Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)

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1 Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Integrl Imprópri Integrl imprópri em R n (n =,, 3) Autores: Angel Cássi Bizutti e Ivo Fernndez Lopez Introdução A integrl múltipl (dupl/tripl) é presentd, em gerl, pr funções contínus por prtes (logo itds) em regiões fechds e itds. No entnto, definição de integrl pode ser estendid pr funções que não são itds e/ou definids em regiões não itds. É o que se denomin integrl de Riemnn imprópri. Os livros de Cálculo que pesquismos ou não bordm este tópico, ou o fzem de modo muito superficil. Os livros de Análise qundo o fzem, trtm de form ou superficil ou sofisticd em excesso, pr um primeiro contto. Por est rzão resolvemos escrever ests nots. Antes de começr o estudo d integrl múltipl imprópri, vmos ver (rever) o básico d integrl imprópri de um vriável. Integrl Imprópri de um vriável Definição. Sej f contínu por prtes em [, + ). Define-se f(x) = N f(x), N + se o ite for finito; de modo similr, se f contínu por prtes em (, b], define-se b b f(x) = f(x), M M

2 se o ite for finito. Finlmente, se f contínu por prtes em R, f(x) = M se mbos os ites forem finitos. b M f(x) + N + N b f(x), Observção. No cso d integrl imprópri existir, dizemos que el é convergente, cso contrário dizemos que el diverge. Exemplo. Discut convergênci de x ln (x). Utilizndo mudnç de vriável u = ln(x), tem-se du x ln (x) = u = u = ln(x). Assim, N N + x ln (x) = ( N + ln(n) + ln() ) = ln() logo integrl cim converge. Exemplo. Discut convergênci de x x. Utilizndo mudnç de vriável x = sec θ, tem-se x x = dθ = θ = rcos(/x). Assim, N + N x x = (rcos(/n) rcos(/)) = π/ π/3 = π/6 N + logo integrl cim converge. Observção. Se N + N N f(x) for finito, ele é denomindo vlor principl de Cuchy (V.P.C.) de f(x). Se integrl converge, o mesmo ocorre com o V.P.C. d integrl (e pr o mesmo vlor), ms recíproc nem sempre é verddeir.

3 3 Exemplo 3. Discut convergênci de A integrl diverge, pois + x + x. No entnto, V.P.C. + x + x = (rctn(n) + N + Ln( + N )) = +. + x + x = (rctn(n) rctn( N)) = π N + Definição. Sej f contínu por prtes em [, b), f não itd em vizinhnç de b. Define-se então b b δ f(x) = f(x), δ + se o ite for finito; de modo similr, se f contínu por prtes em (, b], f não itd em vizinhnç de, define-se b f(x) = δ + b +δ f(x), se o ite for finito. Finlmente, se f contínu por prtes em [, c) (c, b], f não itd em vizinhnç de c, tem-se b f(x) = δ + se mbos os ites forem finitos. c δ Exemplo 4. Discut convergênci de f(x) + δ + x. b Temos que = [ δ] = δ + δ x δ + Portnto integrl converge pr. c+δ f(x),

4 4 Exemplo 5. Discut convergênci de Como integrl diverge. δ δ + (x ) = δ +[ δ (x ). ] =, Observção 3. As definições e podem ser combinds pr clculr integris de funções não itds, em intervlos não itdos. A seguir serão presentds proposições que judm provr convergênci de integris imprópris. Proposição. (i) Sej f função definid no intervlo itdo I, com número finito de descontinuiddes de segund espécie em I e sej g, tmbém definid em I, com os mesmos pontos de descontinuidde de segund espécie que f. Suponh que f(x) g(x), pr cd x I e que I g(x) é convergente. Então I f(x) tmbém é convergente. (ii) Sejm f e g funções definids e contínus por prtes num intervlo não itdo I. Suponh que f(x) g(x), pr cd x I e que I g(x) é convergente. Então I f(x) tmbém é convergente. Prov: (i) Suponh, sem perd de generlidde, que I = [, b], com único ponto de descontinuidde de segund espécie pr f e g em b. Nesse cso f e g são integráveis em [, b δ], pr cd δ >. Assim, como f g em I, tem-se b δ f(x) b δ g(x), δ >. Como b g(x) é convergente, tem-se b δ f(x) uniformemente itd com relção δ >. Além disso, como f, tem-se b δ f(x) crescente em relção δ >. Portnto tem-se que b δ f(x) é convergente, isto é, b δ δ + f(x) é finito. A prov de (ii) é similr.

5 Se I f(x) é convergente, então I f(x) tmbém é con- Proposição. vergente. Prov: Como f(x) f(x) f(x), tem-se f(x) + f(x) f(x). Se I f(x) converge, tem-se, d proposição, que I ( f(x) + f(x)) tmbém converge. Utilizndo-se proprieddes de integrl tem-se f(x) = ( f(x) + f(x)) f(x). Então, por propriedde de ites, I f(x) converge. Observção 4. Qundo I f(x) é convergente dizemos que I f(x) é bsolutmente convergente. A recíproc d proposição é fls ( ver exemplos 7 e 8 seguir ). Nestes csos dizemos que I f(x) é condicionlmente convergente. Exemplo 6. Discut convergênci de Tem-se cos x x x, pr cd x [, + ) e dí x = N + N x = logo, pel proposição, item (ii), tem-se cos x x. N + [ ] =, N 5 cos x convergente. Finlmente, pel proposição, tem-se convergênci d integrl em questão. Exemplo 7. Discut convergênci de Integrndo por prtes, tem-se N sen x x = cos N + cos() N x sen x x. N cos x x. Do exemplo nterior, segue que integrl do segundo membro d equção cim cos N converge e, como cos N é itd, tem-se que N + =, ssim, N integrl em questão é convergente.

6 6 Exemplo 8. Mostre que De fto: mπ sen x π = x sen x diverge. x sen x x m + n= (n+)π nπ sen x. x Como x, se x [nπ, (n + )π], segue que (n + )π (n+)π sen x (n+)π sen x = nπ x (n + )π nπ (n + )π n+ π n+ x, pois x, se x [n +, n + ]. Assim, n + m n= (n+)π nπ sen x x π m n= n+ n+ x = π ln(m + ). Finlmente, encontrmos mπ sen x x π ln(m + ). Como m + ln( m+ ) = +, segue que integrl em questão diverge. Integrl múltipl imprópri Integrl múltipl Definição 3. Dizemos que um conjunto X R n, n = 3 (ou n = ) tem conteúdo nulo qundo, ddo qulquer ɛ >, o conjunto pode ser coberto por um quntidde finit de prlelepípedos (retângulos, se n = ) bertos cuj som dos volumes (áres, se n = ) é menor que ɛ. Definição 4. Sej n =, 3. Dizemos que um função f : R n R é contínu por prtes se é itd e o conjunto dos pontos de descontinuidde, cso existm, é de conteúdo nulo. Dizemos que um função f : U R n R é contínu por prtes se su extensão f : R n R é contínu por prtes, sendo f em R n \ U.

7 Proposição 3. Sej n =, 3. Sej D R n conjunto fechdo e itdo tl que su fronteir tenh conteúdo nulo. Sej f : D R n R um função contínu por prtes. Então f é integrável em D, isto é, existe integrl de Riemnn f dv. D Esboço d prov: Consideremos n = 3. Sej k > tl que f(x) < k pr todo x em D. Ddo ɛ >, podemos escolher um quntidde finit de prlelepípedos que contenhm s descontinuiddes de f e tmbém fronteir de D e que tenhm som dos volumes menor que ɛ/(4k). Sej P união destes prlelepípedos e sej R um prlelepípedo que contenh D e P. Em R \ P função f é contínu e, portnto, é Riemnn integrável. Podemos, então, escolher prtição pr R tl que diferenç entre som superior de Riemnn e som inferior de Riemnn em R \ P sej menor que ɛ/. A diferenç entre s soms de Riemnn inferior e superior em P será menor que k.v ol(p ) < ɛ/. Conclui-se, então, que, pr todo ɛ > temos prtição de R tl que diferenç entre s soms de Riemnn superior e inferior é menor que ɛ, mostrndo que f é Riemnn integrável. A prov no cso n = é similr. Observção 5. O conceito de conteúdo nulo poderi ser substituído nests nots pelo conceito de medid nul que é mis gerl e estendido pr dimensão n > 3. Integrl múltipl em domínios não itdos Definição 5. Sej região não itd de R n (n = ou n = 3). A fmíli de subconjuntos ( ) n é dit proximção dmissível pr ão itdo se stisfz o seguinte: os subconjuntos, pr todo n N, são fechdos e itdos de ; +, n; n= = ; pr tod bol (disco, se n = ) fechd de centro n origem e rio r > existe tl que B r (). Exemplo 9. Sej = R. Então fmíli de conjuntos = [ n, n] [ n, n] é um sequênci dmissível pr. Outr possibilidde é quel formd pel fmíli de conjuntos = {(x, y) ; x + y n }. Exemplo. Sej = R 3. Podemos considerr como proximções dmissíveis pr s seguintes fmílis de conjuntos ( ) n : 7

8 8 = [ n, n] [ n, n] [ n, n] ; = {(x, y, z) ; x + y + z n }; = {(x, y, z) ; x + y n ; n z n}. Definição 6. Sej f um função ( de dus ou três vriáveis ), contínu por prtes em, região não itd de R n (n = ou n = 3). Sej ( ) n, n N, um proximção dmissível pr ão itdo. Define-se então f(x, y, z)dv = n + f(x, y, z)dv, se o ite é finito e independe d escolh dos subconjuntos. Nesse cso, dizemos que integrl é convergente. Cso contrário, dizemos que integrl é divergente. A definição é nálog pr f(x, y) em R. No entnto, plicção do critério cim pode ser trblhos mesmo em situções simples, pois deve-se mostrr que o ite existe e coincide pr tod escolh dmissível d seqüênci de subconjuntos. As proposições seguir estbelecem condições suficientes pr que integrl imprópri de f sej convergente em. Proposição 4. Sej f um função não negtiv em ( de dus ou três vriáveis ), contínu por prtes em, região não itd de R n (n = ou n = 3). Se existe M > e seqüênci de subconjuntos ( ), n N stisfzendo s condições d definição 5 de modo que f(x, y, z) dv M, n N, tem-se que f(x, y, z) dv converge e f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv. n A proposição é nálog pr região em R. Prov: Como os são crescentes tem-se que seqüênci (I n ) com I n := f(x, y, z) dv é monóton crescente. Por hipótese tl seqüênci é itd superiormente e, portnto, convergente. Rest mostrr convergênci

9 pr este mesmo ite de tod seqüênci de subconjuntos (ϕ n ) stisfzendo s condições d definição 5. Como (ϕ n ), pels hipóteses d definição 5, é itdo, pr cd n existe B r () tl que B r () contém ϕ n. Aind ds hipóteses d definição temos que existe m que contém B r () e, portnto, ϕ n. Dí, como f(x, y, z), vem f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv < M. ϕ n m Est estimtiv vle pr todo n. Do que já foi dito, vemos que existe n ϕ n f dv e que f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv. () n ϕ n n Por outro ldo, usndo os mesmos rgumentos, temos que pr cd existe ϕ m tl que ϕ m. Dí vem f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv. () n n ϕ n Finlmente, ds desigulddes () e () segue que como desejávmos. n f dv = f dv, ϕ n n Proposição 5. Sej f um função ( de dus ou três vriáveis ), contínu por prtes em, região não itd de R n (n = ou n = 3). Se existe M > e seqüênci de subconjuntos ( ), n N stisfzendo s condições d definição 5 de modo que f(x, y, z) dv M, n N, tem-se que f(x, y, z) dv converge e f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv. n A proposição é nálog pr região em R. 9

10 Prov: D proposição 4 temos que f(x, y, z) dv converge. Sej I n := f(x, y, z) dv e J n := f(x, y, z) dv. Se m > n temos que J m J n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m \ = I m I n. m \ (3) Sej ɛ >, como (I n ) é seqüênci de Cuchy temos que pr todo ɛ > existe N tl que se m > n > N segue que I m I n < ɛ e usndo (3) obtemos que J m J n < ɛ, mostrndo convergênci. Sejm I e J os ites de (I n ) e (J n ). Rest mostrr convergênci pr J d integrl em tod seqüênci de subconjuntos stisfzendo s condições d definição 5. Sej (ϕ n ) um sequênci dests e ɛ >. Tomemos N tl que pr todo n > N temos que ϕ I f(x, y, z) dv < ɛ n 3. (4) Pr cd n podemos escolher m tl que ϕ n m e I f(x, y, z) dv < ɛ m 3 e J f(x, y, z) dv < ɛ m 3, (5) tl escolh é possível ds hipóteses d definição 5 e ds convergêncis de (J m ) e (I m ) J e I. Aplicndo desiguldde tringulr e s estimtivs (4) e (5) segue

11 que ϕ J f(x, y, z) dv n J f(x, y, z) dv + f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m m ϕ n < ɛ 3 + f(x, y, z) dv ɛ m \ϕ n 3 + f(x, y, z) dv m \ϕ n = ɛ 3 + f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m ϕ n ɛ 3 + I f(x, y, z) dv + I f(x, y, z) dv < ɛ, m ϕ n mostrndo que o ite existe e independe d escolh de (ϕ n ). Exemplo. Discut convergênci de da. x y e R Considere = {(x, y); x +y n }. É fácil ver que () n stisfz s condições d definição 5, sendo então um proximção dmissível pr. Utilizndo mudnç de vriável pr coordends polres encontr-se x y e da = π n e r rdrdθ = π x y e ( e n) π(+e n ) π, n N. Segue-se, pel proposição 4, que integrl converge e o vlor d integrl é da = (π( )) = π. n n e n Observção 6. Observe que não existe um constnte itnte superior únic possível, pois qulquer outr mior que já obtid tmbém serve. Além disso constnte itnte superior não é necessrimente o vlor d integrl! Exemplo. Utilizndo o exemplo, obtenh o vlor de e o e x vlor de Γ(3/), onde Γ(x) = e t t x dt. Note que Γ é um generlizção do ftoril, pois Γ(x + ) = (x + )Γ(x), propriedde que decorre d integrção por prtes.

12 Sej = [ n, n] [ n, n]. Como integrl que x y x y π = e da = e da = R n + ( n ( = 4 e ) x = 4 e ) x = n + x y e R +n n + n ( da converge, temos +n n e x y dy e x ), logo = π. e x Como Γ(x + ) = (x + )Γ(x), bst clculr o vlor de Γ(/). Por outro ldo, fzendo mudnç de vriável t = u, tem-se Γ(/) = Finlmente obtemos Γ(3/) = 3 π Exemplo 3. Discut convergênci de e t t dt = e u du = I = π. R (x + y + z + ) dv. 3 Considere = {(x, y, z); x + y + z n }. É fácil ver que () n stisfz s condições d definição 5, sendo então um proximção dmissível pr. Utilizndo mudnç de vriável pr coordends esférics tem-se (x + y + z + ) dv = π rctn(n) π. π π n = 4π ρ sen ϕ (ρ + ) dρ dϕ dθ ( ) rctn(n) n ( + n ) Novmente pel proposição 4, integrl converge e dv = R (x + y + z + ) 3 n (x + y + z + ) dv = π. Exemplo 4. Verifique que integrl D e x y da, onde região D é o primeiro qudrnte do plno xy, converge e clcule seu vlor.

13 Consideremos fmíli de subconjuntos D n = [, n] [, n]. El stisfz s condições pr ser um proximção dmissível pr D. n n e x y da = e x y dy = ( e n ) ( + ) = 4. D n Então pel proposição 4, integrl converge e tem-se e x y da = e x y da = ( D n + D n + e n ) =. n Observção 7. Suponh que um fmíli dmissível ( ) n hipótese 3 não stisfz à f(x, y, z) dv M, n N, (6) d Proposição 5. Nesse cso, Proposição não pode ser utilizd, ms, d definição de integrl imprópri pode-se concluir que, se n + f(x, y, z) dv não existir ou for igul, então integrl imprópri diverge. Ms, se n + f(x, y, z) dv for igul um vlor finito, nd se pode concluir, pois foi utilizd pens um fmíli prticulr dmissível. Exemplo 5. Verifique se integrl sen (x + y ) dv converge, onde é o primeiro octnte de R 3. Sej = {(x, y, z) ; x + y n x ; y ; z n}. Est fmíli é dmissível, ms hipótese 6 não é stisfeit, devido à oscilção d função seno. Logo não é possível usr Proposição 5. Ms,utilizndo mudnç pr coordends cilíndrics, tem-se π/ n n sen (x + y ) dv = sen (r )r dz dr dθ = nπ 4 ( cos (n )). Tomndo ite qundo n + verific-se que o ite não existe, logo, d observção nterior conclui-se que integrl diverge. Integrl múltipl de funções não itds Definição 7. Sej um região fechd e itd cuj fronteir tem conteúdo nulo em R 3. Considere seqüênci de subconjuntos fechdos e itdos de

14 4 denotd ( ), cd um com fronteir de conteúdo nulo e que stisfzem +, pr cd n e n V ol( ) = V ol(). Sej f um função não itd em lgum vizinhnç de lgum(ns) ponto(s) de ms que é contínu por prtes em cd. Define-se então f(x, y, z)dv = n + f(x, y, z)dv, se o ite é finito e independente d escolh dos subconjuntos. Diz-se neste cso que integrl é convergente. A definição é nálog pr f(x, y) em R. Exemplo 6. Sej = [, ] [, ] R e f iitd num vizinhnç de lgum ponto d ret x = e/ou d ret y =. Então, se = [/n, ] [/n, ]; n, tem-se que é fechdo e itdo pr cd n, com fronteir de conteúdo nulo, + e A( ) = ( /n) = A(), qundo n e f contínu por prtes em cd. Então stisfz definição 7. Exemplo 7. Sej = {(x, y, z) R 3, x + y, z [, ]} e f iitd num vizinhnç do ponto (,, ). Então, se considermos = {(x, y, z) R 3, /n x + y, z [, ]}, tem-se fechdo e itdo, pr cd n, com fronteir de conteúdo nulo, + e tmbém V ol( ) = π( /n ) π = V ol(), qundo n e f contínu por prtes em cd, logo stisfz definição 7. D mesm form que n integrl imprópri em domínios não itdos, temos que o critério cim pode ser trblhoso mesmo em situções simples, pois devese mostrr que o ite existe e coincide pr tod escolh válid d seqüênci de subconjuntos. As proposições seguir, nálogs às proposições 4 e 5, estbelecem condição suficiente pr que integrl imprópri de f sej convergente em. Proposição 6. Sejm, ( ) e f stisfzendo s hipóteses d definição 7. Suponh dicionlmente que f sej um função não negtiv em e que existe M > tl que f(x, y, z) dv M, n N.

15 Então tem-se que f(x, y, z) dv converge e f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv. n A proposição é nálog pr região em R. Prov: Como os são crescentes tem-se que seqüênci (I n ) com I n := f(x, y, z) dv é monóton crescente. Por hipótese tl seqüênci é itd superiormente e, portnto, convergente. Sej I este ite. Rest mostrr convergênci pr este mesmo ite de tod seqüênci de subconjuntos (ϕ n ) stisfzendo s condições d definição 7. Como ϕ n f(x, y, z) dv é monóton crescente temos que ou é convergente ou diverge pr infinito. Suponhmos, inicilmente, que sej convergente pr o vlor Ĩ e que I > Ĩ. Sej δ > tl que Ĩ + δ < I. Então podemos escolher tl que f(x, y, z) dv > Ĩ + δ e sej k := sup (x,y,z) n f(x, y, z). Ds hipóteses d definição 7 temos que existe ϕ m tl que V ol() V ol(ϕ m ) < δ. Então temos, k Ĩ + δ < f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv + f(x, y, z) dv \ϕ m ϕ m k δ k + f(x, y, z) dv δ ϕ m + Ĩ, crcterizndo o bsurdo. Anlisemos gor o cso em que ϕ n f(x, y, z) dv converge pr Ĩ > I. Neste cso, bst repetir os rgumentos nteriores trocndo os ppéis de ( ) e (ϕ n ). Finlmente, rest nlisr o cso em que ϕ n f(x, y, z) dv diverge pr infinito. Sejm δ > e ϕ n tis que ϕ n f(x, y, z) dv > I + δ e sej k := sup (x,y,z) ϕn f(x, y, z). Sej m tl que V ol() V ol( m ) < δ k. Então I + δ < f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv + f(x, y, z) dv ϕ n ϕ n \ m ϕ n m k δ k + f(x, y, z) dv δ m + I, 5

16 6 mostrndo, por bsurdo, que o ite existe e não depende d escolh d seqüênci de subconjuntos. Proposição 7. Sejm, ( ) e f stisfzendo s hipóteses d definição 7. Suponh dicionlmente que existe M > tl que f(x, y, z) dv M, n N. Então tem-se que f(x, y, z) dv converge e f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv. n A proposição é nálog pr região em R. Prov: D proposição 6 temos que f(x, y, z) dv converge. Sej I n := f(x, y, z) dv e J n := f(x, y, z) dv. Se m > n temos que J m J n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m \ = I m I n. m \ Sej ɛ >, como (I n ) é seqüênci de Cuchy temos que pr todo ɛ > existe N tl que se m > n > N segue que I m I n < ɛ e usndo (7) obtemos que J m J n < ɛ, mostrndo convergênci. Sejm I e J os ites de (I n ) e (J n ). Rest mostrr convergênci pr J d integrl em tod seqüênci de subconjuntos stisfzendo s condições d definição 7. Sej (ϕ n ) um subsequênci dests. Usndo o mesmo rgumento, decorre d convergênci d integrl de f que integrl de f converge. Suponhmos que sej convergente pr o vlor J. Aplicndo desiguldde tringulr dus vezes (7)

17 temos que J J J f(x, y, z) dv + J f(x, y, z) dv ϕ m n (8) + f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv, ϕ m então f(x, y, z)dv f(x, y, z)dv f(x, y, z) dv + ϕ m ϕ m \ n f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv ϕ m \ϕ m ϕ m f(x, y, z) dv + f(x, y, z) dv. ϕ m \ \ϕ m Temos que f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv ϕ m \ (ϕ m )\ n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv ϕ m e, de form similr, f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv \ϕ m ( ϕ m )\ϕ m = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv. ϕ m ϕ m Combinndo s desigulddes (8), (9), () e () obtemos que J J J f(x, y, z) dv + J f(x, y, z) dv ϕ m n + f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv. ϕ m ϕ m 7 (9) () () ()

18 8 Ms, ddo ɛ >, podemos escolher índices m e n tis que J f(x, y, z) dv < ɛ/4, f(x, y, z) dv > I ɛ/4, ϕ m ϕ m J f(x, y, z) dv < ɛ/4 e f(x, y, z) dv > I ɛ/4. n Observemos, tmbém, que ϕ m f(x, y, z) dv I. Então, usndo () obtemos ɛ J J < 4 + ɛ 4 + I (I ɛ 4 ) (I ɛ 4 ) = ɛ. Como ɛ é qulquer, concluímos que J = J, mostrndo que integrl converge de form independente d escolh d seqüênci de subconjuntos. Exemplo 8. Discut convergênci d integrl definido por = {(x, y) R ; x + y }. da, sendo x y Tem-se neste cso que f não é itd em um vizinhnç de cd ponto d fronteir de ( ). Sej = {(x, y) R ; x + y ( /n) }. Então + e A( ) = π( /n) que converge π = A() qundo n tende infinito. Utilizndo-se mudnç de coordends polres, obtém-se x y da = π /n r dr dθ r = π( ( ( n ) ) / ) π. Assim, pel proposição 6, tem-se que integrl em questão converge pr o ite ds integris em, isto é da = x y n x y da = π( ( ( n n ) ) / ) = π. Exemplo 9. Discut convergênci d integrl ln x + y + z dv, sendo definido por = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z }.

19 Tem-se neste cso que f não é itd em um vizinhnç de (,, ) pertencente o interior de. Sej = {(x, y, z) R 3 ; n x +y +z }. Então + e V ol( ) = 4 3 π( n 3) que converge 4 π = V ol() qundo n 3 tende infinito. Utilizndo-se mudnç de coordends esférics, obtém-se ln π π x + y + z dv = ρ sen ϕ ln(ρ) dθ dϕ dρ /n = 4π de onde segue, integrndo por prtes, que ln x + y + z 4π dv = 9 ρ3 (3 ln(ρ) ) /n = 4π [ 9 n 3 ln(n) ] 4π 3 n 3 9. /n ρ ln(ρ) dρ, Segue-se, então, d proposição 7 que integrl em questão converge e que podemos utilizr os conjuntos cim pr obter o vlor d integrl, isto é, ln x + y + z dv = n + = n + 4π 9 ln x + y + z dv [ n n 3 ln(n) ] = 4π 3 n 3 9. Observção 8. Assim como no cso d integrl imprópri em R, pode-se definir um Vlor Principl de Cuchy de um integrl imprópri múltipl, qundo pr um determind seqüênci de subconjuntos integrl tem ite finito. Pode ocorrer que este ite não exist pr outr seqüênci de subconjuntos ou mesmo exist ms com vlor diferente. Observção 9. As definições 6 e 7 podem ser combinds pr estender integrl de Riemnn pr funções não itds em domínios não itdos. Exemplo. Verifique se D f(x, y) da converge, onde D é o plno xy e sen (x f(x, y) = +y ). (x +y ) 3/4 x +y + 9

20 Note que região D não é itd e função é iitd em um vizinhnç de (, ) D. Nesse cso, pode-se escrever D = B C, com : B = {(x, y) ; x + y } e C = {(x, y) ; x + y }. Assim, tem-se: f(x, y) da = f(x, y) da + f(x, y) da (3) D B A primeir integrl do segundo membro de (3) será n região itd B, ms com função f(x, y) iitd em um vizinhnç do ponto (, ) B. A segund integrl do segundo membro de (3) terá função f(x, y) contínu em C, ms C região não itd. Pr resolver primeir integrl do segundo membro, proximmos B pel fmíli de subconjuntos B n = {(x, y), n x + y } e mostrmos que B n f(x, y) da B n da 4π; verificmos s demis hipóteses d (x +y ) 3/4 proposição 7, logo grntimos convergênci dest integrl. Pr resolver segund integrl do segundo membro, proximmos C pel fmíli C m = {(x, y), x + y m }; mostrmos que C m f(x, y) da C m da 4π; verificmos s demis hipóteses d proposição 5, ssim (x +y ) 5/4 grntimos convergênci dest integrl. Podemos concluir então que integrl do primeiro membro de (3) converge pr som dos vlores ds dus prcels do segundo membro (não dá pr clculr qul será este vlor!!). Observção. Cso um ds integris do segundo membro de (3) divergisse e outr convergisse, conclusão seri que integrl procurd divergiri. Se s dus divergissem, mbs de funções positivs, conclusão tmbém seri pel divergênci. C