A Lei das Malhas na Presença de Campos Magnéticos.

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1 A Lei ds Mlhs n Presenç de mpos Mgnéticos. ) Revisão d lei de Ohm, de forç eletromotriz e de cpcitores Num condutor ôhmico n presenç de um cmpo elétrico e sem outrs forçs tundo sore os portdores de crg temos um proporcionlidde entre cmpo elétrico e densidde de corrente: j = E (.) onde é um propriedde do condutor chmd de condutividde. Existem outrs cuss pr o precimento de correntes elétrics. São s forçs eletromotrizes. N presenç de forçs eletromotrizes temos um termo mis n equção: j = j + E (.2) Pr plicção d lei ds mnhs interess clculr integrl E (.3) mlh onde o cminho de integrção percorre os condutores e dielétricos dentro de cpcitores num mlh de um circuito. Em trechos do cminho com condutores podemos usr equção (.2) ou (.) pr expressão o cmpo elétrico em termos ds correntes existentes nos condutores. Vmos usr n equção (.2), que é mis gerl. Pr o cso de um simples condutor ôhmico st escolher no finl j =. A contriuição de um trecho do cminho de um ponto té um ponto seri: Fig. ondutor j nˆ n E = dl d l (.4) Vmos supor que densidde de corrente sej rzovelmente constnte ns seções rets do fio. Neste cso é vntjoso multiplicr e dividir pel áre d seção trnsversl do fio 2 n primeir integrl do ldo direito: A j nˆ n E = dl d A l (.5) A vntgem dest operção é que I = A j nˆ é um constnte por cus d conservção de crg elétric e, portnto pode ser tird d integrl. N segund integrl este tipo de truque não trri enefícios porque não existe um lei de conservção ds densiddes de corrente j. Aplicndo este truque otemos dl n E = I d A l (.6) O importnte deste resultdo é que integrl dl A é um propriedde somente do condutor e não depende d corrente. Vmos chmr est grndez de resistênci do N verdde não precisri ser um proporcionlidde, poderi ser lgum dependênci liner, ou sej condutividde poderi ser um tensor. 2 que pode vrir o longo do cminho

2 condutor. Pr segund integrl vmos introduzir um revição e chmr este termo de forç eletromotriz: n ε = d def. l (.7) A contriuição pr integrl de cminho fic então n form E = I R ε (.8) Se tiver um cpcitor n mlh temos um contriuição: E = I dt (.9) 2) A lei ds Mlhs Fzendo tod integrl sore o cminho de mlh otemos um som dests contriuições. Sem cmpos mgnéticos vriáveis no tempo est som seri zero. Ms, com cmpos mgnéticos vriáveis lei ds mlhs é gor E = ds (.) S om s contriuições (.8) e (.9) podemos escrever est equção em termos ds correntes: εe + Rr Ir + Icdt = ds (.) e= fems r= resistores c= cpcitores c S S Nest form lei ds mlhs não é ind muito prátic. Queremos reescrevê-l dndo um trtmento especil ns forçs eletromotrizes mgnétics. Há forçs eletromotrizes ligds certos estdos térmicos for do equilírio tis como reções químics ou o efeito eletro-térmico (efeito Seeeck). E tem tmém um forç eletromotriz mgnétic oriund d forç mgnétic tundo sore crgs em movimento. Qundo empurrmos um fio lterlmente dentro de um cmpo mgnético os portdores de crg sofrem um forç mgnétic F = q v B (.2) Est forç provoc correntes d mesm mneir como forç elétric mneir temos que escrever no lugr d equção (.2) j = j + E = j térmico + v B + E mg = j qe. Dest (.3) om definição d forç eletromotriz (.7) temos então um forç eletromotriz mgnétic num trecho de integrção (,): = v B dl (.4) ε mg. ( ) Seprndo forç eletromotriz ds demis forçs eletromotrizes n lei ds mlhs otemos: 2

3 εe ( v B) + Rr Ir + Icdt = ds e= femstérmics r= resistores c= cpcitores c S (.5) Vmos otr o termo d forç eletromotriz mgnétic pr o outro ldo d equção pr juntá-lo com o termo d lei de indução: εe + Rr Ir + Icdt = ds + ( v B) d l e= femstérmics r= resistores c= cpcitores c S (.6) Agor temos que fzer um pouco de geometri pr ver como os dois termos no ldo direito podem ser comindos pr um únic expressão simples. Vmos imginr mlh num instnte t e num instnte infinitesimlmente posterior t + δ t. A figur t + δ t ligeirmente mostr um exemplo com dois cminhos de integrção ( t ) e ( ) diferentes. Nest figur os deslocmentos ocorridos neste intervlo de tempo são indicdos com vetores de deslocmento (em vermelho). Mostrmos tmém um deslocmento infinitesiml δ l pertencente o processo de integrção sore o cminho t. ( ) Fig. 2 Mlh no instnte t e um instnte infinitesimlmente posterior. t t+ Vmos olhr pr um contriuição infinitesiml pr integrl ( v B) : contriuição infinitesiml = v B δ l (.7) ( ) Semos que os ftores neste tipo de produto triplo podem ser trocdos ciclicmente e um troc não cíclic mud o sinl: v B δ l = δ l v B = v B (.8) ( ) ( ) ( ) O vetor δ t v δ l, que é proporcionl últim expressão, é o vetor superfície do pedço de eird entre os dois cminhos de integrção que é formdo pelos dois vetores e δ t v B é um fluxo de cmpo mgnético trvés dest superfície. δ l. Então ( ) Fzendo integrl de cminho coletmos todos estes fluxos. Dest form podemos firmr: ( v B) = { fluxo mgnético trvés d eird} (.9) Semos que o cmpo mgnético não tem fontes, isto é div B =. Então tods s integris de fluxo mgnético trvés de superfícies fechds são zero. Vmos escolher 3

4 superfícies S ( t ) e S ( t t) eird: ( t) = S ( t) e ( t t) S ( t t) + δ que tenhm os dois cminhos de integrção como + δ = + δ. Ams s superfícies devemos orientr de tl form que o vetor de superfície junto com o vnço d integrção defin um hélice direit (como indicdo n figur 3). Fig.3 Superfície S(t) com orientção. t t+ O fto que tods s integris de fluxo mgnético trvés de superfícies fechds são zero implic que: B ds B ds + fluxo mgnético trvés d eird = (.2) ( ) ( +δ ) S t S t t { } É importnte notr que o cmpo mgnético nos três termos tem que ser tomdo no mesmo instnte. ominndo este resultdo com equção (.9) otemos ( v B) = B ds B ds (.2) S( t+) S( t) Podemos inserir este resultdo n lei ds mlhs (.6): εe + Rr Ir + Icdt e femstérmics r resistores c cpcitores = = = = c (.22) = ds lim B ds B ds S S( t+) S( t) Aproveitmos que δ t er infinitesiml e escrevemos um limite. Ser infinitesiml signific simplesmente um viso que no finl de tod cont se pretende tomr o limite. O ldo direito d equção (.22) é ovimente derivd temporl totl do S t. Dest form lei ds mlhs fic n form fluxo mgnético trvés d superfície ( ) simples: dφ εe + Rr Ir + Icdt = dt mg (.23) e= femstérmics r= resistores c= cpcitores c Repre que o termo no ldo direito contém dus contriuições de dois efeitos físicos totlmente diferentes: um efeito é gerção de cmpo elétrico pel tx de vrição de cmpo mgnético num locl perto dos condutores. O outro é um forç eletromotriz correspondente à forç mgnétic sore crgs que estão sendo rrstdos por um fio em movimento dentro do cmpo mgnético. A pesso que utiliz est fórmul 4

5 gerlmente não pens nest seprção do termo dφ / dt em dus prcels. Ms, compreensão corret d equção (.23) pode evitr erros. omo exemplo de um possível erro, dmos qui o seguinte Exercício: A figur 4 mostr um circuito de um mlh vriável no tempo formdo de um mperímetro, fios e dois interruptores. Inicilmente o interruptor está fechdo e o 2 está erto. Num certo instnte se re e se fech simultnemente 2. No retângulo de fios entre os interruptores existe um forte imã permnente. Qul será reção do mperímetro n hor de trocr os estdos dos interruptores? 2 A N Fig. 4 Moto perpétuo eletromgnético. 5