dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i =

Transcrição

1 Cpítulo 7 Integrção numéric 71 Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f(x) no domínio de integrção [, b] Dess form integrl pode ser proximd pel integrl dx f(x) dx p(x) Se o integrndo f(x) é conhecido em n pontos distintos x 1,, x n, podemos utilizr lgum dos métodos desenvolvidos pr encontrr um polinômio p(x) que interpole f(x i ), i = 1,, n Dess form, segundo expressão (4): dx f(x) = dx p(x) + dx f (n) n! (ζ(x)) n (x x i ), onde, cd x, ζ = ζ(x) é o número que torn verddeir equção f(x) = p(x)+ f (n) (ζ) n n! (x x i ) De cordo com o método de interpolção de Lgrnge, um vez determindos os polinômios de Lgrnge l i (x), (e interpolção p(x) = n f(x i) l i (x) ), proximção seri então dd por dx p(x) = dx f(x i ) l i (x) = f(x i ) dx l i (x), onde segund iguldde se deve o fto de que f(x i ) é um constnte A expressão nterior pode ser então reescrit n form dx p(x) = C i f(x i ), onde i = 1,, n e os vlores f(x i ) são conhecidos (fzem prte dos ddos de entrd) e s constntes C i são o resultdo d integrção: C i = dx l i (x) (71)

2 Cpítulo 7 Integrção numéric 8 A proximção d integrl de f(x) é dd então por dx f(x) C i f(x i ), (7) onde os coeficientes C i são ddos pels integris (que podem ser resolvids extmente) (71) Ess proximção é denomind fórmul de qudrtur, de um mneir gerl, tods s proximções de operções de integrção numéric podem ser descrits n form (7) nturlmente, o coeficiente C i vi depender do método utilizdo Exemplo: Vmos proximr integrl 1/ 1/ dx e x prtir d interpolção do integrndo em três pontos: x 1 = 1/, x = 0 e x = 1/ Segundo o método de Lgrnge, os polinômios l i (x) são: l 1 (x) = (x 0)(x 1/) ( 1/ 0)( 1/ 1/) = x + x, portnto C 1 = l (x) = l (x) = 1/ 1/ (x + 1/)(x 1/) (0 + 1/)(0 1/) = 1 4x, (x + 1/)(x 0) (1/ + 1/)(1/ 0) = x + x, dx l 1 (x) = 1/ 1/ dx ( x + x ) = 1 6, C = C = 1/ 1/ 1/ 1/ dx l (x) = dx l (x) = Assim, proximção é dd pelo somtório 1/ 1/ 1/ 1/ dx (1 4x ) =, dx (x + x ) = 1 6 1/ 1/ dx e x e x i Ci = 1 6 ( ) e e 0 + e 1 4 = 096 O vlor exto d integrl é clculdo prtir d função erro e vle 1/ 1/ dx e x = 095 Como veremos seguir, não será necessário construir e integrr os polinômios de Lgrnge pr obter proximção A chve pr determinr os coeficientes é o fto de que os polinômios de Lgrnge, l i (x), dependem pens dos pontos x i Então, qulquer que fosse o integrndo f(x), um vez fixdos os pontos x i, os polinômios de Lgrnge são sempre os mesmos Poderímos relizr escolh de um função f(x) dd por um polinômio, nesse cso, interpolção é ext, ou sej, f(x) p(x)

3 Cpítulo 7 Integrção numéric 84 e portnto dx f(x) = dx p(x) = f(x i ) C i (7) Em prticulr, vmos relizr n escolhs pr função f n form f j (x) = x j pr j = 0,, n 1 Cd um desss escolhs pr f vi originr, em vist de (7), um equção com os n coeficientes C i que buscmos determinr Teremos então um sistem liner com n equções e n incógnits 1 : (x 1 ) 0 C 1 + (x ) 0 C + + (x n ) 0 C n = dx x0 = b x 1 C 1 + x C + + x n C n = dx x = b (74) (x 1 ) n 1 C 1 + (x ) n 1 C + + (x n ) n 1 C n = dx xn 1 = bn n n Exemplo: Vmos utilizr os mesmos pontos do exemplo nterior, ou sej, x 1 = 1/, x = 0 e x = 1/ Nesse cso o sistem pr os coeficientes C i tom seguinte form C 1 + C + C = 1 C C = 0 C C = 1 cuj solução é C 1 = C = 1 6 e C = Portnto proximção de um integrl 1/ 1/ dx f(x) é dd por 1/ 1/ dx f(x) 1 (f( 1/) + 4f(0) + f(1/)) 6 Qundo os pontos de interpolção = x 1 < x < < x n = b são igulmente espçdos, o método de qudrtur por interpolção recebe o nome de fórmul de Newton-Cotes É interessnte notr que um vez definid fórmul de integrção em um determindo intervlo, é possível utilizr os mesmos coeficientes pr proximr integrção em outro intervlo Bst relizr um trnsformção de vriável Então se conhecemos proximção de um integrl dx f(x) n f(x i) C i = I e quisermos encontrr um proximção pr d c dy f(y), devemos relizr mudnç de vriável y = αx + β que implic d c dy f(y) = α d β α c β α dx f(αx + β) 1 É possível demonstrr que se os n pontos x i forem distintos, então o sistem possui um únic solução Vej referênci: Belém, R Introduction to Mtrix Anlysis, ed, McGrw-Hill (1970)

4 Cpítulo 7 Integrção numéric 85 Os vlores de α e β são determindos qundo exigimos que os limites de integrção coincidm: c β α = e d β = b Ou sej, α α = d c b e β = bc d b (75) e ssim, d com α e β ddos por (75) c dy f(y) = α dx f(αx + β) α f(αx i + β) C i 7 Qudrturs newtonins 71 Regr do trpézio O que crcteriz s qudrturs newtonins é o espçmento constnte entre os pontos O cso mis simples é denomindo regr do trpézio n qul pens dois pontos são utilizdos De cordo com o sistem (74), qudrtur com dois pontos é dd pel fórmul dx f(x) C 1 f() + C (b), onde C 1 e C são solução do sistem de equções lineres C 1 + C = b C 1 + b C = b A solução do sistem é C 1 = C = b Se representrmos seprção entre os pontos por h = b, regr do trpézio pr integrl dx f(x) ssume form Erro de truncmento dx f(x) h (f() + f(b)) Como já estudmos n subseção nterior, regr do trpézio h (f() + f(b)) pr integrl de f no intervlo [, b] é o resultdo d integrção do polinômio p(x) que interpol f nos pontos x = e x = b Tmbém estudmos no cpítulo sobre interpolção que cd x no intervlo de interpolção [, b], existe um ξ (, b) que depende de x (ou sej, ξ(x)) tl que f(x) = p(x) + f (n) (ξ) n! n (x x i ), onde n é o número de pontos de interpolção e x i, pr i = 1,,, n são os pontos de interpolção Ess relção entre f e p permite estimr o erro de truncmento cometido o proximrmos

5 Cpítulo 7 Integrção numéric 86 integrl pel regr do trpézio Então, como em vist d relção entre f e p temos que h (f() + f(b)) = dx p(x), dx f(x) h (f() + f(b)) = dx (f(x) p(x)) = dx f (ξ(x)) (x )(x b) (76) Com o objetivo de tornr explícit dependênci do termo (76) d seprção entre os pontos e b, h = b, vmos relizr mudnç de vriável de integrção y = x Nesse cso, qundo h x =, y = 0 e qundo x = b, y = 1 Dess form o termo (76) pode ser reescrito como dx f(x) h (f() + f(b)) = 1 0 = h hdy f (ξ( + yh)) h y h(y 1) 1 0 dy f (ξ( + yh)) y(y 1) (77) Pr simplificr últim integrl cim, vmos considerr ind form integrl do teorem do vlor médio: Teorem (teorem do vlor médio) Se f e g são funções contínus e g não mud de sinl no intervlo fechdo [c, d], então existe um ponto η (c, d) tl que d c dx f(x)g(x) = f(η) d c dx g(x) Podemos então utilizr o teorem pr integrl em (77), um vez que y(y 1) não mud de sinl no intervlo [0, 1] Portnto, segundo o teorem do vlor médio, existe um η (0, 1) ξ (, b) tl que dx f(x) h (f() + f(b)) = h f (ξ) 1 0 = h 1 f (ξ) dy y(y 1) Exemplo: Vmos estudr novmente proximção d integrl 1/ 1/ dx e x, gor porém, [ prtir d fórmul do trpézio pr qudrtur O intervlo de integrção é 1, 1 ], portnto nesse cso, h = 1 De cordo com fórmul do trpézio 1/ 1/ dx e x 1 ( e 1/4 + e 1/4) =

6 Cpítulo 7 Integrção numéric 87 Qunto o erro de truncmento n proximção, sbemos que existe um ζ ( 1, 1 ) tl que 1/ 1/ dx e x 1 (e 1/4 + e 1/4) = 1 ( 4ζ ) e ζ 1 A função 1 ( 4ζ ) ( e ζ trnsform o intervlo 1 1, 1 ) ( 1 no intervlo 14 e 1/4, 1 ) = 6 (06490, 01 6) Esse novo intervlo determin região de possíveis vlores pr o erro de truncmento Note que diferenç entre o vlor exto e proximção é (06490, 01 6) 7 Regr de Simpson A regr de Simpson é fórmul de qudrtur de Newton com três pontos Nesse cso, o intervlo de integrção [, b] é dividido em dus prtes pelo ponto intermediário + b Assim, os três pontos de interpolção x 1,x e x são ddos por x 1 =, x = + h = + b e x = + h = b, onde h = b é seprção entre os pontos consecutivos A fórmul de qudrtur possui form dx f(x) C i f(x i ), onde C i, i = 1, e são solução do sistem de equções lineres C 1 + C + C = b C 1 + +b C + bc = b C 1 + ( ) +b C + b C = b A solução do sistem é dd por C 1 = b 6, C = (b ) e C = b Em termos d 6 seprção entre os pontos h = b : C 1 = h, C = 4 h e C = h Dess form regr de Simpson é dd por dx f(x) = h (f(x 1) + 4f(x ) + f(x )) (78) Qunto o erro de truncmento cometido n proximção, o mesmo pode ser estimdo de mneir nálog que seguimos no cso d regr do trpézio: existe um ξ (, b) tl que dx f(x) h (f(x 1) + 4f(x ) + f(x )) = h5 90 f (4) (ξ) (79)

7 Cpítulo 7 Integrção numéric 88 7 Regrs de ordem superior Seguindo esse progrm, podemos desenvolver qudrturs com mior número de pontos, por exemplo, s qudrturs com 4 e cinco pontos possuem nome próprio São regr /8 e regr de Bode: Regr /8 São utilizdos 4 pontos, x 1 =, x = + h, x = + h e x 4 = b, onde h = b Então existe um ξ (, b) tl que Regr de Bode dx f(x) = 8 h (f(x 1) + f(x ) + f(x ) + f(x 4 )) h5 80 f (4) (ξ) São utilizdos 5 pontos, x 1 = e x i = + (i 1)h pr i =,, 4 e x 5 = b, onde h = b 4 Existe um ξ (, b) tl que dx f(x) = 45 h (7f(x 1) + f(x ) + 1f(x ) + f(x 4 ) + 7f(x 5 )) 8h7 945 f (6) (ξ) No entnto devemos levr em cont que não há grntis de que o umento do número de pontos implic convergênci d qudrtur pr o vlor exto d integrl Isto é um reflexo direto do fto de que s proximções que estudmos té qui são desenvolvids prtir d integrção de um polinômio que interpol f em pontos igulmente espçdos e, como já estudmos no cpítulo sobre interpolção, existem exemplos de funções contínus e com tods s derivds contínus em lgum intervlo cuj interpolção polinomil com pontos igulmente espçdos não converge pr 1 f qundo o número de pontos cresce (lembre-se d função de Runge f(x) = no intervlo 1 + 5x x [ 1, 1]) A subseção seguinte trt de um técnic de qudrtur que grnte convergênci pr o vlor exto d integrl de f qundo o número de pontos n A técnic é inspird nos splines 74 Regrs composts Um mneir de evitr s instbiliddes relcionds à interpolção em pontos igulmente espçdos consiste em prticionr o intervlo de integrção em diversos subintervlos e relizr qudrtur em cd um desses subintervlos com um pequen quntidde de pontos Ess idéi se ssemelh à utilizd n interpolção spline Regr do trpézio compost A regr consiste em dividir o intervlo de integrção [, b] n união de n 1 sub-intervlos [, x ] [x, x ] [x n 1, b] = [, b], de mesm extensão h = b n 1, isto é, x k+1 x k = h, Em gerl, dd form ds qudrturs estudds té qui, qudrtur será igul integrl de um função f, que não sej um polinômio, pens qundo h 0, ou sej, qundo o intervlo de integrção for nulo

8 Cpítulo 7 Integrção numéric 89 pr qulquer i = 1,,, n 1; e plicr regr do trpézio em cd intervlo [x k, x k+1 ] Ou sej, dx f(x) = x x dx f(x) + dx f(x) + + =x 1 x =xn x n 1 dx f(x) h (f() + f(x )) + h (f(x ) + f(x )) + + h (f(x n 1) + f(b)) ( 1 = h f() + f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x n 1 ) + 1 ) f(b), onde x 1 =, x n = b e x k = + (k 1)h, pr k = 1,, n Erro de truncmento A cd subintervlo [x k, x k+1 ] podemos estimr o erro de truncmento cometido n regr do trpézio: existe um ξ k (x k, x k+1 ) tl que xk+1 x k A união de todos os intervlos implic dx f(x) = h (f(x k+1) + f(x k )) h 1 f (ξ k ) ( 1 dx f(x) = h f() + f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x n 1 ) + 1 ) f(b) h n 1 f (ξ k ) 1 (710) Se função f for contínu, então existe um ξ (, b) tl que f (ξ) = 1 n 1 f (ξ k ) n 1 Como h = b podemos reescrever iguldde (710) como n 1 ( 1 dx f(x) = h f() + f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x n 1 ) + 1 ) f(b) h 1 (b )f (ξ), (711) onde ξ (, b) Note que nesse cso, n usênci de erros de rredondmento, proximção dd pel regr compost converge pr integrl ext no limite h 0 Regr de Simpson compost De mneir totlmente nálog, podemos construir um qudrtur compost prtir d união ds qudrturs relizds nos subintervlos com três pontos igulmente espçdos A prtir de um número ímpr de pontos igulmente espçdos de h = b n 1, = x 1 < x < x < < x n < x n 1 < x n = b podemos proximr integrl de f no intervlo [, b] pel composição ds

9 Cpítulo 7 Integrção numéric 90 qudrturs de Simpson nos n 1 intervlos [, x ], [x, x 5 ],, [x n, b]: dx f(x) = x x5 dx f(x) + dx f(x) + + =x 1 x =xn x n dx f(x) h (f() + 4f(x ) + f(x )) + h (f(x ) + 4f(x 4 ) + f(x 5 )) + + h (f(x n ) + 4f(x n 1 ) + f(b)) = h [f() + 4 (f(x ) + f(x 4 ) + + f(x n 1 )) + + (f(x ) + f(x 5 ) + + f(x n )) + 1 f(b) ], A regr de Simpson compost pode ser representd pelo somtório dx f(x) h C k f(x k ), onde 1, se k = 1 ou k = n C k = 4, se k é pr, se k é ímpr A nálise do erro de truncmento cometido n proximção segue linh já estudd n regr do trpézio compost Cd intervlo de integrção [x k, x k+ ] contribui com um prcel h5 90 f (4) (ξ k ), onde ξ k (x k, x k+ ) e k = 1,, 5,, n Como são no totl n 1 intervlos de integrção, temos que dx f(x) = h C k f(x k ) h5 90 Se função f (4) for contínu, então existe um ξ (, b) tl que n 1 f (4) (ξ k ) (71) 1 n 1 n 1 f (4) (ξ k ) = f (4) (ξ) A substituição dess últim relção em (71) result em como (n 1)h = b dx f(x) = h dx f(x) = h C k f(x k ) (n 1) h5 180 f (4) (ξ), C k f(x k ) h4 180 (b )f (4) (ξ)

10 Cpítulo 7 Integrção numéric Método de Romberg O método de Romberg consiste n sucessiv plicção d extrpolção de Richrdson à qudrtur do trpézio compost o que result em um qudrtur compost de mior extidão A qudrtur do trpézio compost com n pontos permite proximr integrl de um função f dus vezes continumente diferenciável trvés d expressão dx f(x) = I n h 1 (b )f (ξ), onde ( 1 I n = h f() + f( + h) + f( + h) + + f( + (n )h) + 1 ) f(b), h = b e ξ (, b) n 1 Se função f for k vezes continumente diferenciável, então expressão nterior ssume form gerl dx f(x) = I n + c h + c 4 h c k h k, (71) onde os coeficientes c,, c k não dependem de h Portnto um qudrtur no mesmo intervlo com n 1 pontos, corresponde um espçmento igul metde do originl, ssim dx f(x) = I n 1 + c ( h ) ( ) h 4 ( ) h k + c c k (714) A extrpolção consiste em combinr s equções (714) e (71) de modo que o resultdo d combinção liner cncele o termo h : dx f(x) = 4 I n 1 I n + d 4 h d k h k A qudrtur resultnte, 4 I n 1 I n é qudrtur de Simpson compost com n 1 pontos O mesmo procedimento pode ser repetidmente iterdo com o objetivo de produzir qudrturs composts de ordem superior O método de Romberg propõe seguinte bordgem Colecionmos m qudrturs composts pel regr do trpézio com, 5, 9,, m + 1 pontos Esss qudrturs podem ser convenientemente clculds segundo recursão: I j +1 = 1 j 1 I j h j f ( + (k 1)h j ), (715) onde h j = b ( 1 j, I = h 0 f() + 1 ) f(b) e j = 1,, m Com verificmos cim, de cordo com extrpolção de Richrdson, podemos encontrr qudrtur de Simpson compost

11 Cpítulo 7 Integrção numéric 9 com j + 1 pontos trvés d combinção 4I j +1 I j 1 +1 Vmos simbolizr esss novs qudrturs por R 1,j, ou sej, R 1,j = 4I j +1 I j 1 +1 (716) pr j = 1,,, m Um nov seqüênci de extrpolções de Richrdson cncelrá os termos h 4 Denominmos esss novs qudrturs composts por R,j : Dedutivmente chegmos à recorrênci R,j = 16R 1,j R 1,j 1 15 R n,j = 4n R n 1,j R n 1,j 1 4 n, (717) 1 pr n = 1,,, j e onde R 0,j I j +1 A relção de recorrênci (717) é expressão do método de Romberg Em resumo, clculmos s qudrtur do trpézio simples e s m qudrturs do trpézio composts de cordo com recorrênci (715), em seguid, de cordo com relção de recorrênci (717), clculmos recursivmente s qudrturs R 1,j pr j = 1,,, m, R,j pr j =,, m, R,j pr j =,, m, etc té R m,m que é proximção de ordem O ( h m+ ) m pr integrl dx f(x) Exemplo: Vmos proximr integrl 1 dx e 1 x pel qudrtur de Romberg R 4,4 Inicilmente será necessário clculr s qudrturs do trpézio e s composts com, 5, 9 e 17 pontos (respectivmente I, I +1, I +1, I +1 e I 4 +1): I 0 +1 = I 1 +1 = I +1 = I +1 = I 4 +1 = A prtir desss qudrturs podemos clculr os termos R i,j segundo s expressões (716) e (717): R 1,1 = R 1, = R, = R 1, = R, = R 1,4 = R,4 = R, = R,4 = R 4,4 =

12 Cpítulo 7 Integrção numéric 9 E ssim, 1 dx e x R 4,4 = O vlor exto d integrl é , o erro está n décim cs deciml 7 Qudrtur gussin Por construção, os métodos de qudrtur que envolvem interpolção polinomil em n pontos fornecem o vlor exto d integrl qundo o integrndo é um polinômio de gru menor ou igul n 1 Portnto, um vez escolhidos, os n pontos x i [, b], utilizmos os n polinômios x j, j = 0, 1,, n 1 pr determinr os coeficientes C i d qudrtur: C i (x i ) j = dx x j = bj+1 j+1 j + 1 Cd potênci j define um equção, os coeficientes são então determindos pel solução do sistem de n equções lineres resultnte O qudrtur gussin utiliz s mesms equções porém trt os pontos de interpolção x i como incógnits e inclui outrs n equções relcionds à interpolção dos polinômios x j, j = n, n + 1,, n 1 A fórmul de qudrtur é determind pel solução do sistem de n equções não lineres em termos ds incógnits C i e x i, i = 1,,, n C i (x i ) j = bj+1 j+1 j + 1 (718) Como já estudmos, trvés de mudnçs de vriáveis podemos mudr o intervlo de integrção Desse modo não perdemos nenhum generlidde o estudr solução do sistem não liner (718) ddo pelo limite de integrção [ 1, 1] C 1 + C + + C n = dx x0 = 1 ( 1) = x 1 C 1 + x C + + x n C n = dx x = 1 ( 1) = 0 (x 1 ) C 1 + (x ) C + + (x n ) C n = dx x = 1 ( 1) = (x 1 ) k C 1 + (x ) k C + + (x n ) k C n = dx xk = { k+1, se k é pr 0, se k é ímpr (x 1 ) n 1 C 1 + (x ) n 1 C + + (x n ) n 1 C n = dx xn 1 = 1n ( 1) n n = 0 (719)

13 Cpítulo 7 Integrção numéric 94 É possível demonstrr que esse sistem possui pens um solução que stisfç os critérios, 1 < x i < 1 e C i > 0 Tmbém é possível demonstrr 4 que pr funções contínus, o método d qudrtur converge pr o vlor exto d integrl qundo o número de pontos n, lém disso, se f for n vezes continumente diferenciável, o erro cometido pel qudrtur é ddo pel expressão onde ξ ( 1, 1) 1 1 dxf(x) j=1 C j f(x j ) = (n!)4 n+1 f (n) (ξ) ((n)!) (n + 1), O sistem possui solução ext nos csos em que n = ou n = : -pontos C 1 = C = 1 e x 1 = x = 1 -pontos C 1 = C = 5 9, C = 8 9, x 1 = x = 5 e x = 0 4-pontos C 1 = C 4 = , C = C = 1 C 1, x 1 = x 4 = , x = x = 1 x 4 74 Exercícios 1) Considere seguinte fórmul de qudrtur 1 0 dx f(x) 1 4 f(0) + 1 f(05) + 1 f(08) (70) 4 1 Qul é o gru do menor polinômio que não é integrdo extmente pel regr (70)? Ess regr é um fórmul de qudrtur gerd prtir de um interpolção polinomil? Em cso negtivo constru regr gerd prtir de um interpolção nos pontos 0, 05 e 08 Encontre os novos pesos pr regr (70) pr o intervlo de integrção: 1 dx f(x) ) Sej integrl 1 0 dx e x (71) Encontre s estimtivs inferior e superior pr quntidde mínim de subintervlos que devem ser utilizdos n proximção d integrl (71) pel regr de Simpson compost de modo que diferenç entre o vlor exto e proximção sej menor do que 10 6 ) Ao contrário do que ocorre n interpolção com pontos igulmente espçdos, interpolção com pontos de Chebyshev não sofre de problems de instbilidde qundo umentmos o número de pontos n interpolção Assim, fórmul de qudrtur, desenvolvid prtir d interpolção com pontos de Chebyshev, converge pr o vlor exto d integrl no limite em que o número de pontos tende o infinito (em lguns csos, ess bordgem pode ser um lterntiv interessnte à qudrtur de Guss que requer solução de um sistem de equções não lineres) Compre Vej referênci: -Dvis, P ; Rbinowitz P Methods of Numericl Integrtion, Acdemic Press (1975) 4 Vej referênci: -Szidrovsky, F ; Ykowitz, S Principles nd Procedures of Numericl Anlysis, Plenum Press, (1978)

14 Cpítulo 7 Integrção numéric 95 extidão obtid pels fórmuls de Newton-Cotes, qudrtur gussin e qudrtur com pontos de Chebyshev o estimr integrl, utilizndo, 4, 5 pontos e o método de Romberg 1 0 dx x + 5 Observção: qudrtur gussin 1 0 dxf(x) n C if(x i ), nesse cso é dd por: n = : x 1 = , x = 05, x = 1 x 1, C 1 = C = 5 90 e C = 4 9 n = 4: x 1 = , x = , x = 1 x, x 4 = 1 x1 C 1 = C 4 = e C = C = n = 5: x 1 = , x = , x = 1 x 4 = 1 x, x 5 = 1 x 1 C 1 = C 5 = , C = C 4 = e C =