpretção geométric d integrl Figur : unções e integrl (B) ( ) (V)[ ](F)[ ] N igur () págin, o gráico (A) represent integrl ( ) (V)[ ](F)[ ] N igur () págin, o gráico (A) represent integrl o vlor dest integrl é. xdx. (x+)dx e ( ) (V)[ ](F)[ ] N igur () págin, o gráico (A) represent integrl e o vlor dest integrl é 4. ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] N igur () págin, o gráico (B) represent integrl e o vlor dest integrl é 8. ( ) (V)[ ](F)[ ] N igur () págin, o gráico (B) represent integrl e o vlor dest integrl é 9. ( x+)dx (x+)dx (x+)dx. Proprieddes d integrl Represente geometricmente s integris pr compnhr o cálculo. ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = (x+)(x ) então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = (x+)(x ) então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = (x+)(x ) então ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = (x+)(x ) então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = (x+)(x ) então grito = < > < >. O cálculo de lgums integris Represente geometricmente s integris pr compnhr o cálculo. ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se g(x) = x então ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x então de e de. = ( )+() ( ( )) > = ( )+() ( ) < g = g( )+g() ( ( )) < = ()+() ( ) > = ()+() ( ) ms o sinl depende dos vlores 4. O cálculo de lgums integris Represente geometricmente s integris pr compnhr o cálculo.

2 ( ) (V)[ ](F)[ ] xdx = ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x+ então triângulo e dum retângulo. ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x+ então d áre de trpézios. ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x + então órmul d áre de trpézios.. Cálculo d integrl ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = mx então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = x então (x)dx = (x)dx = F() = (s)ds + ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = então ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = então ( ) (V)[ ](F)[ ] Se (x) = m então 6. integrl, velocidde, distânci (x)dx = xdx+ dx é som ds áres dum (t)dt = ( )+() ( ( )) usndo órmul (s)ds = ()+() ( ) é um plicção d (t)dt = ()+() = m (t)dt = ()+( ) ( ( )) = (x)dx = () = pr qulquer vlor de (x)dx = ()( ) = ()( ) (x)dx mdx = mt ( ) (V)[ ](F)[ ] A velocidde dum ojeto é v(t) = m então distânci percorrid entre os t instntes t e t será v(t)dt = m(t t ) t ( ) (V)[ ](F)[ ] distânci é medid quntidde de velocidde entre dois instntes ddos. Se velocidde or constnte igul m então () s = t v(t)dt = m(t t ) ( ) (V)[ ](F)[ ] Se o movimento or uniormemente celerdo então equção d veloci- movimento dde é v(t) = mt+v é uniormemente e distânci percorrid entre dois instntes t e t será celerdo qundo () celerção t v(t)dt = v(t )+v(t ) (t t ) = m t +t (t t )+v (t t ) é som ds áres de um prlelogrmo com um retângulo (triângulos são prlelogrmos). ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] No cso dum corpo em qued livre (sem considerr resistênci do r) considerndo t = distânci percorrid té o instnte t será () t gsds = g sds = gt ( ) (V)[ ](F)[ ] Se houver um velocidde inicil, no cso do corpo em qued livre, então velocidde será v(t) = v + gt em que g é constnte médi d grvidde, e distânci percorrid será (4) () s = v(t)dt = 7. Representção geométric d integrl (v +gt)dt = s = v t+ gt Considere os gráicos n igur (ig. ), págin, v dt+ ( ) (V)[ ](F)[ ] No gráico (), se + = o gráico represent um áre nul. ( ) (V)[ ](F)[ ] O gráico () represent integrl de um práol, (t)dt, em que é um unção do segundo gru, e é ormdo de dus áres lgérics negtivs e um áre lgéric positiv, porque <. ( ) (V)[ ](F)[ ] A integrl no gráico (d) represent um áre positiv e integrl represent um áre negtiv, porque <. ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] A integrl um áre lgéric positiv, porque <. gtdt no gráico (c) é som dus áre lgérics negtivs e ( ) (V)[ ](F)[ ] No gráico (), se + = então gráico represent um áre, nul se () e or um unção impr. (t)dt = é constnte, o movimento d Terr em volt do Sol não é uniormemente. 4

3 ) ) ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] Se m,m orem ínimo e supremo de em [,] então (9) m( ) < (x)dx < M( ) ( ) (V)[ ](F)[ ] Se m,m orem ínimo e supremo de em [,] e se integrl de existir neste intervlo, então () m( ) < (x)dx < M( ) 9. Cálculo proximdo d integrl c) d) Se o gráico de or um segmento de ret não prlelo o eixo OY então (x)dx pode ser clculd usndo o método d áre do trpésio. Não sendo este cso podemos clculr est integrl, proximdmente, se el existir, usndo um som de Riemnn: () () () x = N ; precisão, número de divisões de [,]; S N = N ( + k x) x; k= S N = x N (+k x); k= Figur : gráicos de integrl em que n últim equção, (eq.) usei propriedde distriutiv d multiplicção reltivmente à dição pr otimizr expressão. Ests soms de Riemnn se chmm uniormes e ormm um sequênci convergindo pr o vlor 8. integrl e desiguldde Considere unção (x) = x deinid em qulquer intervlo que não contenh o zero. ( ) (V)[ ](F)[ ] Se < < então (6) ( ) (V)[ ](F)[ ] Se < < então (7) < (x) < < (x) < ( ) (V)[ ](F)[ ] Se < < então, são áres e (8) < (x)dx < (4) (x)dx se integrl existir. Este cálculo pode ser termindo, mnulmente, com uxílio dum clculdor ou melhor, com um progrm de computdor. ( ) (V)[ ](F)[ ] () (6) ( ) (V)[ ](F)[ ] (7) (8) (x) = x ; (x)dx x N (+k x) = x N +k ; k= (x) = x ; k= (x)dx x N (+k x) = x N ( +k x+k x ); k= k= 6

4 ( ) (V)[ ](F)[ ] (9) () () ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] () () (x) = x ; (x)dx x N (+k x) ; k= (x)dx xn + x N k + x N (x) = x ; k= (x)dx xn + x N k= k k= k + x P(k); em que P é um polinômio que clcul som dos cuos dum progressão rtimétic. ( ) (V)[ ](F)[ ] (4) () (6) (x) = x ; x = N (x)dx xn + x P (N)+ x P (N); (x)dx ( )+ ( ) N P (N)+ ( ) P N (N) em que P é um polinômio que clcul som dos termos dum p.. e P é um polinômio que clcul som dos qudrdos dos termos dum p... P,P podem ser encontrdos resolvendo dois sistems de equções lineres.. cálculo proximdo d integrl O ojetivo é o cálculo proximdo integrl de (x) = x usndo soms de Riemnn. ( ) (V)[ ](F)[ ] (7) (8) (9) ( ) (V)[ ](F)[ ] (x) = x ; x = (x)dx N k= ( + k x) x; I x N (+k x) = N x ( + ++); k= ( ) (V)[ ](F)[ ] (4) () (6) ( 7 ) (V)[ ](F)[ ] (7) (8) (9) (4) (4) (x)dx N k= (x) = x ; x = (+k x) x = x N (+k x) ; k= I x N + k x+k x +k x ; k= (x) = x ; x = (x)dx x N (+k x) ; k= I x N + k x+k x +k x ; k= I N x+ x N I ( )+ ( ) N k= k + x N P (N)+ ( ) N k= k + x 4 N k= k ; P (N)+ ( )4 P N 4 (N); em que P (N) é som d p.. de termo gerl k, P (N) é som dos qudrdos d p.. de termo gerl k e P (N) é som dos cuos d p.. de termo gerl k. ( ) (V)[ ](F)[ ] P (N) = (N )N é som d p.. de termo gerl k. P (N) = (N )N(N ) é som dos qudrdos dos termos d p.. k. P 6 (N) é um polinômio do terceiro gruportnto o teste comos vlores P (),P (),P (),P (4) plicdos às correspondentes soms tirds de provm que órmul está corret P (N) = ( N ) = ((N ) N ) 4, é som dos cuos dos termos d p.. k. P (N) é um polinômio do qurto gru portnto o teste com os vlores P (),P (),P (),P (4),P () plicdos às correspondentes soms tirds de () () () () (x)dx N k= (x) = x ; x = (+k x) x = x N (+k x) ; k= I x N ( + k x+k x +k x ) ; k= I N x+ x N k= k + x N k= k + x 4 N k k= provm que órmul está corret. Quem grnte que é suiciente quntidde de testes menciondos é o teorem undmentl d Álger que irm um polinômio do gru n tem extmente n+ rizes, ou, equivlentemente, que um equção polinomil do gru n tem extmente n+ rizes. Porém, s órmuls precism ser s correts! 7 8

5 Índice Remissivo Álger teorem undmentl, 8 cuos som dos, 7, 8 distânci,, 4 igur unção e integrl, gráico e integrl, Reerêncis Biliográics [] Richrd Cournt. Guss nd the present sitution o the exct sciences. In The Spirit nd the uses o the Mthemticl Sciences. McGrw-Hill, 969. [] T Prcino-Pereir. Págin de cálculo i,. [] Trcisio Prcino-Pereir. Cálculo Avnçdo. Dep. de Mtemátic - Universidde Federl do Rio Grnde - Rio Grnde - RS, 998. integrl,, 4 cálculo proximdo, 6, 7 desiguldde, representção geométric, 4 medid, qudrdos som dos, 8 Riemnn som de, 6, 7 som termos dum p.., 7 som de Riemnn, 6, 7 som dos qudrdos, 7 velocidde, 9