SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por

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1 SÉRIES DE FOURIER 1. Um série trigonométric e su sequênci ds soms prciis (S N ) N são dds por (1) c n e inx, n Z, c n C, x R ; S N = n= c n e inx. Tl série converge em x R se (S N (x)) N converge e, o vlor d série em x é, c n e inx = lim S N(x) = N + lim n + n= A série trigonométric pode tmbém ser presentd n form, c n e inx. () ( n cos nx + b n sen nx). Escrevendo, pr n > 0, e inx = cos nx + isen nx, e inx = cos nx isen nx, temos, c n e inx + c n e inx = ( c n + c n )cos nx + (ic n ic n )sen nx = n cos nx + b n sen nx se n = c n + c n, b n = i(c n c n ). Inversmente, pr n > 0, c 0 = 0, c n = n ib n, c n = n + ib n notção em n s e b n s é preferid n expnsão de funções periódics vlores reis ou, funções pres, qundo série é de cossenos, ou ímpres, qundo série é de senos. Admitmos inicilmente f : [, π] C tl que série bixo convirj uniformemente, ( ) f(x) = c m e imx. Como s exponenciis são π-periódics (dorvnte escreveremos, pens, periódics) e contínus, f tmbém o é. Assim, é lícito multiplicr (*) por e inx e integrrmos termo termo, comutndo o símbolo de somtório com o de integrl, obtendo. ( ) f(x)e inx dx = m= c m e i(m n)x dx.

2 Como é fácil ver temos Logo, por (**), e inx dx = { π, n = 0 0, n 0. c n = 1 f(x)e inx dx. Chmmos c n de n-ésimo coeficiente de Fourier de f e indicmos c n = c n [f]. Observção: c n f(x) dx. Sendo os coeficientes bem definidos se f : [, π] C é periódic e integrável, série de Fourier de f é série trigonométric com coeficientes de Fourier de f ddos pel fmíli (c n ) n Z. Notmos, não supondo qulquer modo de convergênci, f c n e inx. Notção: R[, b] é o conjunto ds funções f : [, b] C Riemnn integráveis. Se f R[, π] é π-periódic e rel, série de Fourier de f é um série trigonométric como em (), com coeficientes de Fourier de f ddos pels sequêncis ( n ) n 0 e (b n ) N, 0 = f(x)dx, n = Notmos, sem supormos qulquer convergênci, f(x)cos nx dx, b n = f(x) ( n cos nx + b n sen nx), n, b n R. As questões mis importntes em séries de Fourier são: f(x)sen nx dx. () A série de Fourier converge em lgum modo? Simplesmente? Uniformemente? Em médi?, etc. (b) A série de Fourier, se convergir, converge f? (c) O que ocorre se f é contínu? (d) Dus funções com mesmos coeficientes de Fourier são iguis? Eis prte ds resposts. Se f é Riemnn integrável, su série de Fourier converge em médi qudrátic f. A série de Fourier de f, contínu, pode divergir em vários pontos [1]. Dus funções integráveis com iguis coeficientes de Fourier são iguis, exceto num conjunto de conteúdo nulo (medid nul). A melhor clsse de funções pr nlisr funções periódics e Riemnn integráveis é de funções de vrição limitd, BV [, π]. A teori proprid o estudo gerl ds séries de Fourier é d Integrção de Lebesgue. Nest introdução omitiremos prov d Fórmul de Prsevll. Qunto o teorem de Dirichlet-Jordn, veremos versões mis simples, proposições 1 e e teorem 4, de Dini.

3 . Teorem 1: A Melhor proximção em médi qudrátic de f R[, π], periódic, no espço vetoril gerdo pels funções e inx, n N, é N-ésim som prcil S N = n= d série de Fourier de f. Isto é, se g = f(x) dx n=n Prov Sej d n = c n + ɛ n. Então, c n e inx, N n= c n = c n [f], d n e inx, d n C, d n qulquer, temos c n = 1 f(x) S N (x) dx 1 f(x) g(x) dx. d(f, g) = 1 f(x) = 1 f(x) dx 1 N π Re d n = 1 f(x) dx Re = 1 d n e inx dx = f(x)e inx dx+ 1 d n c n + d n = f(x) dx ( c n + Re c n ɛ n ) + = 1 f(x) dx + ( c n + Re c n ɛ n + ɛ n ) = c n + d n d m e i(n m)x dx = ɛ n = d(f; S N ) + ɛ n 3. Desiguldde de Bessel Com mesms hipóteses, se f(x) + c n e inx então, c n 1 f(x) dx. Prov Pelo teorem, d(f; S N ) = f(x) dx N c n 0, N N. Logo, tomndo o limite pr N tendendo +, segue tese Observção Em termos dos coeficientes d série trigonométric de senos e cossenos desiguldde de Bessel pode ser reescrit como, 0 + ( n + b n ) f(x) dx. 3

4 4. Lem de Riemnn-Lebesgue Se f R[, π] então, lim c n = 0. n + Prov Consequênci imedit d desiguldde de Bessel Abixo relcionmos diferencibilidde com decrescimento dos coeficientes de Fourier e convergênci uniforme d série de Fourier, cujo limite será mostrdo no teorem de Dini. 5. Proposição 1 Sej f C k (R) e π-periódic. () Existe M > 0 tl que c n M n k, n 0. (b) Se k série de Fourier de f converge uniformemente. Prov Sej c n = c n [f], n 0. Efetundo integrção por prtes k vezes, descrtndo prcels nuls grçs periodicidde de f, f,.., f (k) e e inx temos, πc n = Logo, pr n 0, f(x)e inx dx = ( 1 in ) f (x)e inx dx =... = ( 1 in )k c n e inx = c n M n k, M = 1 f (k) (x) dx. f (k) (x)e inx dx. (b) Pelo teste M de Weierstrss e 1 n <, n= c n e inx converge uniformemente 6. Definição Dd f : [, b] R e Γ = {x 0 = < x 1 <... < x n 1 < x n = b} um prtição de [, b], vrição de f segundo prtição Γ é, V Γ = V Γ [f;, b] = A vrição de f sobre [, b] é, n f(x i ) f(x i 1 ). V [f] = sup V Γ, onde o supremo é computdo sobre tods s prtições de [, b]. 7. O conjunto ds funções de vrição limitd é BV[,b] = {f : [, b] R, V [f] < }. Sbe-se que V [f] < o gráfico de f têm comprimento finito. Logo, pr f(x) = sen 1 x, 0 < x 1, f(0) = 0, temos V [f] = +. Ms, existem f contínus com V [f] = + [3]. Aind, V [f] < f é diferenç de dus funções monótons limitds. Logo, hvendo descontinuiddes, els são removíveis ou de 1 espécie; isto é, existem os limites lteris. Assim, escolheremos um subclsse ds funções d vrição limitd pr est introdução. 8. Definição Ddo I, um intervlo, f : I R é monóton crescente, ou crescente, se x 1, x I, x x 1 f(x ) f(x 1 ) e, se x > x 1 f(x ) > f(x 1 ), f é estritmente crescente. Anlogmente, temos monóton decrescente e estritmente decrescente. Aind, f é monóton se é crescente ou decrescente. 4

5 9. Definição Dd f : [, b] R, f é monóton por prtes se existe prtição de [, b], Γ = {x 0 = < x 1 <... < x n = b}, tl que f (xi 1,x i ) é monóton, i = 1,,..., n. Se f (xi 1,x i ) é tmbém contínu, i = 1,,..., n, f é monóton contínu por prtes. Definimos nlogmente se I = [, b) ou I = (, b] ou I = (, b), é limitdo. 10. Obs Não é difícil ver que se f : [, b] R é monóton por prtes e limitd, f é de vrição limitd e existem os limites lteris, f(x i ) = lim x x i f(x) e f(x + i ) = lim x x + i f(x). 11. Definição Dd f : R R, T-periódic, f é monóton contínu por prtes se f [0,T ] o é. 1. Dd f : X C, X R, e x X notmos f(x ± ) = lim f(t), se existir o limite. t x ± 13. Teorem (Dirichlet-Jordn) Sej f : [, π] R monóton contínu por prtes. () Pr todo x R e S[f] série de Fourier de f temos, S[f](x) = ( n cos nx + b n sen nx) = 1 [ f(x+ ) + f(x ) ]. (b) S[f] converge uniformemente f em todo intervlo fechdo em que f é contínu. Prov Pr () vide Apostol, p Pr (b) vide Wheeden, p Lem 1 Pr f R[, b] temos, b f(x) dx ( (b ) b f(x) dx. Prov Se integrl do ldo direito d equção cim é nul o resultdo é óbvio. Senão, pel desiguldde AB 1 (A + B ) com A = f(x) b ( b f(t) dt 1 ( f(x) ( b dt f(t) f(x) b f(t) dt + 1 b e B = 1 b temos, ), que integrndo sobre [, b] conduz, b f(x) dx ( (b ) b f(t) dt 1 (1 + 1) = 1 O lem 1 é um cso prticulr d célebre desiguldde bixo, com demonstrção nálog. 15. Desiguldde de Cuchy-Schwrz Pr f, g R[, b] temos, b f(x)g(x) dx ( ( b b f(x) dx g(x) dx. Prov Trivil, se um ds integris à direit é nul. Senão, bst seguir os pssos d prov do lem, utilizndo AB 1 (A + B ), com A = 5 f(x) ( b f(t) dt e B = g(x) ( b g(t) dt

6 16. Teorem 3 Sej f R[, π], π periódic, f + c n e inx () S N (x) converge f em médi qudrátic: (b) Fórmul de Prsevll lim n + 1 π f(x) dx = f(x) S N (x) dx = 0. n= c n. e S N (x) = N c n e inx. (c) As integris de S N convergem uniformemente integrl de f, em [, x], x. Aind, 1 x [ 1 x ] 1 f(t) S N (t) dt f(t) S N (t) dt. Prov Pr () e (b) vide [] pp [ x (c) Pelo Lem 1 temos, f(t) S N(t) dt (x + π) x f(t) S N(t) dt que, dividindo por π, utilizndo (x + π) π e item (), result n tese Observção Em termos dos coeficientes ( n ) e (b n ) fórmul de Prsevll é: f(x) dx = 0 π + ( n + b n ). Melhoremos o resultdo, n proposição 1, pr convergênci uniforme d série de Fourier. 17. Proposição A série de Fourier de f C 1 (R), π-periódic, converge uniformemente. Prov Como n proposição 1, integrndo por prtes expressão pr c n = c n [f] temos, c n = 1 1 π in f (x)e inx dx = 1 in d n, d n = d n [f ], n 0. Pel desiguldde de Schwrz pr = ( i ), b = (b i ) C m temos, pr soms finits, m m m i b i ( i ( b i, que é estensível soms infinits. Assim, pel desiguldde de Bessel pr f e n Z {0}, cn = 1 n d n ( 1 ( dn n ) ( 1 ( 1 n f (x) dx. Finlmente, pelo teste M de Weierstrss, segue proposição 18. A função f : R C stisfz condição de Lipschitz em x se M > 0 e δ > 0 tis que, f(x + t) f(x) M t, t, t δ. ] Obs Existindo f (x), f stisfz condição de Lipschitz em x ms, se houver um slto em x (descontinuidde de 1 espécie), não. A função x não stisfz condição em x = 0. 6

7 0. Teorem 4 (Dini) Sej f R[, π], π-periódic, stisfzendo condição de Lipschitz em x [, π]. Então, série de Fourier de f, em x, converge f(x). Prov Fixndo x, sejm δ e M como n condição de Lipschitz e, g(t) = { f(x t) f(x), 0 < t π. sen t 0, t = 0. Temos: (1) (sen t ) 1 é contínu em δ t π e, g é í integrável; () se 0 < t δ, M t g(t) sen t = M Logo, g é integrável. t sen t e, pelo primeiro limite fundmentl, g é integrável em [ δ, δ]. Aind, é fácil ver que pr D N (t) = N e int, e S N (f; x) = N c n e inx (vide L5.16), D N (t)dt = 1, D N (t) = sen(n+ 1 )t sen t S N (f; x) = 1 π, t / πz, f(s)d N(x s)ds = 1 π f(x t) sen(n+ 1 )t dt sen t Assim, escrevendo f(x) = f(x).1 e trocndo 1 pel médi de D N em [, π] temos, S N (f; x) f(x) = 1 = 1 π = 1 π f(x t) sen(n + 1 )t sen t dt 1 π g(t)sen(n + 1 )t dt = [ g(t)cos t f(x) sen(n + 1 )t sen t dt = ]sen Nt dt + [ g(t)sen t ]cos Nt dt. Pelo Lem de Riemnn-Lebesgue os dois últimos termos tendem zero 7