Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

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1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver um integrl àquele de encontrr um primitiv de f. Deste modo, é nturl perguntr se tod função contínu possui um primitiv. Confome veremos seguir, respost é firmtiv. Mis especificmente, considere f contínu em [,b] e defin função g() = f(t)dt, [,b]. () Note que, dentro d integrl, estmos usndo vriável t somente pr diferencir do que está no limite superior de integrção. Isto não é problem nenhum pois, como já vimos, f(t)dt = u f(u)du, por eemplo. No resultdo bio presentmos prte finl do Teorem Fundmentl do Cálculo. Teorem (Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2). Se f : [,b] R é um função contínu, então função g definid em () é contínu, derivável em (,b) e g () = f(), (,b). Em prticulr, tod função contínu possui um primitiv. O resultdo cim, juntmente com quele do teto nterior, form o que chmmos de Teorem Fundmentl do Cálculo. A primeir demonstrção de um versão do teorem foi presentd por Jmes Gregory ( ). Isc Brrow ( ) provou um versão um pouco mis gerl pr que, depois, o seu brilhnte luno Isc Newton ( ) completsse o desenvolvimento d teori mtemátic por trás do teorem. Não menos destque merece o nome de Gottfried Leibniz (646-76) que foi quem sistemtizou o conhecimento em um teori de quntiddes infinitesimis e introduziu notção usd hoje. A enorme vriedde de plicções dest teori nos permite firmr, sem egeros, que estmos dinte de um ds miores descoberts científics d er modern. Logo, todos os esforços demnddos té qui no curso de Cálculo não form em vão...

2 Antes de presentr prov do Teorem vmos definir o que se entende por médi de um função. Supondo então que f está definid em [,b], tommos um número n N e dividimos o itervlo [,b] em n subintervlos fechdos de tmnho = (b )/n de modo que união de todos eles dê o intervlo [,b] e eles se interceptem, possivelmente, nos seus etremos. Em cd um dos n intervlos, escolhemos um ponto k e clculmos médi ritmétic f( )+f( 2 )+ f( n ) n = n n k= f( k) = b k f( k). i= Qundo o número n cresce, umentmos quntidde de pontos que vão entrr no cálculo d médi. Se f for integrável em [,b], fzendo n +, obtemos o conceito de médi de um função: medi(f) = lim n + b n k= f( k ) = f()d. b O resultdo bio é um consequênci interessnte ds proprieddes d integrl definid. Lem (Teorem d Médi). Se f é contínu em [,b], então eiste c [,b] tl que f(c) = f()d. b Em outrs plvrs, médi de um função contínu é sempre ssumid. Demonstrção. Sejm m e M o mínimo e máimo de f em [,b], respectivmente. Sbemos que estes dois números eistem porque tod função contínu definid em um intervlo fechdo ssume máimo e mínimo. Um vez que m f() M em [, b], integrndo obtemos m(b ) = md f()d Md = M(b ). Assim, sedenotrmospor m e M ospontosdemínimoemáimo, respectivmente, obtemos f( m ) = m f()d M = f( M ). b Aplicndo o Teorem do Vlor Intermediário no intervlo [ m, M ] (ou [ M, m ]), obtemos c [,b] tl que f(c) coincide com médi de f. Usndo o resultdo cim, podemos fcilmente provr 2 prte do Teorem Fundmentl do Cálculo. Prov do Teorem. Pr clculr derivd d função g definid em (), vmos ter que usr definição de derivd. Considere então (,b) fido e h > 0 pequeno de tl 2

3 modo que +h (,b). Temos que g(+h) g() = = = +h f(t)dt ( f(t)dt+ +h f(t)dt. +h f(t)dt ) f(t)dt f(t)dt Dividindo por h > 0 e usndo o Teorem d Médi, obtemos c h [,+h], tl que g(+h) g() h = h +h f(t)dt = f(c h ). Um vez que c h + h, temos que c h, qundo h 0 +. A continuidde de f implic então que lim h 0 +f(c h ) = f() e portnto g(+h) g() lim = f(). h 0 + h Isso mostr que derivd lterl à direit é igul f(). Usndo o mesmo rgumento obtemos g(+h) g() lim = f(), h 0 h o que mostr que derivd lterl à esquerd tmbém vle f(). Portnto, função g é derivável e [ d ] f(t)dt = g () = f(), (,b). d A eistênci d derivd cim mostr que g é contínu em (,b). A continuidde nos pontos etremos = e = b é um consequênci d eistênci dos limites lteris cim. Isto finliz prov do teorem. Vle notr que, pesr do Teorem grntir eistênci de primitiv, ele não jud muito no cálculo efetivo de um integrl definid. De fto, sbendo que função g definid em () é um primitiv de f e usndo primeir prte do Teorem Fundmentl do Cálculo, obtemos que é um iguldde óbvi. f(t)dt = g(b) g() = f(t)dt Eemplo. Como função cosseno é contínu, temos que [ d ] cos 3 (t)dt = cos 3 (). d 0 f(t)dt = f(t)dt, Note que, no cálculo cim, não é necessário resolver integrl pr depois derivr. Bst usr o Teorem. 3

4 Eemplo 2. Vmos clculr derivd d função f() = 2 + e t2 dt. O ponto importnte qui é que não podemos plicr diretmente o Teorem, porque o limite de integrção é 2, e não. Contudo, se definirmos p() = 2 +, q() = e t2 dt, temos que f() = q(p()). Podemos então usr Regr d Cdei pr obter f () = q (p())p () = e p()2 ( 2 +) = 2e (2 +) 2. Note que usmos o Teorem pr clculr q () = e 2. Eemplo 3. Eistem funções que não possuem primitivs. De fto, considere função f definid em [0,2] por f() = { 0, se [0,) (,2],, se =. Suponh que el possui um primitiv, que vmos denotr por F. Um vez que F () = f() em (0,2), concluímos que F 0 nos intervlos (0,) e (,2). Deste modo, função F é constnte em cd um desses intervlos, isto é, eistem c, c 2 R, tis que F c em (0,) e F c 2 em (,2). Por outro ldo, como F é contínu em =, temos que c = lim F() = F() = lim +F() = c 2. Deste modo, c = c 2 e função F é constnte em todo o intervlo (0,2). Isto implic que 0 = F () = f(), o que é um bsurdo, pois f() =. Concluímos então que função f cim não possui primitiv. Isso nturlmente não contrdiz o Teorem, porque f não é contínu. 4

5 Tref A primeir prte do Teorem Fundmentl do Cálculo pode ser provd prtir d segund. Fremos isso nest tref. Considere f um função contínu em [,b] e resolv os itens seguir.. Se g : [,b] R é dd por determine derivd g (). g() = f(t)dt, 2. Supondo que F é um primitiv (qulquer) de f em [,b], justifique eistênci de um constnte C R tl que g() = F()+C, [,b]. 3. Fzendo = n iguldde cim, determine o vlor de C. 4. Conclu dos itens nteriores que f(t)dt = F(b) F(). 5