Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

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1 pítulo III INTEGRIS DE LINH

2 pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo do eixo dos x de e f é função definid em cd ponto entre e No cso prticulr de um integrl de linh integrção é efectud o longo de um curv no espço ou no plno e f será função definid em cd ponto de - sendo ssim seri mis lógic denominção integrl de curv, ms integrl de linh é o termo que se utiliz hm-se um curv simples se tem um representção r () t [ x () t, y() t z() t ] x() t i + y() t j + z( t)k ( t ) de modo que ( t), r tem um derivd r () t dr, nunc igul Geometricmente, curv present um únic tngente em cd um dos seus pontos, cuj direcção vri continumente à medid que se percorre hm-se : r ( ) o ponto inicil e : r ( ) o ponto terminl de, diz-se que está orientd, chmndo-se à direcção de direcção positiv o longo de, sendo indicd por um set: Qundo os pontos e coincidem, é denomind de curv fechd, isto é: ssume-se neste cpítulo que qulquer percurso de integrção de um integrl de linh, consiste num conjunto finito de muits curvs simples Definição e Estudo dos Integris de Linh Um integrl de linh de um função vectoril ( r) sore um curv é definid por () r dr ( r() t ) Em termos de componentes, com d [ dx, dy, dz] dr r e ' d teremos () r dr ( dx + dy + dz) ( x + y + z ) Se o percurso de integrção for um curv fechd, em vez de ter-se-á 8 Prof lzir Dinis

3 pítulo III Integris de Linh dr com t s - o comprimento de rco de - é componente tngencil de, sendo que este integrl prece nturlmente n Mecânic, onde permite clculr o trlho feito por um forç no deslocmento o longo de hm-se dr () r dr o integrl de trlho Podemos ver que ( r() t ) é um integrl definido o longo do intervlo t no eixo t n direcção positiv direcção do umento de t Este integrl definido existe pr contínu e um curv consistindo um conjunto finito de muits curvs simples, pois isto torn r tmém contínu Exemplo Encontre o vlor do integrl d linh () r dr qundo () r y i + xyj circulr de n figur e é o rco y Podemos representr por r( t) cos ti + sin tj t ssim x() t cost, y( t) sin t, portnto: ( r( t )) y( t) i + x( t) y( t) j sin ti + cost sin tj Diferencindo, r ( t) sin ti + costj ssim, ( r) dr ( sin t + cost sin tj) ( sin ti + costj) ( sin t cos t sin t) i + e então tem-se que () r dr sin t + cos t sin t sin t + cos t( cost) ( cost )( cost sin t) fórmul: udv uv vdu t [ ] Teremos que efectur integrção por prtes, plicndo, Se u cos t du cost ( cost) cost( sin t) cost sin t x Se dv sin t v sin t cost 9 Prof lzir Dinis

4 pítulo III Integris de Linh Temos ssim o integrl () r dr sin / sin [ cos t] / [ cos t] cos t sin t + cos t sin t sin + sin cos [ cos ] cos t sin t [ cos t] t cos t sin t Repre-se que [ cos t] t sin t cos t sin t, logo cos t sin t + cos t sin t [ cos t] cos t sin t [ cos t] cos t sin t [ cos t] Então () r dr [ cos t] cos cos ( ) +, 9 Repre-se que neste cso, o desenvolvimento do integrl de linh foi feito no plno Levnt-se gor um questão importnte Será que o vlor de ( r) dr depende d escolh d representção do rco circulr? respost é não, como veremos no teorem Exemplo Pr vermos que o método de cálculo z dos integris de linh no espço é o mesmo que no plno considerdo no exemplo nterior, encontre-se o vlor de ( r) () r z i + xj + yk dr qundo e é hélice d figur: onde r() t cos ti + sin tj + tk com ( ) t x y De r() t cos ti + sin tj + tk tem-se x( t) cost, y( t) sin t, z( t) t ( r() ) r ( t) ( ti + costj + sin tk) ( sin ti + costj + k) ssim, t O produto interno é Prof lzir Dinis

5 pítulo III Integris de Linh t ( sin t) + cos t + sin t Então () r dr ( t sin t + cos t + sin t) t sin t + cos t + sin t omeçemos por integrr por prtes o primeiro integrl Se t sin t udv uv vdu com u t du e dv sin t v u dv sin t cost, então t sin t t( cost) ( cost) t cost + + cos t t cost + sin t Tem-se então que ( r) dr [ t cost + sin t] + t + + sin t + [ cost] ou sej que ( r) dr [ cos + sin ] [ [ cos + sin ]] + + sin + sin [ cos cos] ,99 () r dr [ + ] [ + ] [ ] ( )+ ou Será que o vlor () r dr lter se integrrmos do mesmo o mesmo como ntes, ms o longo de outro percurso? respost é sim, em gerl: Exemplo vliemos o integrl de linh () r dr com () r 5 zi + xyj + x zk o longo de dois percursos diferentes com o mesmo ponto inicil : (,,) (,, ) e o mesmo ponto terminl :, tl como n figur Tome-se, nomedmente, () () : o segmento de rect r ( t ) ti + tj + tk : o rco prólico r ( t ) ti + tj + k com t, e com t t x z y () Sustituindo r em otém-se ( r ( t )) ti + t j + k 5 t Precismos de chr Prof lzir Dinis

6 pítulo III Integris de Linh r i + j + k ssim, o integrl sore é () r dr ( r ()) t r ( t) ( t + t j + t k) ( i + j + k) ( 5t + t + t ) 5 t + t 5 i + t isto é, t t t 5 () r dr () Similrmente, sustituindo r em e clculndo r otém-se o integrl de linh sore o percurso : () r dr r () t 5 ( ) r ( t) ( 5t + t + t ) Verific-se que os dois resultdos são diferentes, emor os pontos terminis sejm os mesmos Isto mostr que o vlor de um integrl de linh será em gerl dependente não só de ms dos pontos, do percurso ms tmém do percurso o longo do qul se integr de O trlho W relizdo por um forç constnte no deslocmento o longo de um segmento de rect d é d Isto sugere que se defin o trlho W relizdo por um forç vriável no deslocmento o longo de um curv : r ( t) como o limite dos trlhos relizdos em deslocmentos o longo de pequens cords de, e que se mostre que isto permite definir W pelo integrl de linh ( r) escolhe-se pontos t ( ) < t < < tn ( ) Então o trlho m dr Pr isso W relizdo por ( r( )) no deslocmento de r ( ) r ( ) é W ( r( t )) [ r( t ) r( t )] t m ( r( tm )) r ( tm ) tm ( tm tm tm ) t m t m+ m m m+ m + som destes n trlhos é Wn W + + Wn Se escolhermos pontos e considerrmos n ritrário ms de modo que o mior o limite de W n à medid que tm W pr qulquer n se proxime de zero qundo n, então n existe e é integrl de linh ( r) dr desde que sej continu e um curv constituid por um conjunto finito de curvs simples, o que torn r () t contínu, excepto em muitos pontos finitos onde possu cntos ou ponts Prof lzir Dinis

7 pítulo III Integris de Linh Exemplo Se for um forç, ( r) dr v dr represent o trlho Sej t o tempo e, velocidde Podemos então escrever W () r dr ( r() t ) v( t) segund Lei de Newton, forç mss celerção, mr ( t) mv ( t) mss do corpo deslocdo Sustituindo em ( r) Pel, onde m é dr tem-se W mv v t v v m m v m v onde é energi cinétic ssim o trlho t relizdo igul o gnho em energi cinétic Isto represent um lei ásic em Mecânic Proprieddes dos Integris de Linh Ds proprieddes já fmilires dos integris otemos s correspondentes fórmuls pr os integris de linh () r dr : / k dr k dr ( k constnte), / ( + G) dr dr + G dr onde orientção de é mesm nos três integris, / dr dr + dr onde o percurso é sudividido em dois rcos e que têm mesm orientção que : Se é suposto que um integrl de linh represente quntiddes físics, tl como o trlho, escolh de um ou outr representção de um dd curv não deveri ser essencil, desde que s direcções positivs sejm s mesms em mos os csos É isso que é mostrdo seguir: Teorem Quisquer representções de que produzm mesm direcção positiv em, tmém permitem oter o mesmo vlor do integrl de linh () r dr Prof lzir Dinis

8 pítulo III Integris de Linh Demonstrção Represent-se em ( r) por um função t φ( t ) corresponde cdei, tem-se ( ) dr usndo um outro prâmetro t ddo que tem um derivd positiv e é tl que t t Então, escrevendo r ( φ ( t ) r ( t ) e usndo regr d dr ( ( ( t ) r() t dr e ssim: ( r ) dr ( r ( t ) dr r φ ( ) () r dr Independênci do Percurso nos Integris de Linh + O vlor de um integrl de linh ( r) r ( dx + dy dz) o longo de um d percurso de um ponto um ponto depende em gerl, não somente de, ms tmém do percurso o longo do qul é efectud integrção Já o vimos no terceiro exemplo presentdo, o que levnt questão d existênci de condições pr independênci do percurso, de form oter-se o mesmo vlor de integrção de o longo de qulquer percurso Este fcto tem um importânci prátic muito significtiv Por exemplo, n mecânic, independênci do percurso pode significr que tem que se relizr o mesmo trlho, independentemente do tipo de percurso, curto e difícil ou longo e suve, etc Diz-se que um integrl de linh () r dr é independente do percurso num domínio D no espço se, pr qulquer pr de pontos, em D, o integrl tem o mesmo vlor pr todos os percursos em D que começm em e terminm em Um exemplo prático de critérios é por exemplo o seguinte: Teorem Um integrl de linh ( r) dr com contínus,, num domínio D no espço é independente do percurso em D se e somente se for o grdiente de lgum função f em D, grd f ; com s componentes,, x y z Prof lzir Dinis

9 pítulo III Integris de Linh Demonstrção Sej grd f definido pr um função f em D e sej qulquer percurso em D de qulquer ponto qulquer ponto, ddo por r () t x() t i + y() t j + z()k t, t Então de x, y, e pel z df x y z regr d cdei, tem-se ( dx dy dz) dx dy dz f t [ x() t y() t, z() t ] f ( ) f ( ), Isto mostr que o vlor do integrl é t simplesmente diferenç dos vlores de f nos pontos e de e é, portnto, independente do percurso últim fórmul d demonstrção ( dx + dy + dz) f ( ) f ( ) com com G ( x) g( x) grd f é nálog à fórmul g( x) dx G( x) G( ) G( ) utilizd pr integris definidos em nálise e deve ser plicd sempre que um integrl de linh é independente do cminho + Exemplo vlie o integrl I ( x dx + yzdy y dz) de : (,, ) : (,,7 ) mostrndo que tem um potencil e plicndo ( dx + dy + dz) f ( ) f ( ) Se tem um potencil f, deve ter-se f x x, f y yz, f z y Mostrremos que podemos stisfzer ests condições Integrndo e diferencindo temos f x + g( y, z), f g yz, g y z + h( z) y y h Então f ( x, y, z) x + y z, f z h, y + h y,, e, trvés de ( dx + dy + dz) f ( ) f ( ) tem-se f (,,7 ) f (,, ) + 7 ( + ) 6 I 5 Prof lzir Dinis