Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)"

Transcrição

1 Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Integrl Imprópri Integrl imprópri em R n (n =,, 3) Autores: Angel Cássi Bizutti e Ivo Fernndez Lopez Introdução A integrl múltipl (dupl/tripl) é presentd, em gerl, pr funções contínus por prtes (logo itds) em regiões fechds e itds. No entnto, definição de integrl pode ser estendid pr funções que não são itds e/ou definids em regiões não itds. É o que se denomin integrl de Riemnn imprópri. Os livros de Cálculo que pesquismos ou não bordm este tópico, ou o fzem de modo muito superficil. Os livros de Análise qundo o fzem, trtm de form ou superficil ou sofisticd em excesso, pr um primeiro contto. Por est rzão resolvemos escrever ests nots. Antes de começr o estudo d integrl múltipl imprópri, vmos ver (rever) o básico d integrl imprópri de um vriável. Integrl Imprópri de um vriável Definição. Sej f contínu por prtes em [, + ). Define-se f(x) = N f(x), N + se o ite for finito; de modo similr, se f contínu por prtes em (, b], define-se b b f(x) = f(x), M M

2 se o ite for finito. Finlmente, se f contínu por prtes em R, f(x) = M se mbos os ites forem finitos. b M f(x) + N + N b f(x), Observção. No cso d integrl imprópri existir, dizemos que el é convergente, cso contrário dizemos que el diverge. Exemplo. Discut convergênci de x ln (x). Utilizndo mudnç de vriável u = ln(x), tem-se du x ln (x) = u = u = ln(x). Assim, N N + x ln (x) = ( N + ln(n) + ln() ) = ln() logo integrl cim converge. Exemplo. Discut convergênci de x x. Utilizndo mudnç de vriável x = sec θ, tem-se x x = dθ = θ = rcos(/x). Assim, N + N x x = (rcos(/n) rcos(/)) = π/ π/3 = π/6 N + logo integrl cim converge. Observção. Se N + N N f(x) for finito, ele é denomindo vlor principl de Cuchy (V.P.C.) de f(x). Se integrl converge, o mesmo ocorre com o V.P.C. d integrl (e pr o mesmo vlor), ms recíproc nem sempre é verddeir.

3 3 Exemplo 3. Discut convergênci de A integrl diverge, pois + x + x. No entnto, V.P.C. + x + x = (rctn(n) + N + Ln( + N )) = +. + x + x = (rctn(n) rctn( N)) = π N + Definição. Sej f contínu por prtes em [, b), f não itd em vizinhnç de b. Define-se então b b δ f(x) = f(x), δ + se o ite for finito; de modo similr, se f contínu por prtes em (, b], f não itd em vizinhnç de, define-se b f(x) = δ + b +δ f(x), se o ite for finito. Finlmente, se f contínu por prtes em [, c) (c, b], f não itd em vizinhnç de c, tem-se b f(x) = δ + se mbos os ites forem finitos. c δ Exemplo 4. Discut convergênci de f(x) + δ + x. b Temos que = [ δ] = δ + δ x δ + Portnto integrl converge pr. c+δ f(x),

4 4 Exemplo 5. Discut convergênci de Como integrl diverge. δ δ + (x ) = δ +[ δ (x ). ] =, Observção 3. As definições e podem ser combinds pr clculr integris de funções não itds, em intervlos não itdos. A seguir serão presentds proposições que judm provr convergênci de integris imprópris. Proposição. (i) Sej f função definid no intervlo itdo I, com número finito de descontinuiddes de segund espécie em I e sej g, tmbém definid em I, com os mesmos pontos de descontinuidde de segund espécie que f. Suponh que f(x) g(x), pr cd x I e que I g(x) é convergente. Então I f(x) tmbém é convergente. (ii) Sejm f e g funções definids e contínus por prtes num intervlo não itdo I. Suponh que f(x) g(x), pr cd x I e que I g(x) é convergente. Então I f(x) tmbém é convergente. Prov: (i) Suponh, sem perd de generlidde, que I = [, b], com único ponto de descontinuidde de segund espécie pr f e g em b. Nesse cso f e g são integráveis em [, b δ], pr cd δ >. Assim, como f g em I, tem-se b δ f(x) b δ g(x), δ >. Como b g(x) é convergente, tem-se b δ f(x) uniformemente itd com relção δ >. Além disso, como f, tem-se b δ f(x) crescente em relção δ >. Portnto tem-se que b δ f(x) é convergente, isto é, b δ δ + f(x) é finito. A prov de (ii) é similr.

5 Se I f(x) é convergente, então I f(x) tmbém é con- Proposição. vergente. Prov: Como f(x) f(x) f(x), tem-se f(x) + f(x) f(x). Se I f(x) converge, tem-se, d proposição, que I ( f(x) + f(x)) tmbém converge. Utilizndo-se proprieddes de integrl tem-se f(x) = ( f(x) + f(x)) f(x). Então, por propriedde de ites, I f(x) converge. Observção 4. Qundo I f(x) é convergente dizemos que I f(x) é bsolutmente convergente. A recíproc d proposição é fls ( ver exemplos 7 e 8 seguir ). Nestes csos dizemos que I f(x) é condicionlmente convergente. Exemplo 6. Discut convergênci de Tem-se cos x x x, pr cd x [, + ) e dí x = N + N x = logo, pel proposição, item (ii), tem-se cos x x. N + [ ] =, N 5 cos x convergente. Finlmente, pel proposição, tem-se convergênci d integrl em questão. Exemplo 7. Discut convergênci de Integrndo por prtes, tem-se N sen x x = cos N + cos() N x sen x x. N cos x x. Do exemplo nterior, segue que integrl do segundo membro d equção cim cos N converge e, como cos N é itd, tem-se que N + =, ssim, N integrl em questão é convergente.

6 6 Exemplo 8. Mostre que De fto: mπ sen x π = x sen x diverge. x sen x x m + n= (n+)π nπ sen x. x Como x, se x [nπ, (n + )π], segue que (n + )π (n+)π sen x (n+)π sen x = nπ x (n + )π nπ (n + )π n+ π n+ x, pois x, se x [n +, n + ]. Assim, n + m n= (n+)π nπ sen x x π m n= n+ n+ x = π ln(m + ). Finlmente, encontrmos mπ sen x x π ln(m + ). Como m + ln( m+ ) = +, segue que integrl em questão diverge. Integrl múltipl imprópri Integrl múltipl Definição 3. Dizemos que um conjunto X R n, n = 3 (ou n = ) tem conteúdo nulo qundo, ddo qulquer ɛ >, o conjunto pode ser coberto por um quntidde finit de prlelepípedos (retângulos, se n = ) bertos cuj som dos volumes (áres, se n = ) é menor que ɛ. Definição 4. Sej n =, 3. Dizemos que um função f : R n R é contínu por prtes se é itd e o conjunto dos pontos de descontinuidde, cso existm, é de conteúdo nulo. Dizemos que um função f : U R n R é contínu por prtes se su extensão f : R n R é contínu por prtes, sendo f em R n \ U.

7 Proposição 3. Sej n =, 3. Sej D R n conjunto fechdo e itdo tl que su fronteir tenh conteúdo nulo. Sej f : D R n R um função contínu por prtes. Então f é integrável em D, isto é, existe integrl de Riemnn f dv. D Esboço d prov: Consideremos n = 3. Sej k > tl que f(x) < k pr todo x em D. Ddo ɛ >, podemos escolher um quntidde finit de prlelepípedos que contenhm s descontinuiddes de f e tmbém fronteir de D e que tenhm som dos volumes menor que ɛ/(4k). Sej P união destes prlelepípedos e sej R um prlelepípedo que contenh D e P. Em R \ P função f é contínu e, portnto, é Riemnn integrável. Podemos, então, escolher prtição pr R tl que diferenç entre som superior de Riemnn e som inferior de Riemnn em R \ P sej menor que ɛ/. A diferenç entre s soms de Riemnn inferior e superior em P será menor que k.v ol(p ) < ɛ/. Conclui-se, então, que, pr todo ɛ > temos prtição de R tl que diferenç entre s soms de Riemnn superior e inferior é menor que ɛ, mostrndo que f é Riemnn integrável. A prov no cso n = é similr. Observção 5. O conceito de conteúdo nulo poderi ser substituído nests nots pelo conceito de medid nul que é mis gerl e estendido pr dimensão n > 3. Integrl múltipl em domínios não itdos Definição 5. Sej região não itd de R n (n = ou n = 3). A fmíli de subconjuntos ( ) n é dit proximção dmissível pr ão itdo se stisfz o seguinte: os subconjuntos, pr todo n N, são fechdos e itdos de ; +, n; n= = ; pr tod bol (disco, se n = ) fechd de centro n origem e rio r > existe tl que B r (). Exemplo 9. Sej = R. Então fmíli de conjuntos = [ n, n] [ n, n] é um sequênci dmissível pr. Outr possibilidde é quel formd pel fmíli de conjuntos = {(x, y) ; x + y n }. Exemplo. Sej = R 3. Podemos considerr como proximções dmissíveis pr s seguintes fmílis de conjuntos ( ) n : 7

8 8 = [ n, n] [ n, n] [ n, n] ; = {(x, y, z) ; x + y + z n }; = {(x, y, z) ; x + y n ; n z n}. Definição 6. Sej f um função ( de dus ou três vriáveis ), contínu por prtes em, região não itd de R n (n = ou n = 3). Sej ( ) n, n N, um proximção dmissível pr ão itdo. Define-se então f(x, y, z)dv = n + f(x, y, z)dv, se o ite é finito e independe d escolh dos subconjuntos. Nesse cso, dizemos que integrl é convergente. Cso contrário, dizemos que integrl é divergente. A definição é nálog pr f(x, y) em R. No entnto, plicção do critério cim pode ser trblhos mesmo em situções simples, pois deve-se mostrr que o ite existe e coincide pr tod escolh dmissível d seqüênci de subconjuntos. As proposições seguir estbelecem condições suficientes pr que integrl imprópri de f sej convergente em. Proposição 4. Sej f um função não negtiv em ( de dus ou três vriáveis ), contínu por prtes em, região não itd de R n (n = ou n = 3). Se existe M > e seqüênci de subconjuntos ( ), n N stisfzendo s condições d definição 5 de modo que f(x, y, z) dv M, n N, tem-se que f(x, y, z) dv converge e f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv. n A proposição é nálog pr região em R. Prov: Como os são crescentes tem-se que seqüênci (I n ) com I n := f(x, y, z) dv é monóton crescente. Por hipótese tl seqüênci é itd superiormente e, portnto, convergente. Rest mostrr convergênci

9 pr este mesmo ite de tod seqüênci de subconjuntos (ϕ n ) stisfzendo s condições d definição 5. Como (ϕ n ), pels hipóteses d definição 5, é itdo, pr cd n existe B r () tl que B r () contém ϕ n. Aind ds hipóteses d definição temos que existe m que contém B r () e, portnto, ϕ n. Dí, como f(x, y, z), vem f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv < M. ϕ n m Est estimtiv vle pr todo n. Do que já foi dito, vemos que existe n ϕ n f dv e que f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv. () n ϕ n n Por outro ldo, usndo os mesmos rgumentos, temos que pr cd existe ϕ m tl que ϕ m. Dí vem f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv. () n n ϕ n Finlmente, ds desigulddes () e () segue que como desejávmos. n f dv = f dv, ϕ n n Proposição 5. Sej f um função ( de dus ou três vriáveis ), contínu por prtes em, região não itd de R n (n = ou n = 3). Se existe M > e seqüênci de subconjuntos ( ), n N stisfzendo s condições d definição 5 de modo que f(x, y, z) dv M, n N, tem-se que f(x, y, z) dv converge e f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv. n A proposição é nálog pr região em R. 9

10 Prov: D proposição 4 temos que f(x, y, z) dv converge. Sej I n := f(x, y, z) dv e J n := f(x, y, z) dv. Se m > n temos que J m J n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m \ = I m I n. m \ (3) Sej ɛ >, como (I n ) é seqüênci de Cuchy temos que pr todo ɛ > existe N tl que se m > n > N segue que I m I n < ɛ e usndo (3) obtemos que J m J n < ɛ, mostrndo convergênci. Sejm I e J os ites de (I n ) e (J n ). Rest mostrr convergênci pr J d integrl em tod seqüênci de subconjuntos stisfzendo s condições d definição 5. Sej (ϕ n ) um sequênci dests e ɛ >. Tomemos N tl que pr todo n > N temos que ϕ I f(x, y, z) dv < ɛ n 3. (4) Pr cd n podemos escolher m tl que ϕ n m e I f(x, y, z) dv < ɛ m 3 e J f(x, y, z) dv < ɛ m 3, (5) tl escolh é possível ds hipóteses d definição 5 e ds convergêncis de (J m ) e (I m ) J e I. Aplicndo desiguldde tringulr e s estimtivs (4) e (5) segue

11 que ϕ J f(x, y, z) dv n J f(x, y, z) dv + f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m m ϕ n < ɛ 3 + f(x, y, z) dv ɛ m \ϕ n 3 + f(x, y, z) dv m \ϕ n = ɛ 3 + f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m ϕ n ɛ 3 + I f(x, y, z) dv + I f(x, y, z) dv < ɛ, m ϕ n mostrndo que o ite existe e independe d escolh de (ϕ n ). Exemplo. Discut convergênci de da. x y e R Considere = {(x, y); x +y n }. É fácil ver que () n stisfz s condições d definição 5, sendo então um proximção dmissível pr. Utilizndo mudnç de vriável pr coordends polres encontr-se x y e da = π n e r rdrdθ = π x y e ( e n) π(+e n ) π, n N. Segue-se, pel proposição 4, que integrl converge e o vlor d integrl é da = (π( )) = π. n n e n Observção 6. Observe que não existe um constnte itnte superior únic possível, pois qulquer outr mior que já obtid tmbém serve. Além disso constnte itnte superior não é necessrimente o vlor d integrl! Exemplo. Utilizndo o exemplo, obtenh o vlor de e o e x vlor de Γ(3/), onde Γ(x) = e t t x dt. Note que Γ é um generlizção do ftoril, pois Γ(x + ) = (x + )Γ(x), propriedde que decorre d integrção por prtes.

12 Sej = [ n, n] [ n, n]. Como integrl que x y x y π = e da = e da = R n + ( n ( = 4 e ) x = 4 e ) x = n + x y e R +n n + n ( da converge, temos +n n e x y dy e x ), logo = π. e x Como Γ(x + ) = (x + )Γ(x), bst clculr o vlor de Γ(/). Por outro ldo, fzendo mudnç de vriável t = u, tem-se Γ(/) = Finlmente obtemos Γ(3/) = 3 π Exemplo 3. Discut convergênci de e t t dt = e u du = I = π. R (x + y + z + ) dv. 3 Considere = {(x, y, z); x + y + z n }. É fácil ver que () n stisfz s condições d definição 5, sendo então um proximção dmissível pr. Utilizndo mudnç de vriável pr coordends esférics tem-se (x + y + z + ) dv = π rctn(n) π. π π n = 4π ρ sen ϕ (ρ + ) dρ dϕ dθ ( ) rctn(n) n ( + n ) Novmente pel proposição 4, integrl converge e dv = R (x + y + z + ) 3 n (x + y + z + ) dv = π. Exemplo 4. Verifique que integrl D e x y da, onde região D é o primeiro qudrnte do plno xy, converge e clcule seu vlor.

13 Consideremos fmíli de subconjuntos D n = [, n] [, n]. El stisfz s condições pr ser um proximção dmissível pr D. n n e x y da = e x y dy = ( e n ) ( + ) = 4. D n Então pel proposição 4, integrl converge e tem-se e x y da = e x y da = ( D n + D n + e n ) =. n Observção 7. Suponh que um fmíli dmissível ( ) n hipótese 3 não stisfz à f(x, y, z) dv M, n N, (6) d Proposição 5. Nesse cso, Proposição não pode ser utilizd, ms, d definição de integrl imprópri pode-se concluir que, se n + f(x, y, z) dv não existir ou for igul, então integrl imprópri diverge. Ms, se n + f(x, y, z) dv for igul um vlor finito, nd se pode concluir, pois foi utilizd pens um fmíli prticulr dmissível. Exemplo 5. Verifique se integrl sen (x + y ) dv converge, onde é o primeiro octnte de R 3. Sej = {(x, y, z) ; x + y n x ; y ; z n}. Est fmíli é dmissível, ms hipótese 6 não é stisfeit, devido à oscilção d função seno. Logo não é possível usr Proposição 5. Ms,utilizndo mudnç pr coordends cilíndrics, tem-se π/ n n sen (x + y ) dv = sen (r )r dz dr dθ = nπ 4 ( cos (n )). Tomndo ite qundo n + verific-se que o ite não existe, logo, d observção nterior conclui-se que integrl diverge. Integrl múltipl de funções não itds Definição 7. Sej um região fechd e itd cuj fronteir tem conteúdo nulo em R 3. Considere seqüênci de subconjuntos fechdos e itdos de

14 4 denotd ( ), cd um com fronteir de conteúdo nulo e que stisfzem +, pr cd n e n V ol( ) = V ol(). Sej f um função não itd em lgum vizinhnç de lgum(ns) ponto(s) de ms que é contínu por prtes em cd. Define-se então f(x, y, z)dv = n + f(x, y, z)dv, se o ite é finito e independente d escolh dos subconjuntos. Diz-se neste cso que integrl é convergente. A definição é nálog pr f(x, y) em R. Exemplo 6. Sej = [, ] [, ] R e f iitd num vizinhnç de lgum ponto d ret x = e/ou d ret y =. Então, se = [/n, ] [/n, ]; n, tem-se que é fechdo e itdo pr cd n, com fronteir de conteúdo nulo, + e A( ) = ( /n) = A(), qundo n e f contínu por prtes em cd. Então stisfz definição 7. Exemplo 7. Sej = {(x, y, z) R 3, x + y, z [, ]} e f iitd num vizinhnç do ponto (,, ). Então, se considermos = {(x, y, z) R 3, /n x + y, z [, ]}, tem-se fechdo e itdo, pr cd n, com fronteir de conteúdo nulo, + e tmbém V ol( ) = π( /n ) π = V ol(), qundo n e f contínu por prtes em cd, logo stisfz definição 7. D mesm form que n integrl imprópri em domínios não itdos, temos que o critério cim pode ser trblhoso mesmo em situções simples, pois devese mostrr que o ite existe e coincide pr tod escolh válid d seqüênci de subconjuntos. As proposições seguir, nálogs às proposições 4 e 5, estbelecem condição suficiente pr que integrl imprópri de f sej convergente em. Proposição 6. Sejm, ( ) e f stisfzendo s hipóteses d definição 7. Suponh dicionlmente que f sej um função não negtiv em e que existe M > tl que f(x, y, z) dv M, n N.

15 Então tem-se que f(x, y, z) dv converge e f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv. n A proposição é nálog pr região em R. Prov: Como os são crescentes tem-se que seqüênci (I n ) com I n := f(x, y, z) dv é monóton crescente. Por hipótese tl seqüênci é itd superiormente e, portnto, convergente. Sej I este ite. Rest mostrr convergênci pr este mesmo ite de tod seqüênci de subconjuntos (ϕ n ) stisfzendo s condições d definição 7. Como ϕ n f(x, y, z) dv é monóton crescente temos que ou é convergente ou diverge pr infinito. Suponhmos, inicilmente, que sej convergente pr o vlor Ĩ e que I > Ĩ. Sej δ > tl que Ĩ + δ < I. Então podemos escolher tl que f(x, y, z) dv > Ĩ + δ e sej k := sup (x,y,z) n f(x, y, z). Ds hipóteses d definição 7 temos que existe ϕ m tl que V ol() V ol(ϕ m ) < δ. Então temos, k Ĩ + δ < f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv + f(x, y, z) dv \ϕ m ϕ m k δ k + f(x, y, z) dv δ ϕ m + Ĩ, crcterizndo o bsurdo. Anlisemos gor o cso em que ϕ n f(x, y, z) dv converge pr Ĩ > I. Neste cso, bst repetir os rgumentos nteriores trocndo os ppéis de ( ) e (ϕ n ). Finlmente, rest nlisr o cso em que ϕ n f(x, y, z) dv diverge pr infinito. Sejm δ > e ϕ n tis que ϕ n f(x, y, z) dv > I + δ e sej k := sup (x,y,z) ϕn f(x, y, z). Sej m tl que V ol() V ol( m ) < δ k. Então I + δ < f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv + f(x, y, z) dv ϕ n ϕ n \ m ϕ n m k δ k + f(x, y, z) dv δ m + I, 5

16 6 mostrndo, por bsurdo, que o ite existe e não depende d escolh d seqüênci de subconjuntos. Proposição 7. Sejm, ( ) e f stisfzendo s hipóteses d definição 7. Suponh dicionlmente que existe M > tl que f(x, y, z) dv M, n N. Então tem-se que f(x, y, z) dv converge e f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dv. n A proposição é nálog pr região em R. Prov: D proposição 6 temos que f(x, y, z) dv converge. Sej I n := f(x, y, z) dv e J n := f(x, y, z) dv. Se m > n temos que J m J n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv m \ = I m I n. m \ Sej ɛ >, como (I n ) é seqüênci de Cuchy temos que pr todo ɛ > existe N tl que se m > n > N segue que I m I n < ɛ e usndo (7) obtemos que J m J n < ɛ, mostrndo convergênci. Sejm I e J os ites de (I n ) e (J n ). Rest mostrr convergênci pr J d integrl em tod seqüênci de subconjuntos stisfzendo s condições d definição 7. Sej (ϕ n ) um subsequênci dests. Usndo o mesmo rgumento, decorre d convergênci d integrl de f que integrl de f converge. Suponhmos que sej convergente pr o vlor J. Aplicndo desiguldde tringulr dus vezes (7)

17 temos que J J J f(x, y, z) dv + J f(x, y, z) dv ϕ m n (8) + f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv, ϕ m então f(x, y, z)dv f(x, y, z)dv f(x, y, z) dv + ϕ m ϕ m \ n f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv ϕ m \ϕ m ϕ m f(x, y, z) dv + f(x, y, z) dv. ϕ m \ \ϕ m Temos que f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv ϕ m \ (ϕ m )\ n = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv ϕ m e, de form similr, f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv \ϕ m ( ϕ m )\ϕ m = f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv. ϕ m ϕ m Combinndo s desigulddes (8), (9), () e () obtemos que J J J f(x, y, z) dv + J f(x, y, z) dv ϕ m n + f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv f(x, y, z) dv. ϕ m ϕ m 7 (9) () () ()

18 8 Ms, ddo ɛ >, podemos escolher índices m e n tis que J f(x, y, z) dv < ɛ/4, f(x, y, z) dv > I ɛ/4, ϕ m ϕ m J f(x, y, z) dv < ɛ/4 e f(x, y, z) dv > I ɛ/4. n Observemos, tmbém, que ϕ m f(x, y, z) dv I. Então, usndo () obtemos ɛ J J < 4 + ɛ 4 + I (I ɛ 4 ) (I ɛ 4 ) = ɛ. Como ɛ é qulquer, concluímos que J = J, mostrndo que integrl converge de form independente d escolh d seqüênci de subconjuntos. Exemplo 8. Discut convergênci d integrl definido por = {(x, y) R ; x + y }. da, sendo x y Tem-se neste cso que f não é itd em um vizinhnç de cd ponto d fronteir de ( ). Sej = {(x, y) R ; x + y ( /n) }. Então + e A( ) = π( /n) que converge π = A() qundo n tende infinito. Utilizndo-se mudnç de coordends polres, obtém-se x y da = π /n r dr dθ r = π( ( ( n ) ) / ) π. Assim, pel proposição 6, tem-se que integrl em questão converge pr o ite ds integris em, isto é da = x y n x y da = π( ( ( n n ) ) / ) = π. Exemplo 9. Discut convergênci d integrl ln x + y + z dv, sendo definido por = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z }.

19 Tem-se neste cso que f não é itd em um vizinhnç de (,, ) pertencente o interior de. Sej = {(x, y, z) R 3 ; n x +y +z }. Então + e V ol( ) = 4 3 π( n 3) que converge 4 π = V ol() qundo n 3 tende infinito. Utilizndo-se mudnç de coordends esférics, obtém-se ln π π x + y + z dv = ρ sen ϕ ln(ρ) dθ dϕ dρ /n = 4π de onde segue, integrndo por prtes, que ln x + y + z 4π dv = 9 ρ3 (3 ln(ρ) ) /n = 4π [ 9 n 3 ln(n) ] 4π 3 n 3 9. /n ρ ln(ρ) dρ, Segue-se, então, d proposição 7 que integrl em questão converge e que podemos utilizr os conjuntos cim pr obter o vlor d integrl, isto é, ln x + y + z dv = n + = n + 4π 9 ln x + y + z dv [ n n 3 ln(n) ] = 4π 3 n 3 9. Observção 8. Assim como no cso d integrl imprópri em R, pode-se definir um Vlor Principl de Cuchy de um integrl imprópri múltipl, qundo pr um determind seqüênci de subconjuntos integrl tem ite finito. Pode ocorrer que este ite não exist pr outr seqüênci de subconjuntos ou mesmo exist ms com vlor diferente. Observção 9. As definições 6 e 7 podem ser combinds pr estender integrl de Riemnn pr funções não itds em domínios não itdos. Exemplo. Verifique se D f(x, y) da converge, onde D é o plno xy e sen (x f(x, y) = +y ). (x +y ) 3/4 x +y + 9

20 Note que região D não é itd e função é iitd em um vizinhnç de (, ) D. Nesse cso, pode-se escrever D = B C, com : B = {(x, y) ; x + y } e C = {(x, y) ; x + y }. Assim, tem-se: f(x, y) da = f(x, y) da + f(x, y) da (3) D B A primeir integrl do segundo membro de (3) será n região itd B, ms com função f(x, y) iitd em um vizinhnç do ponto (, ) B. A segund integrl do segundo membro de (3) terá função f(x, y) contínu em C, ms C região não itd. Pr resolver primeir integrl do segundo membro, proximmos B pel fmíli de subconjuntos B n = {(x, y), n x + y } e mostrmos que B n f(x, y) da B n da 4π; verificmos s demis hipóteses d (x +y ) 3/4 proposição 7, logo grntimos convergênci dest integrl. Pr resolver segund integrl do segundo membro, proximmos C pel fmíli C m = {(x, y), x + y m }; mostrmos que C m f(x, y) da C m da 4π; verificmos s demis hipóteses d proposição 5, ssim (x +y ) 5/4 grntimos convergênci dest integrl. Podemos concluir então que integrl do primeiro membro de (3) converge pr som dos vlores ds dus prcels do segundo membro (não dá pr clculr qul será este vlor!!). Observção. Cso um ds integris do segundo membro de (3) divergisse e outr convergisse, conclusão seri que integrl procurd divergiri. Se s dus divergissem, mbs de funções positivs, conclusão tmbém seri pel divergênci. C

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:

Leia mais

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por SÉRIES DE FOURIER 1. Um série trigonométric e su sequênci ds soms prciis (S N ) N são dds por (1) c n e inx, n Z, c n C, x R ; S N = n= c n e inx. Tl série converge em x R se (S N (x)) N converge e, o

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

Prova 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões

Prova 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões Prov 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolh 5 questões 1. Sej f : [, b] R um função limitd. Mostre que f é integrável se, e só se, existe um sequênci de prtições P n P [,b] do intervlo [, b] tl

Leia mais

f(x) dx for um número real. (1) x = x 0 Figura A

f(x) dx for um número real. (1) x = x 0 Figura A FFCLRP-USP Integris Imprópris - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Professor Dr Jir Silvério dos Sntos Integris Imprópris Definição Sej f : ; x ) R um função Suponh ret x = x é um Assíntot Verticl o gráfico

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

Cálculo de Limites. Sumário

Cálculo de Limites. Sumário 6 Cálculo de Limites Sumário 6. Limites de Sequêncis................. 3 6.2 Exercícios Recomenddos............... 5 6.3 Limites de Funções.................. 7 6.4 Exercícios Recomenddos...............

Leia mais

Resposta: Basta fazer integração por partes. Seja j = 1 (para j 1, o argumento é o mesmo). Logo. i x 1. lim. lim. (R n ), temos.

Resposta: Basta fazer integração por partes. Seja j = 1 (para j 1, o argumento é o mesmo). Logo. i x 1. lim. lim. (R n ), temos. LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP 57-4 PO: PEDO T P LOPES WWWIMEUSPB/ PPLOPES/DISTIBUICOES Os eercícios seguir form seleciondos do livro do Duistermt e Kolk denotdo por

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

Integrais Duplas em Regiões Limitadas

Integrais Duplas em Regiões Limitadas Cálculo III Deprtmento de Mtemátic - ICEx - UFMG Mrcelo Terr Cunh Integris Dupls em egiões Limitds Ou por curiosidde, ou inspirdo ns possíveis plicções, é nturl querer usr integris dupls em regiões não

Leia mais

Integrais impróprias - continuação Aula 36

Integrais impróprias - continuação Aula 36 Integris imprópris - continução Aul 36 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 06 de Junho de 204 Primeiro Semestre de 204 Turm 20406 - Engenhri Mecânic Alexndre Nolsco de

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

Cálculo integral. 4.1 Preliminares

Cálculo integral. 4.1 Preliminares Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Preinres Considere um decomposição do intervlo [, ] R em su-intervlos d orm [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], onde = x < x < < x n < x n = e n N. Por um questão de simplicidde,

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Escol Superior de Agricultur Luiz de Queiroz Universidde de São Pulo Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl Teori d Integrção e Aplicções Professor Rent Alcrde Sermrini Nots de ul do professor Idemuro

Leia mais

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1. Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho

Leia mais

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

Leia mais

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos

Leia mais

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe 4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i)

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques EFETUANDO INTEGRAIS 7 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 7. Introdução 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Propriedde Propriedde Propriedde Propriedde 4 7. Um primeir técnic de Integrção 7..

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Integris imprópris

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2 Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

Aplicações da integral Volumes

Aplicações da integral Volumes Aplicções d integrl Volumes Sumário. Método ds seções trnsversis........... 5. Método ds cscs cilíndrics............. 6.3 Exercícios........................ 9.4 Mis plicções d integrl Áres e comprimentos.5

Leia mais

Notação. Se u = u(x, y) é uma função de duas variáveis, representamos por u, ou ainda, por 2 u a expressão

Notação. Se u = u(x, y) é uma função de duas variáveis, representamos por u, ou ainda, por 2 u a expressão Seção 20: Equção de Lplce Notção. Se u = u(x, y) é um função de dus vriáveis, representmos por u, ou ind, por 2 u expressão u = 2 u = u xx + u yy, chmd de lplcino de u. No cso de função de três vriáveis,

Leia mais

CÁLCULO I. Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então. f(x) dx = F (b) F (a) x dx = F (b) F (a), x dx = x2 2

CÁLCULO I. Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então. f(x) dx = F (b) F (a) x dx = F (b) F (a), x dx = x2 2 CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o 5: Teorem Fundmentl do Cálculo I. Áre entre grácos. Objetivos d Aul Apresentr o Teorem Fundmentl do Cálculo (Versão Integrl).

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2]

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2] 6 Cálculo Integrl. (Eercício VI. de []) Considere função f definid no intervlo [, ] por se [, [ f () = se = 3 se ], ] () Mostre que pr tod decomposição do intervlo [, ], s soms superior S d ( f ) e inferior

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico.

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico. Aul 3 Aplicções d integrl Objetivos Utilizr integrl definid pr clculr áre, comprimento de rcos, volume de sólidos de revolução e trblho mecânico. Inicimos ul 9, dedicd à integrção, motivndo o conceito

Leia mais

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02. IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo

Leia mais

Usando qualquer um dos métodos de primitivação indicados anteriormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. e x e 2x + 2e x + 1

Usando qualquer um dos métodos de primitivação indicados anteriormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. e x e 2x + 2e x + 1 Instituto Superior Técnico Deprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC-ALAMEDA o SEM. 7/8 6 FICHA DE EXERCÍCIOS I. Treino Complementr de Primitivs. CÁLCULO INTEGRAL

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8 TÓPICO Gil d Cost Mrques Fundmentos d Mtemátic II 8.1 Diferencil totl de um função esclr 8.2 Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl 8.3 Perpendiculr um superfície

Leia mais

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam Aplicções de integris Volumes Aul 28 Aplicções de integris Volumes Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo de diversos tipos de volumes de sólidos, especificmente os chmdos método ds seções

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

1 A Integral de Riemann

1 A Integral de Riemann Medid e Integrção. Deprtmento de Físic e Mtemátic. USP-RP. Prof. Rfel A. Rosles 22 de mio de 27. As seguintes nots presentm lgums limitções d integrl de Riemnn com o propósito de justificr construção d

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl A integrl de Riemnn e Aplicções Aul 28 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 16 de Mio de 2014 Primeiro Semestre de

Leia mais

Universidade Federal de Rio de Janeiro

Universidade Federal de Rio de Janeiro Universidde Federl de Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Prof. Jime E. Muñoz River river@im.ufrj.r ttp//www.im.ufrj.r/ river Grito d Primeir Prov de Cálculo I Rio de Jneiro

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds

Leia mais

O conceito de integral e suas propriedades básicas

O conceito de integral e suas propriedades básicas 17 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Sumário 17.1 Introdução....................... 2 17.2 Integrl denid de f : [, b] R.......... 5 17.3 Soms de Riemnn.................. 6 17.4 A integrl denid

Leia mais

1 Conjuntos Finitos e Infinitos

1 Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Finitos e Infinitos. Números Nturis Definição O conjunto N dos nturis é tl que Existe s : N N injetiv tl que Im (s) = N {}; } X N X = N s (X) X Teorem 2 (Princípio d Bo Ordenção) } A N A possui

Leia mais

Mudança de variável na integral dupla

Mudança de variável na integral dupla UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 6 Assunto: Mudnç de Vriável n Integrl Dupl Plvrs-chves: mudnç de vriável, integris dupls, jcobino Mudnç de vriável n integrl dupl Vmos ntes

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira CÁLCULO DE ÁREAS Cálculo de áres Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Ânderson Vieir Considere região S que está entre dus curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs verticis x = e x = b, onde f e g são

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ Tópicos Especiis de Mtemátic Aplicd Márleson Rôndiner dos Sntos Ferreir mrleson p@yhoo.com.br Unifp-AP 23/junho/2010 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III

Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III Cálculo Diferencil e Integrl II Págin Universidde de Mogi ds Cruzes UMC Cmpos Vill Lobos Cálculo Diferencil e Integrl II Prte III Engenhri Civil Engenhri Mecânic mrili@umc.br º semestre de 05 Cálculo Diferencil

Leia mais

G.W. Leibniz ( ) I. Newton ( )

G.W. Leibniz ( ) I. Newton ( ) MAT 26 Cálculo diferencil e integrl 2 2 semestre de 25 Bchreldo em Mtemátic e Mtemátic Aplicd Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Resumo ds uls e exercícios sugeridos - Atulizdo 27..25. Segund-feir,

Leia mais

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura.

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura. Cálculo I Aul 2 - Cálculo de Volumes Dt: 29/6/25 Objetivos d Aul: Clculr volumes de sólidos por seções trnsversis Plvrs-chves: Seções Trnsversis - Volumes Volume de um Cilindro Nosso objetivo nest unidde

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 2.

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 2. Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic eprtmento de Mtemátic Aplicd Cálculo A List Eercício :Usemudnçu + ev eclculeintegrldef,) +) sen ) sobre região : + π. Solução: O esboço d

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral Eercícios de Integrl Eercícios de Fição Cálculo I (5/) IM UFRJ List 5: Integrl Prof Milton Lopes e Prof Mrco Cbrl Versão 55 Fi : Determine se é Verddeiro (provndo rmtiv) ou Flso (dndo contreemplo): b ()

Leia mais

f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico

f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico FFCLRP-USP AULA-INTEGRAL - CÁLCULO II- ECONOMIA Professor: Jir Silvério dos Sntos PROPRIEDADES DA INTEGRAL Sejm f,g : [,b] R funções integráveis. Então (i) [f(x) + g(x)]dx = (ii) Se λ é um número rel,

Leia mais

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9 www.mtemticemexercicios.com Integris (volume ) Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por

Leia mais

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari MATEMÁTICA II Prof. Dr. Amnd Liz Pcífico Mnfrim Perticrrri mnd.perticrrri@unesp.r DEFINIÇÃO. Se f é um função contínu definid em x, dividimos o intervlo, em n suintervlos de comprimentos iguis: x = n Sejm

Leia mais

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece

Leia mais

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina.

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina. CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o : Aplicções d Integrl: Momentos. Centro de Mss Objetivos d Aul Denir momento em relção um ponto xo e um ret. Denir e clculr

Leia mais

Aspectos do Teorema Fundamental do Cálculo

Aspectos do Teorema Fundamental do Cálculo Aspectos do Teorem Fundmentl do Cálculo Luis Aduto Medeiros Conferênci proferid n Fculdde de Mtemátic - UFPA (Belém Mrço de 2008) Então porque pint? Por nd. Procuro simplesmente reproduzir o que vejo W.

Leia mais

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em: Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples,

Leia mais

. Estas equações são equações paramétricas da curva C.

. Estas equações são equações paramétricas da curva C. Universidde Federl d Bhi -- UFBA Deprtmento de Mtemátic, Cálculo IIA, Prof. Adrino Ctti Cálculo de áres de figurs plns (curvs sob equções prmétrics) (por Prof. Elin Prtes) Exemplo : Sej o círculo C de

Leia mais

1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que

1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que 2 List de exercícios de Álgebr 1. Sejm R e S dus relções entre os conjuntos não vzios E e F. Então mostre que ) R 1 S 1 = (R S) 1, b) R 1 S 1 = (R S) 1. Solução: Pr primeir iguldde, temos que (, b) R 1

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo MAT46 - Cálculo I - Teorems Fundmentis do Cálculo Alexndre Mirnd Alves Anderson Tigo d Silv Edson José Teixeir Os Teorems Fundmentis do Cálculo Os próximos teorems fzem conexão entre os conceitos de ntiderivd

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR 3 CÁLCULO INTEGRAL EM IR A importâni do álulo integrl em IR reside ns sus inúmers plições em vários domínios d engenhri, ms tmém em ísi, em teori ds proiliddes, em eonomi, em gestão 3 Prtição de um intervlo

Leia mais

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x. Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil

Leia mais

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

Integrais duplas UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 24. Assunto: Integrais Duplas

Integrais duplas UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 24. Assunto: Integrais Duplas Assunto: Integris Dupls UNIVESIDADE FEDEAL DO PAÁ CÁLCULO II - POJETO NEWTON AULA 24 Plvrs-hves: integris dupls,soms de iemnn, teorem de Fubini Integris dupls Sej o retângulo do plno rtesino ddo por {(x,

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prov Escrit de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - Fse Propost de resolução GRUPO I. Como comissão deve ter etmente mulheres, num totl de pessos, será constituíd por um único homem. Logo, como eistem 6 homens no

Leia mais

Cálculo 1 - Cálculo Integral Teorema Fundamental do Cálculo

Cálculo 1 - Cálculo Integral Teorema Fundamental do Cálculo Cálulo 1 - Cálulo Integrl Teorem Fundmentl do Cálulo Prof. Fbio Silv Botelho November 17, 2017 1 Resultdos Preliminres Theorem 1.1. Sej f : [,b] R um função ontínu em [,b] e derivável em (,b). Suponh que

Leia mais

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004 Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd

Leia mais

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade 1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio

Leia mais

A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi

A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi A forç não provém d cpcidde físic, e sim de um vontde indomável. Mhtm Gndhi Futuros militres, postos! É hor de meter o ggá! Este é o módulo 8 do curso de MATEMÁTICA d turm AFA-EN-EFOMM- EsPCE-EEAr. Nesse

Leia mais

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < < MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )

Leia mais

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

Leia mais

Os números racionais. Capítulo 3

Os números racionais. Capítulo 3 Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,

Leia mais

Equações diofantinas lineares a duas e três variáveis

Equações diofantinas lineares a duas e três variáveis Equções diofntins lineres dus e três vriáveis Eudes Antonio Cost Fbino F. T. dos Sntos Introdução O objetivo deste rtigo é presentr teori básic envolvid ns equções diofntins lineres dus e três incógnits

Leia mais

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1 Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II Cálculo Diferencil e Integrl II List 1 - Técnics de Integrção 1 Técnics de Integrção 1. Integrção por Substituição. 3cosx 1 + 3senx sec x tgx sen 4 xcos 5 x sen (πx)cos (πx) cotg 3 xcossc x x( x + 1) 1

Leia mais