A integral de Riemann e Aplicações Aula 28

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1 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl A integrl de Riemnn e Aplicções Aul 28 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 16 de Mio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turm Engenhri Mecânic Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

2 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids O Teorem Fundmentl do Cálculo Teorem (Teorem Fundmentl do Cálculo) Se f : [,b] R é contínu então, função g definid por g(x) = x f(t) dt, x b é diferenciável em [,b] e g (x) = f(x). Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

3 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Prov: Se x e x +h estão em [,b], então g(x +h) g(x) = logo pr h 0, = = x+h x x+h x x f(t) dt f(t) dt + f(t) dt, x+h x f(t) dt x f(t) dt f(t) dt g(x +h) g(x) h = 1 h x+h x f(t) dt. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

4 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Como f é contínu em no intervlo fechdo de extremos x e x +h pelo Teorem de Weierstrss existem x 1 e x 2 entre x e x +h tis que f(x 1 ) f(t) f(x 2 ) pr todo t entre x e x +h. Logo, ou equivlentemente, f(x 1 ) 1 h f(x 1 ) x+h x g(x +h) g(x) h f(t) dt f(x 2 ). f(x 2 ). Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

5 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Agor, qundo h 0, x 1 x e x 2 x. Conseqüentemente, lim f(x 1) = f(x), e lim f(x 2 ) = f(x), h 0 h 0 pois f é contínu, e ssim pelo Teorem do Confronto, g g(x +h) g(x) (x) = lim = f(x), h 0 h e o teorem está demonstrdo. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

6 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Exemplo Ache derivd d função g(x) = x 0 1+t 2 dt. Como f(t) = 1+t 2 é contínu, pelo Teorem Fundmentl do Cálculo g (x) = 1+x 2. Exemplo Clcule derivd de g(x) = x 4 1 sect dt. Utilizmos o Teorem Fundmentl do Cálculo e Regr d Cdei. Sej u = x 4, então x 4 g (x) = d sect dt RC = d dx 1 dx = secu du dx = sec(x4 )4x 3. u 1 sect dt du dx Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

7 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Cálculo de Integris Definids Do Teorem Fundmentl do Cálculo, se f : [,b] R é contínu então F(x) = x f(t)dt é um primitiv de f. Se G é outr primitiv de f, temos que existe um constnte k R tl que F(x) = G(x)+k. Como F() = 0 temos que G() = k e Em prticulr F(x) = x f(t)dt = G(x) G(). f(t)dt = G(b) G(). Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

8 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Substituição pr Integris Definids Se f e g forem contínus em [,b] e u = g(x), então f(g(x))g (x)dx = g(b) g() f(u)du. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

9 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Prov: Sej F um primitiv de f. Então, F(g(x)) é um primitiv de f(g(x))g (x) e do Teorem Fundmentl do Cálculo temos f(g(x))g (x) dx = F(g(b)) F(g()). Aplicndo mis um vez o Teorem Fundmentl do Cálculo temos g(b) g() f(u)du = F(u) g(b) g() = F(g(b)) F(g()). Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

10 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Podemos clculr um integrl definid por substituição clculndo primeiro integrl indefinid e usndo o Teorem Fundmentl do Cálculo. Por exemplo, 2 0 2x 1+x 2 dx = (1+x2 ) 3/2 = (5)3/2 2 3 (1)3/2 = 2 3 ((5)3/2 1). Ou mudndo os limites de integrção o se mudr vriável. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

11 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Exemplo Clcule 1 1/2 2x 1 dx. Fzendo u = 2x 1, temos du = 2dx ou 1 2 du = dx Qundo x = 1, u = 0; qundo x = 1, u = 1. Assim, 2 1 1/2 2x 1 dx = 1 0 u 1 2 du = u du = u3/2 0 = 1 3. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

12 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl O Teorem Fundmentl do Cálculo Cálculo de Integris Definids Integrção por prtes pr integris definids Sejm f e g dus funções com derivds contínus em [,b], então Exmple Clcule t 1 t 1 }{{} x }{{} lnx g f f(x)g (x)dx = f(x)g(x) x lnx dx. dx = x2 2 }{{} f }{{} lnx g = t2 2 lnt 1 2 x 2 2 t 1 t t 1 1 b 1 x }{{} f x 2 2 }{{} g f (x)g(x)dx. = t2 2 lnt 1 4 t t dx = t2 2 lnt 1 x dx 2 1 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

13 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Cálculo de áres Queremos determinr áre de diferentes regiões. Começremos pelo problem de chr áre de um região A que está sob curv de um função. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

14 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Cso 1: Sej f contínu em [,b] com f(x) 0, pr todo x [,b]. Queremos clculr áre do conjunto A do plno limitdo pels rets x = x = b y = 0 e pelo gráfico de y = f(x) conforme figur bixo. f A b Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

15 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Sej P = (x i ) um prtição de [,b] e c i e c i tis que f(c i ) = min{f(x); x [x i 1, x i ]} f(c i ) = mx{f(x); x [x i 1, x i ]}. Então, s soms de Riemnn correspondentes stisfzem temos f(c i ) x i A f(c i ) x i, i i conforme ilustr figur seguinte. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

16 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres f f b b Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

17 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Isto signific que som de Riemnn i f(c i ) x i se proxim d áre A por flt e som de Riemnn i f(c i ) x i se proxim d áre A por sobr. Dí, fzendo P = mx 1 i n x i 0 temos lim d 0 f(c i ) x i lim A lim f(c i ) x i d 0 d 0 ou sej, A = i f(x)dx f(x)dx. A i f(x)dx Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

18 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Exemplo A áre do conjunto do plno limitdo pels rets x = 0, x = 1 e pelo gráfico de f(x) = x 2 é 1 3. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

19 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Cso 2: Sej A o conjunto hchurdo conforme mostr figur. A A f b b f f Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

20 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Logo áre A = f(x)dx = f(x)dx = f(x) dx. Observe que como f(x) 0, pr todo x [,b] temos f(x)dx 0 = f(x)dx 0. Exemplo A áre do conjunto do plno limitdo pels rets x = 0, x = 1 e pelo gráfico de f(x) = x 4 x é Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

21 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Cso 3: Sej A o conjunto hchurdo conforme figur bixo. f c d b Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

22 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Então áre A = c d f(x)dx f(x)dx + f(x)dx = f(x) dx. c d Exemplo A áre do conjunto do plno limitdo pels rets x = 1, x = 1 e pelo gráfico de f(x) = x 3 é 1. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

23 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Cso 4: Considere A o conjunto hchurdo d figur seguinte. A 1 f A 2 B b g Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

24 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Então A é o conjunto dos pontos (x,y) R 2 limitdo pels rets x =, x = b e pelos gráficos ds funções f e g, onde f(x) g(x), pr todo x [,b]. Segue que áre A = [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

25 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Observção: No Cso 4 cim temos Portnto f(x)dx = A 1 +B; g(x) = B A 2. [f(x) g(x)]dx = A 1 +A 2. Em gerl, áre entre s curvs y = f(x) e y = g(x) e entre x = e x = b é f(x) g(x) dx. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

26 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Exemplo Clcule áre compreendid entre o gráfico de f e o eixo x. 1. f(x) = x x 3, x [0,2], 2. f(x) = x, x [0,3], 3. f(x) = sen(x), x [0,π]. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

27 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Exemplo Clcule áre do conjunto A = { (x,y) R 2 ; x 2 y x }. Temos que x 2 y x 0 x 1. Portnto área = 1 0 ( x x 2 )dx = 1 3. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I

28 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl Cálculo de áres Exemplo Clcule áre d região compreendid entre os gráficos de y = x e y = x 2, com 0 x 2. As curvs y = x e y = x 2 interceptm-se nos pontos x = 0 e x = 1. Então, áre = 1 0 (x x 2 )dx (x 2 x)dx = 1. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I